回転と複素数で三角関数の公式を導く

$\theta=30^\circ$ では $\cos\theta=\frac{\sqrt3}2$、$\sin\theta=\frac12$ である。

• $(1,0)$ を回すと $\left(1\cdot\frac{\sqrt3}2-0\cdot\frac12,\ 1\cdot\frac12+0\cdot\frac{\sqrt3}2\right)=\left(\frac{\sqrt3}2,\frac12\right)$ である。これは $(\cos30^\circ,\sin30^\circ)$ である。
• もう 1 回回すと $\left(\frac{\sqrt3}2\cdot\frac{\sqrt3}2-\frac12\cdot\frac12,\ \frac{\sqrt3}2\cdot\frac12+\frac12\cdot\frac{\sqrt3}2\right)=\left(\frac12,\frac{\sqrt3}2\right)$ で、$(\cos60^\circ,\sin60^\circ)$ である。
• もう 1 回回すと $\left(\frac12\cdot\frac{\sqrt3}2-\frac{\sqrt3}2\cdot\frac12,\ \frac12\cdot\frac12+\frac{\sqrt3}2\cdot\frac{\sqrt3}2\right)=(0,1)$ で、$(\cos90^\circ,\sin90^\circ)$ である。
  $30^\circ$ ずつ回すと、角が $30^\circ,60^\circ,90^\circ$ と足されていく。

点 $(\cos\theta,\sin\theta)$ は、点 $(1,0)$ を角 $\theta$ だけ回した点である。これをもう一度角 $\theta$ だけ回すと、回した角の合計は $2\theta$ なので、行き先は $(\cos2\theta,\sin2\theta)$ のはずである。一方、回転の式に $x=\cos\theta$、$y=\sin\theta$ を入れると、行き先は
$$ (\cos\theta\cos\theta-\sin\theta\sin\theta,\ \cos\theta\sin\theta+\sin\theta\cos\theta)=(\cos^2\theta-\sin^2\theta,\ 2\sin\theta\cos\theta) $$
である。2 つを比べると、$\cos2\theta=\cos^2\theta-\sin^2\theta$、$\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta$ が出る。

lem-tfrot-basis の式に数を入れる。

• $\theta=\frac\pi2$：$\cos\frac\pi2=0$、$\sin\frac\pi2=1$ なので $\rho_{\pi/2}(e_1)=(0,1)$、$\rho_{\pi/2}(e_2)=(-1,0)$。$e_1$ は $e_2$ の位置へ、$e_2$ は $x$ 軸の負の側へ移る。
• $\theta=\pi$：$\cos\pi=-1$、$\sin\pi=0$ なので $\rho_\pi(e_1)=(-1,0)$、$\rho_\pi(e_2)=(0,-1)$。どちらも原点について反対側へ移る。
• $\cos\theta=\frac45$、$\sin\theta=\frac35$ の角：$\rho_\theta(e_1)=\left(\frac45,\frac35\right)$、$\rho_\theta(e_2)=\left(-\frac35,\frac45\right)$。2 つのベクトルの内積は $\frac45\cdot\left(-\frac35\right)+\frac35\cdot\frac45=0$ で、回した後も直交している。

$\rho_{\pi/2}$ は点 $(x,y)$ を $(-y,x)$ に移す（prop-tfrot-formula で $\theta=\frac\pi2$ とした式。ここでは数で確かめるために先に使う）。

• 距離：$u=(1,0)$、$v=(0,2)$ の距離は $\sqrt{1+4}=\sqrt5$ である。行き先 $(0,1)$ と $(-2,0)$ の距離も $\sqrt{4+1}=\sqrt5$ である。
• 内積：$u=(3,1)$、$v=(1,2)$ では $u\cdot v=3+2=5$ である。行き先 $(-1,3)$、$(-2,1)$ の内積も $2+3=5$ である。
• 和：$u+v=(4,3)$ の行き先 $(-3,4)$ は、$u,v$ の行き先の和 $(-1,3)+(-2,1)=(-3,4)$ に等しい。

• $\rho_{\pi/3}(2,0)=\left(2\cdot\frac12-0,\ 2\cdot\frac{\sqrt3}2+0\right)=(1,\sqrt3)$ である。$(2,0)$ を $60^\circ$ 回した点で、原点からの距離は $\sqrt{1+3}=2$ のまま変わらない。
• $\rho_{\pi/2}(3,4)=(3\cdot0-4\cdot1,\ 3\cdot1+4\cdot0)=(-4,3)$ である。
• $\cos\theta=\frac45$、$\sin\theta=\frac35$ の角で、$\rho_\theta(5,0)=(4,3)$、$\rho_\theta(0,5)=(-3,4)$ である。辺の長さ $3,4,5$ の直角三角形の頂点が現れる。

• $\alpha=\frac\pi3$、$\beta=\frac\pi6$：$\cos\frac\pi2=\frac12\cdot\frac{\sqrt3}2-\frac{\sqrt3}2\cdot\frac12=0$、$\sin\frac\pi2=\frac{\sqrt3}2\cdot\frac{\sqrt3}2+\frac12\cdot\frac12=1$ で、正しい値と一致する。$60^\circ$ 回すことと $30^\circ$ 回すことを続けると $90^\circ$ 回したことになる。
• $\alpha=\beta=\frac\pi4$：$\cos\frac\pi2=\left(\frac{\sqrt2}2\right)^2-\left(\frac{\sqrt2}2\right)^2=0$、$\sin\frac\pi2=2\cdot\frac{\sqrt2}2\cdot\frac{\sqrt2}2=1$ である。
• $\cos\theta=\frac45$、$\sin\theta=\frac35$ の角 $\theta$ と $\beta=\theta$：$\rho_\theta(\rho_\theta(e_1))=\rho_\theta\left(\frac45,\frac35\right)=\left(\frac45\cdot\frac45-\frac35\cdot\frac35,\ \frac45\cdot\frac35+\frac35\cdot\frac45\right)=\left(\frac7{25},\frac{24}{25}\right)$ なので、$\cos2\theta=\frac7{25}$、$\sin2\theta=\frac{24}{25}$ である。

$c=\cos\theta$、$s=\sin\theta$ と書く。

• 2 乗：定義どおりに計算すると
  $$ R(\theta)^2=\begin{pmatrix}c&-s\\ s&c\end{pmatrix}\begin{pmatrix}c&-s\\ s&c\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}c^2-s^2&-2cs\\ 2cs&c^2-s^2\end{pmatrix} $$
  である。cor-tfrot-power によりこれは $R(2\theta)$ なので、左上と左下から $\cos2\theta=c^2-s^2$、$\sin2\theta=2cs$ が読める。
• 3 乗：もう 1 回 $R(\theta)$ を掛けると、第 1 列は
  $$ \begin{pmatrix}c^2-s^2&-2cs\\ 2cs&c^2-s^2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}c\\ s\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}c^3-cs^2-2cs^2\\ 2c^2s+c^2s-s^3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}c^3-3cs^2\\ 3c^2s-s^3\end{pmatrix} $$
  である。よって $\cos3\theta=c^3-3cs^2$、$\sin3\theta=3c^2s-s^3$ である。$s^2=1-c^2$ を代入すると $\cos3\theta=c^3-3c(1-c^2)=4c^3-3c$、$c^2=1-s^2$ を代入すると $\sin3\theta=3(1-s^2)s-s^3=3s-4s^3$ となり、高校で習う 3 倍角の公式になる。
• 数で確かめる：$\theta=\frac\pi6$ では $R\left(\frac\pi6\right)^2$ の成分は $c^2-s^2=\frac34-\frac14=\frac12$、$2cs=2\cdot\frac{\sqrt3}2\cdot\frac12=\frac{\sqrt3}2$ で、$R\left(\frac\pi3\right)=\begin{pmatrix}\frac12&-\frac{\sqrt3}2\\ \frac{\sqrt3}2&\frac12\end{pmatrix}$ と一致する。

• $E\left(\frac\pi2\right)=\cos\frac\pi2+i\sin\frac\pi2=i$ である。$i(x+iy)=ix+i^2y=-y+ix$ なので、$i$ を掛けると点 $(x,y)$ は点 $(-y,x)$ に移る。これは $90^\circ$ の回転 $\rho_{\pi/2}$（ex-tfrot-linear）と同じである。たとえば $i(3+4i)=3i+4i^2=-4+3i$ で、ex-tfrot-formula の $\rho_{\pi/2}(3,4)=(-4,3)$ と一致する。
• $\alpha=\frac\pi3$、$\beta=\frac\pi6$ で (2) を確かめる。
  $$ E\left(\tfrac\pi3\right)E\left(\tfrac\pi6\right)=\left(\tfrac12+\tfrac{\sqrt3}2i\right)\left(\tfrac{\sqrt3}2+\tfrac12i\right)=\tfrac{\sqrt3}4+\tfrac14i+\tfrac34i+\tfrac{\sqrt3}4i^2=\left(\tfrac{\sqrt3}4-\tfrac{\sqrt3}4\right)+\left(\tfrac14+\tfrac34\right)i=i $$
  で、$E\left(\frac\pi2\right)=i$ に等しい。
• $\cos\theta=\frac45$、$\sin\theta=\frac35$ の角では $E(\theta)=\frac{4+3i}5$ である。点 $(5,0)$ を表す $5$ に掛けると $4+3i$、点 $(0,5)$ を表す $5i$ に掛けると $\frac{4+3i}5\cdot5i=4i+3i^2=-3+4i$ である。どちらも ex-tfrot-formula の $\rho_\theta(5,0)=(4,3)$、$\rho_\theta(0,5)=(-3,4)$ と一致する。

• $n=2$：$(c+is)^2=c^2+2c(is)+(is)^2=c^2+2ics-s^2=(c^2-s^2)+i\cdot2cs$。よって $\cos2\theta=c^2-s^2$、$\sin2\theta=2cs$。
• $n=3$：二項係数は $1,3,3,1$ で、
  $$ (c+is)^3=c^3+3c^2(is)+3c(is)^2+(is)^3=c^3+3ic^2s-3cs^2-is^3 $$
  である（$i^2=-1$、$i^3=-i$）。実部と虚部に分けて $\cos3\theta=c^3-3cs^2$、$\sin3\theta=3c^2s-s^3$。これは ex-tfrot-power-3 で行列から出したものと同じである。

• $n=4$：二項係数は $1,4,6,4,1$ で、$i^2=-1$、$i^3=-i$、$i^4=1$ により
  $$ (c+is)^4=c^4+4ic^3s-6c^2s^2-4ics^3+s^4 $$
  である。よって $\cos4\theta=c^4-6c^2s^2+s^4$、$\sin4\theta=4c^3s-4cs^3$。$s^2=1-c^2$ を代入すると $\cos4\theta=c^4-6c^2(1-c^2)+(1-c^2)^2=8c^4-8c^2+1$。
• $n=5$：二項係数は $1,5,10,10,5,1$ で、実部は $k=0,2,4$ の項、虚部は $k=1,3,5$ の項から出る。
  $$ \cos5\theta=c^5-10c^3s^2+5cs^4,\qquad \sin5\theta=5c^4s-10c^2s^3+s^5 $$
  $s^2=1-c^2$、$s^4=(1-c^2)^2=1-2c^2+c^4$ を代入すると
  $$ \cos5\theta=c^5-10c^3+10c^5+5c-10c^3+5c^5=16c^5-20c^3+5c $$
  である。
• 応用：$\theta=\frac\pi{10}$（$18^\circ$）では $5\theta=\frac\pi2$ なので $0=16c^5-20c^3+5c$ である。$c\ne0$ なので両辺を $c$ で割って $16c^4-20c^2+5=0$、つまり $c^2=\frac{20\pm\sqrt{400-320}}{32}=\frac{5\pm\sqrt5}8$ である。$\cos18^\circ>\cos45^\circ$ より $c^2>\frac12$ なので $c^2=\frac{5+\sqrt5}8$、$\cos18^\circ=\sqrt{\frac{5+\sqrt5}8}$ である。

$\cos\theta=\frac45$、$\sin\theta=\frac35$ とし、$z=E(\theta)=\frac45+\frac35i=\frac{4+3i}5$ とおく。
$$ z^2=\frac{(4+3i)^2}{25}=\frac{16+24i+9i^2}{25}=\frac{7+24i}{25},\qquad z^3=z^2\cdot z=\frac{(7+24i)(4+3i)}{125}=\frac{28+21i+96i+72i^2}{125}=\frac{-44+117i}{125} $$
である。cor-tfrot-de-moivre により $\cos2\theta=\frac7{25}$、$\sin2\theta=\frac{24}{25}$、$\cos3\theta=-\frac{44}{125}$、$\sin3\theta=\frac{117}{125}$ である。3 倍角の公式で確かめると $4\cdot\left(\frac45\right)^3-3\cdot\frac45=\frac{256}{125}-\frac{300}{125}=-\frac{44}{125}$ で一致する。

$a=E(\alpha)$、$b=E(\beta)$ とおく。prop-tfrot-reverse により
$$ \cos\alpha\cos\beta=\frac{a+a^{-1}}2\cdot\frac{b+b^{-1}}2=\frac{ab+(ab)^{-1}+ab^{-1}+(ab^{-1})^{-1}}4 $$
である。prop-tfrot-complex の (2) により $ab=E(\alpha+\beta)$、$ab^{-1}=E(\alpha)E(-\beta)=E(\alpha-\beta)$ なので、再び prop-tfrot-reverse を使うと
$$ \cos\alpha\cos\beta=\frac{2\cos(\alpha+\beta)+2\cos(\alpha-\beta)}4=\frac12\{\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)\} $$
となる。同じく $\sin\alpha\sin\beta=\frac{(a-a^{-1})(b-b^{-1})}{(2i)^2}=-\frac{ab+(ab)^{-1}-ab^{-1}-(ab^{-1})^{-1}}4=\frac12\{\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)\}$ である。

$p=E\left(\frac{\alpha+\beta}2\right)$、$q=E\left(\frac{\alpha-\beta}2\right)$ とおく。prop-tfrot-complex の (2) により $pq=E\left(\frac{\alpha+\beta}2+\frac{\alpha-\beta}2\right)=E(\alpha)$ である。また cor-tfrot-de-moivre で $n=-1$ とすると $q^{-1}=E\left(-\frac{\alpha-\beta}2\right)$ なので、$pq^{-1}=E\left(\frac{\alpha+\beta}2-\frac{\alpha-\beta}2\right)=E(\beta)$ である。したがって、共通の因数 $p$ をくくり出すと
$$ E(\alpha)+E(\beta)=pq+pq^{-1}=p\,(q+q^{-1}),\qquad E(\alpha)-E(\beta)=pq-pq^{-1}=p\,(q-q^{-1}) $$
である。prop-tfrot-reverse で $n=1$ とすると $q+q^{-1}=2\cos\frac{\alpha-\beta}2$、$q-q^{-1}=2i\sin\frac{\alpha-\beta}2$ なので
$$ \begin{aligned} E(\alpha)+E(\beta)&=2\cos\tfrac{\alpha-\beta}2\left(\cos\tfrac{\alpha+\beta}2+i\sin\tfrac{\alpha+\beta}2\right)=2\cos\tfrac{\alpha+\beta}2\cos\tfrac{\alpha-\beta}2+2i\sin\tfrac{\alpha+\beta}2\cos\tfrac{\alpha-\beta}2,\\ E(\alpha)-E(\beta)&=2i\sin\tfrac{\alpha-\beta}2\left(\cos\tfrac{\alpha+\beta}2+i\sin\tfrac{\alpha+\beta}2\right)=-2\sin\tfrac{\alpha+\beta}2\sin\tfrac{\alpha-\beta}2+2i\cos\tfrac{\alpha+\beta}2\sin\tfrac{\alpha-\beta}2 \end{aligned} $$
となる（2 行目では $i\cdot i=-1$ を使って展開した）。左辺の実部は $\cos\alpha\pm\cos\beta$、虚部は $\sin\alpha\pm\sin\beta$ なので、実部と虚部をそれぞれ比べると、和積の公式
$$ \begin{aligned} \cos\alpha+\cos\beta&=2\cos\tfrac{\alpha+\beta}2\cos\tfrac{\alpha-\beta}2, &\qquad \sin\alpha+\sin\beta&=2\sin\tfrac{\alpha+\beta}2\cos\tfrac{\alpha-\beta}2,\\ \cos\alpha-\cos\beta&=-2\sin\tfrac{\alpha+\beta}2\sin\tfrac{\alpha-\beta}2, &\qquad \sin\alpha-\sin\beta&=2\cos\tfrac{\alpha+\beta}2\sin\tfrac{\alpha-\beta}2 \end{aligned} $$
が出る。1 行目の式は、単位円上の 2 点 $E(\alpha)$、$E(\beta)$ を足したベクトルが、2 点の真ん中の向き $E\left(\frac{\alpha+\beta}2\right)$ の $2\cos\frac{\alpha-\beta}2$ 倍であることを言っている。
数で確かめる。$\alpha=\frac\pi2$、$\beta=\frac\pi6$ では $\frac{\alpha+\beta}2=\frac\pi3$、$\frac{\alpha-\beta}2=\frac\pi6$ である。

• $\cos\frac\pi2+\cos\frac\pi6=0+\frac{\sqrt3}2=\frac{\sqrt3}2$、右辺 $2\cos\frac\pi3\cos\frac\pi6=2\cdot\frac12\cdot\frac{\sqrt3}2=\frac{\sqrt3}2$。
• $\sin\frac\pi2+\sin\frac\pi6=1+\frac12=\frac32$、右辺 $2\sin\frac\pi3\cos\frac\pi6=2\cdot\frac{\sqrt3}2\cdot\frac{\sqrt3}2=\frac32$。
• $\cos\frac\pi2-\cos\frac\pi6=-\frac{\sqrt3}2$、右辺 $-2\sin\frac\pi3\sin\frac\pi6=-2\cdot\frac{\sqrt3}2\cdot\frac12=-\frac{\sqrt3}2$。
• $\sin\frac\pi2-\sin\frac\pi6=\frac12$、右辺 $2\cos\frac\pi3\sin\frac\pi6=2\cdot\frac12\cdot\frac12=\frac12$。
  加法定理から積和の公式を経て和積の公式を出す方法は 加法定理から積和・和積・合成・正接の公式を導く にある。ここでは「共通の因数 $E\left(\frac{\alpha+\beta}2\right)$ をくくり出す」という 1 つの操作で、4 つの式が同時に出た。

$z=E(\theta)$ とする。

• $\cos^3\theta=\left(\frac{z+z^{-1}}2\right)^3=\frac{z^3+3z+3z^{-1}+z^{-3}}8=\frac{(z^3+z^{-3})+3(z+z^{-1})}8=\frac{2\cos3\theta+6\cos\theta}8=\frac{\cos3\theta+3\cos\theta}4$。$\theta=\frac\pi3$ で確かめると、左辺 $\frac18$、右辺 $\frac{-1+\frac32}4=\frac18$。
• $\sin^3\theta=\left(\frac{z-z^{-1}}{2i}\right)^3=\frac{z^3-3z+3z^{-1}-z^{-3}}{(2i)^3}$ である。$(2i)^3=-8i$、$z^3-z^{-3}=2i\sin3\theta$、$z-z^{-1}=2i\sin\theta$ なので $\sin^3\theta=\frac{2i\sin3\theta-6i\sin\theta}{-8i}=\frac{3\sin\theta-\sin3\theta}4$。$\theta=\frac\pi6$ で確かめると、左辺 $\frac18$、右辺 $\frac{\frac32-1}4=\frac18$。
• $\cos^4\theta=\frac{(z+z^{-1})^4}{16}=\frac{(z^4+z^{-4})+4(z^2+z^{-2})+6}{16}=\frac{\cos4\theta+4\cos2\theta+3}8$。$\theta=\frac\pi4$ で左辺 $\frac14$、右辺 $\frac{-1+0+3}8=\frac14$。
• 積分への応用：$\int_0^{\pi/2}\cos^3\theta\,d\theta=\frac14\int_0^{\pi/2}(\cos3\theta+3\cos\theta)\,d\theta=\frac14\left[\frac{\sin3\theta}3+3\sin\theta\right]_0^{\pi/2}=\frac14\left(-\frac13+3\right)=\frac23$。

$(c+is)^2$ を $c^2+2ics+s^2$ と展開すると（$(is)^2=i^2s^2=-s^2$ の符号を落とすと）、実部から「$\cos2\theta=c^2+s^2$」が出てしまう。右辺はつねに $1$ である。$\theta=\frac\pi3$ では左辺 $\cos\frac{2\pi}3=-\frac12$ なので、誤りである。$i^k$ は表（rem-tfrot-technique）で必ず確かめる。

平行移動 $f(x,y)=(x+1,y)$ は、$|f(u)-f(v)|=|u-v|$ を満たす（差をとると $+1$ が消える）。しかし $f(O)=(1,0)\ne O$ である。$u=v=O$ とすると $f(u+v)=f(O)=(1,0)$ だが、$f(u)+f(v)=(2,0)$ であり、lem-tfrot-linear の (2) が成り立たない。補題の仮定 $f(O)=O$ は外せない。

仮に「$E(\theta)^{1/2}=E\left(\frac\theta2\right)$」がすべての $\theta$ で使えるとする。$E(0)=1$、$E(2\pi)=\cos2\pi+i\sin2\pi=1$ なので、$E(0)$ と $E(2\pi)$ は同じ数 $1$ である。ところが式に入れると $E(0)^{1/2}=E(0)=1$、$E(2\pi)^{1/2}=E(\pi)=-1$ となり、同じ数 $1$ の「$\frac12$ 乗」が $1$ と $-1$ の 2 通りになってしまう。角 $\theta$ は $2\pi$ の整数倍の違いを除いてしか決まらないので、$\frac12$ 乗の値は 1 つに決まらない。整数乗ならこの問題は起きない（$E(2\pi)^n=E(2n\pi)=1$）。詳しくは 複素数の掛け算は回転と拡大 で扱う。

$\theta=\frac\pi6$ と $\theta=\frac{5\pi}6$ では、どちらも $\sin\theta=\frac12$ である。しかし $\sin2\theta$ は $\sin\frac\pi3=\frac{\sqrt3}2$ と $\sin\frac{5\pi}3=-\frac{\sqrt3}2$ で異なる。したがって、$\sin2\theta$ を $\sin\theta$ だけの式（多項式に限らず、どんな式でも）で表すことはできない。$\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta$ には、$\sin\theta$ では決まらない $\cos\theta$ の符号が入っている。
同じことは、偶数の $n$ すべてで起こる。$\theta_1=\frac\pi{2n}$、$\theta_2=\pi-\frac\pi{2n}$ とすると、$\sin(\pi-x)=\sin x$ により $\sin\theta_1=\sin\theta_2$ である。一方 $\sin n\theta_1=\sin\frac\pi2=1$、$\sin n\theta_2=\sin\left(n\pi-\frac\pi2\right)=\sin\left(-\frac\pi2\right)=-1$ である（$n$ が偶数なので $n\pi$ は $2\pi$ の整数倍）。$n=2$ では $\theta_1=\frac\pi4$、$\theta_2=\frac{3\pi}4$ で、$\sin\frac\pi2=1$、$\sin\frac{3\pi}2=-1$ である。
まとめると、rem-tfrot-even-powers のとおり、$\cos n\theta$ はすべての正の整数 $n$ で $\cos\theta$ だけで書けるが、$\sin n\theta$ が $\sin\theta$ だけで書けるのは $n$ が奇数のときに限る。