零化イデアル

1：直和の元は有限個の成分 $x_\lambda\in M_\lambda$ の和で、$a$ 倍は成分ごとにとるので、$a$ が直和を殺すことと各 $M_\lambda$ を殺すことは同値である。部分加群の和の元は有限和 $\sum y_\lambda$（$y_\lambda\in N_\lambda$）なので、すべての $N_\lambda$ を殺す $a$ は和を殺す。逆に和を殺す $a$ は各 $N_\lambda\subset\sum N_\lambda$ を殺す。最後の主張は $N_i=Ax_i$ とし、$\operatorname{Ann}(Ax_i)=\operatorname{Ann}(x_i)$（$a(rx_i)=r(ax_i)$）を使えばよい。
2：右の包含。$a\in\operatorname{Ann}(M)$ なら、$x'\in M'$ について $\iota(ax')=a\iota(x')=0$ で $\iota$ は単射なので $ax'=0$。また $x''\in M''$ を $\pi(x)$ と書けば $ax''=\pi(ax)=0$ である。左の包含。$a\in\operatorname{Ann}(M')$、$b\in\operatorname{Ann}(M'')$、$x\in M$ とする。$\pi(bx)=b\pi(x)=0$ なので $bx=\iota(x')$ となる $x'\in M'$ があり、$abx=\iota(ax')=0$ である。$\operatorname{Ann}(M)$ はイデアルなので、積 $ab$ の和からなる $\operatorname{Ann}(M')\operatorname{Ann}(M'')$ も含まれる。$\square$

$F\subset\operatorname{Ann}(M)$：$\Phi=(\varphi_{ij})$ の各行が関係式なら、すべての $i$ について $\sum_j\varphi_{ij}x_j=0$ である。余因子行列 $\operatorname{adj}\Phi$ について等式 $\operatorname{adj}(\Phi)\,\Phi=\det(\Phi)E_n$（$E_n$ は単位行列）は成分の整数係数多項式の恒等式なので、任意の可換環の上で成り立つ（行列式）。従って各 $l$ について
$$ \det(\Phi)\,x_l=\sum_{j}\bigl(\operatorname{adj}(\Phi)\Phi\bigr)_{lj}x_j=\sum_i\operatorname{adj}(\Phi)_{li}\sum_j\varphi_{ij}x_j=0 $$
であり、$\det\Phi$ は生成元をすべて殺すので $\operatorname{Ann}(M)$ に入る。$\operatorname{Ann}(M)$ はイデアルなので $F\subset\operatorname{Ann}(M)$ である。
$\operatorname{Ann}(M)^n\subset F$：$\operatorname{Ann}(M)^n$ は $a_1\cdots a_n$（$a_i\in\operatorname{Ann}(M)$）の形の積で生成される。対角行列 $\operatorname{diag}(a_1,\dots,a_n)$ の第 $i$ 行は $\sum_ja_i\delta_{ij}x_j=a_ix_i=0$ を満たすので関係式であり、その行列式 $a_1\cdots a_n$ は $F$ に入る。
最後の主張：$\sqrt{\operatorname{Ann}(M)^n}=\sqrt{\operatorname{Ann}(M)}$（$a\in\operatorname{Ann}(M)$ なら $a^n\in\operatorname{Ann}(M)^n$）なので、包含の根基をとると等号になる。右辺は生成元によらない。$\square$

2 ⇒ 1：$1=i+a$（$i\in I$、$a\in\operatorname{Ann}(M)$）と書けば、$x\in M$ について $x=ix+ax=ix\in IM$ である。
1 ⇒ 2：$M=0$ なら $\operatorname{Ann}(M)=A$ でよい。$M\neq0$ とし、生成元 $x_1,\dots,x_n$（$n\ge1$）をとる。各 $x_i$ は $IM$ の元なので $\sum_kb_km_k$（$b_k\in I$、$m_k\in M$）と書け、各 $m_k$ を生成元の一次結合に書き直して整理すると $x_i=\sum_ja_{ij}x_j$（$a_{ij}\in I$）となる。行列 $\Phi=E_n-(a_{ij})$ の第 $i$ 行は $\sum_j(\delta_{ij}-a_{ij})x_j=x_i-x_i=0$ を満たす関係式なので、前の命題より $d:=\det\Phi\in\operatorname{Ann}(M)$ である。剰余写像 $A\to A/I$ で $\Phi$ は単位行列に写り、行列式は環準同型と可換なので $d\equiv1\pmod I$ である。従って $1=(1-d)+d\in I+\operatorname{Ann}(M)$ である。
後半：$I$ が Jacobson根基に含まれるとき、2 の $a=1-i$（$i\in I$）は単元である（Jacobson根基 の命題「単元による特徴づけ」）。$aM=0$ の両辺に $a^{-1}$ を掛けて $M=0$ を得る。$M$ が忠実なら $\operatorname{Ann}(M)=0$ なので 2 は $I=A$ を意味する。$\square$

$\mathfrak p\notin V(\operatorname{Ann}(M))$ とし、$a\in\operatorname{Ann}(M)\setminus\mathfrak p$ をとる。$M_{\mathfrak p}$ の元 $x/s$ について $x/s=(ax)/(as)=0$ である（$as\notin\mathfrak p$）ので $M_{\mathfrak p}=0$、すなわち $\mathfrak p\notin\operatorname{Supp}(M)$ である。
逆に $\mathfrak p\notin\operatorname{Supp}(M)$、すなわち $M_{\mathfrak p}=0$ とする。生成元 $x_1,\dots,x_n$ をとると、各 $x_i/1=0$ なので $s_ix_i=0$ となる $s_i\in A\setminus\mathfrak p$ がある。$s:=s_1\cdots s_n$ は $\mathfrak p$ が素イデアルなので $\mathfrak p$ に入らず、すべての生成元を殺すので $s\in\operatorname{Ann}(M)$ である（$n=0$ なら $s=1$）。従って $\operatorname{Ann}(M)\not\subset\mathfrak p$ である。
最後の式は、根基 $\sqrt I$ が $I$ を含む素イデアル全体の交わりに等しいこと（イデアルの根基）を $I=\operatorname{Ann}(M)$ に当てはめたものである。$\square$

前の定理より $V(\operatorname{Ann}(M))=\operatorname{Supp}(M)$ なので、$\operatorname{Ann}(M)$ の極小素イデアルは $\operatorname{Supp}(M)$ の極小元である。これは 随伴素イデアル の命題「支持と随伴素の極小元」により $\operatorname{Ass}(M)$ の極小元と一致する。
式について。$\mathfrak q\in\operatorname{Ass}(M)$ は $\mathfrak q=\operatorname{Ann}(x)\supset\operatorname{Ann}(M)$ と書けるので $\operatorname{Ass}(M)\subset\operatorname{Supp}(M)$ であり、前の定理から $\sqrt{\operatorname{Ann}(M)}\subset\bigcap_{\operatorname{Ass}(M)}\mathfrak p$ である。逆向きには、$V(\operatorname{Ann}(M))$ の各元 $\mathfrak p$ が $\operatorname{Ann}(M)$ の極小素イデアルを含むことを使う。これは、$\mathfrak p$ に含まれ $\operatorname{Ann}(M)$ を含む素イデアルの全体を逆包含で順序づけると、鎖の交わりが再び $\operatorname{Ann}(M)$ を含む素イデアルになる（$ab$ が交わりに入り $a$ が鎖のある元 $\mathfrak p_0$ に入らなければ、$\mathfrak p_0$ に含まれる鎖の元はどれも $a$ を含まないので $b$ を含み、$\mathfrak p_0$ を含む鎖の元も $b$ を含む）ので、Zorn の補題から従う。従って $\bigcap_{\operatorname{Ass}(M)}\mathfrak p\subset\bigcap(\text{極小な随伴素イデアル})=\bigcap(\operatorname{Ann}(M)\text{ の極小素イデアル})\subset\bigcap_{V(\operatorname{Ann}(M))}\mathfrak p=\sqrt{\operatorname{Ann}(M)}$ である。$\square$