アーベル化

$G$ がアーベル群なら、すべての交換子は $e$ なので $[G,G]=\{e\}$ であり、$\pi_G\colon G\to G^{\mathrm{ab}}$ は同型である。たとえば整数の加法群について $\mathbb{Z}^{\mathrm{ab}}\cong\mathbb{Z}$、$(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{\mathrm{ab}}\cong\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ である。逆に $\pi_G$ が単射なら $[G,G]=\ker\pi_G=\{e\}$ となり、$G$ はアーベル群である。

$n\ge2$ なら、対称群 $S_n$ の交換子部分群は交代群 $A_n$ であり（交換子部分群 の記事の命題「対称群の交換子部分群」）、置換の符号 $\operatorname{sgn}\colon S_n\to\{\pm1\}$ は全射で核が $A_n$ なので、
$$ S_n^{\mathrm{ab}}=S_n/A_n\cong\{\pm1\} $$
である。$S_n$ からアーベル群への準同型は、すべて符号を経由する。
交代群については、同記事の命題「交代群の交換子部分群」により次のようになる。$A_3$ は位数（群の位数）$3$ の巡回群なので $A_3^{\mathrm{ab}}=A_3$ である。$[A_4,A_4]$ は位数 $4$ の部分群 $V=\{e,(1\,2)(3\,4),(1\,3)(2\,4),(1\,4)(2\,3)\}$ なので、$A_4^{\mathrm{ab}}=A_4/V$ は位数 $12/4=3$ の群、すなわち位数 $3$ の巡回群である。$n\ge5$ なら $[A_n,A_n]=A_n$ なので $A_n^{\mathrm{ab}}$ は自明群である。

位数 $2n$ の二面体群 $\operatorname{Dih}_n=\langle r,s\mid r^n=s^2=e,\ srs=r^{-1}\rangle$（$n\ge1$）では $[\operatorname{Dih}_n,\operatorname{Dih}_n]=\langle r^2\rangle$ である（交換子部分群 の記事の例「正多角形の対称性」）。$\langle r^2\rangle$ の位数は $n$ が奇数なら $n$、偶数なら $n/2$ なので、$\operatorname{Dih}_n^{\mathrm{ab}}$ の位数は $n$ が奇数なら $2$、偶数なら $4$ である。偶数の場合、$\operatorname{Dih}_n^{\mathrm{ab}}$ は $r,s$ の像で生成され、どちらの像も $2$ 乗が単位元なので、$\operatorname{Dih}_n^{\mathrm{ab}}$ は $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ と同型である。
四元数群 $Q_8$ では $[Q_8,Q_8]=\{1,-1\}$ であり、$Q_8^{\mathrm{ab}}=Q_8/\{1,-1\}$ はKleinの四元群と同型である（四元数群 の記事の命題「中心・交換子部分群・剰余群」）。$\operatorname{Dih}_4$ と $Q_8$ は同型でない位数 $8$ の群であるが（四元数群 の記事の命題「二面体群との非同型」）、アーベル化はどちらも Klein の四元群である。これらは ex-abelianization-presentation で表示からも計算し直す。

$k$ を体、$n\ge1$ とし、$(n,k)\neq(2,\mathbb{F}_2)$ とする。このとき一般線形群の交換子部分群は特殊線形群である：$[\mathrm{GL}_n(k),\mathrm{GL}_n(k)]=\mathrm{SL}_n(k)$（交換子部分群 の記事の例「行列式が 1 の行列」。同記事は $n\ge3$ などの場合を文献の言明の引用で済ませている）。行列式 $\det\colon\mathrm{GL}_n(k)\to k^\times$ は全射（$\det\operatorname{diag}(a,1,\dots,1)=a$）で核が $\mathrm{SL}_n(k)$ なので、群準同型 の記事の定理「群の第1同型定理」により
$$ \mathrm{GL}_n(k)^{\mathrm{ab}}\cong k^\times $$
であり、同型は行列式が誘導する。除いた場合 $\mathrm{GL}_2(\mathbb{F}_2)$ は $S_3$ と同型なので、アーベル化は位数 $2$ であって、$\mathbb{F}_2^\times=\{1\}$ とは一致しない。

集合 $X$ 上の自由群 $F(X)$ のアーベル化は、$X$ で添字づけられた $\mathbb{Z}$ の直和 $\mathbb{Z}^{(X)}$（自由アーベル群）と同型であり、生成元 $x$ の像は $x$ 成分だけが $1$ の元 $e_x$ に対応する（自由群 の記事の定理「自由群のアーベル化」）。とくに階数 $m$ の自由群 $F_m$ について $F_m^{\mathrm{ab}}\cong\mathbb{Z}^m$ である。
$\mathbb{Z}^3$ に積 $(a,b,c)(a',b',c'):=(a+a',\,b+b',\,c+c'+ab')$ を入れた Heisenberg群 $H$ では、交換子部分群は $\{(0,0,c)\mid c\in\mathbb{Z}\}$ であり、$H^{\mathrm{ab}}\cong\mathbb{Z}^2$ である（交換子部分群 の記事の例「Heisenberg群」）。同型は $(a,b,c)\mapsto(a,b)$ が誘導する。

$S_3^{\mathrm{ab}}\cong\{\pm1\}$（ex-abelianization-symmetric）と $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^{\mathrm{ab}}=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ は同型であるが、$S_3$ は位数 $6$、$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ は位数 $2$ で、同型でない。同じく $A_5$ と自明群はどちらもアーベル化が自明群である。これらは「$G^{\mathrm{ab}}\cong H^{\mathrm{ab}}$」を満たすが「$G\cong H$」を満たさず、含意「アーベル化が同型なら群も同型」を破る。アーベル化が失うのは交換子部分群 $[G,G]$ の部分の情報であり、$[G,G]=G$ となる完全群では $G$ についての情報がすべて失われる。

$A_5$ の部分群 $C:=\langle(1\,2\,3\,4\,5)\rangle$ は位数 $5$ の巡回群なので $C^{\mathrm{ab}}=C$ は位数 $5$ であるが、$A_5^{\mathrm{ab}}$ は自明群である（ex-abelianization-symmetric）。したがって包含 $\iota\colon C\to A_5$ が誘導する準同型 $\iota^{\mathrm{ab}}\colon C^{\mathrm{ab}}\to A_5^{\mathrm{ab}}$（prop-abelianization-functor）は単射でなく、$C^{\mathrm{ab}}$ は $A_5^{\mathrm{ab}}$ のどの部分群とも同型でない。同じ現象は $A_3\subset S_3$ でも起こる：$A_3=[S_3,S_3]$ なので $\pi_{S_3}(A_3)$ は単位元だけであり、$\iota^{\mathrm{ab}}\colon A_3^{\mathrm{ab}}\to S_3^{\mathrm{ab}}$ は位数 $3$ の群から位数 $2$ の群への自明な準同型である。これらは「$\iota$ は単射」を満たすが「$\iota^{\mathrm{ab}}$ は単射」を満たさず、含意「単射準同型のアーベル化は単射」を破る。全射については逆に、アーベル化も全射になる（prop-abelianization-functor の 3）。

以下、生成元の集合 $X$ を明示せず $\rho_X$ を $\rho$ と書く。

1. 二面体群 $\operatorname{Dih}_n=\langle r,s\mid r^n,\ s^2,\ srsr\rangle$（$srs=r^{-1}$ を関係子 $srsr$ で表した）。$\rho(r^n)=ne_r$、$\rho(s^2)=2e_s$、$\rho(srsr)=2e_r+2e_s$ なので、$L$ は $ne_r$、$2e_r$、$2e_s$ で生成され、$L=\gcd(n,2)\mathbb{Z}\,e_r\oplus2\mathbb{Z}\,e_s$ である。よって $\operatorname{Dih}_n^{\mathrm{ab}}\cong\mathbb{Z}/\gcd(n,2)\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ であり、ex-abelianization-dihedral と一致する。
2. 四元数群 $Q_8\cong\langle a,b\mid a^4=1,\ a^2=b^2,\ bab^{-1}=a^{-1}\rangle$（四元数群 の記事の命題「生成元と関係式による表示」）。関係子 $a^4$、$a^2b^{-2}$、$bab^{-1}a$ の像は $4e_a$、$2e_a-2e_b$、$2e_a$ なので $L=2\mathbb{Z}\,e_a\oplus2\mathbb{Z}\,e_b$ であり、$Q_8^{\mathrm{ab}}\cong\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ である。
3. $m,n\ge1$ について $\langle a,b\mid a^m,\ b^n\rangle$ のアーベル化は $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ である。$m,n\ge2$ ならこの群は可換でない。実際、素数 $p\mid m$、$q\mid n$ をとり、$\sigma:=(1\,2\,\cdots\,p)$、$\tau:=(p\;p{+}1\;\cdots\;p{+}q{-}1)$ とおくと、$\sigma^m=\tau^n=e$ なので $a\mapsto\sigma$、$b\mapsto\tau$ となる準同型が $S_{p+q-1}$ への準同型として定まり（群の表示 の記事の命題「表示からの準同型」）、$\sigma\tau(p)=\sigma(p+1)=p+1$、$\tau\sigma(p)=\tau(1)=1$ なので $\sigma\tau\neq\tau\sigma$ である。アーベル化で交換子部分群の分の情報が失われている。

$g\ge1$ とし、$M_g$ を種数 $g$ の向き付け可能な閉曲面とする。$M_g$ の基本群は
$$ \pi_1(M_g)\cong\langle a_1,b_1,\dots,a_g,b_g\mid[a_1,b_1][a_2,b_2]\cdots[a_g,b_g]\rangle $$
という表示をもつ（Hat02 §1.2。ここでは言明だけを引く）。関係子の各文字の指数の総和は $0$ なので $L=0$ であり、prop-abelianization-presentation により $\pi_1(M_g)^{\mathrm{ab}}\cong\mathbb{Z}^{2g}$ である。$g=1$ はトーラスで、$\pi_1(M_1)\cong\mathbb{Z}^2$ である（基本群 の記事の例「トーラスの基本群」）。$\mathbb{Z}^m/2\mathbb{Z}^m$ は $2^m$ 個の元をもつので $\mathbb{Z}^m\cong\mathbb{Z}^{m'}$ なら $m=m'$ であり、prop-abelianization-functor の 2 と合わせると、$g\neq g'$ なら $\pi_1(M_g)\not\cong\pi_1(M_{g'})$ である。$g\ge2$ では基本群は可換でない（$a_i$ を $g$ 個の自由生成元に、$b_i$ を単位元に送ると関係子は単位元に送られるので、階数 $g$ の自由群への全射準同型があり、$F_g$ は可換でない）が、それらを区別するのにアーベル化で足りる。