コサイクル条件

$(i,j,k)$ のコサイクル条件を $C(i,j,k)$ と書く。添字が重なるときは仮定から成り立つ：$i=j$ なら $\varphi_{ik}=\varphi_{ik}\circ\varphi_{ii}$、$j=k$ なら $\varphi_{ik}=\varphi_{kk}\circ\varphi_{ik}$、$i=k$ なら $\varphi_{ii}=\mathrm{id}=\varphi_{ji}\circ\varphi_{ij}$ である。次に、$C(i,j,k)$ が添字の互換で保たれることを示す。$C(i,j,k)$ を仮定すると、$\varphi_{ik}\circ\varphi_{ji}=\varphi_{jk}\circ\varphi_{ij}\circ\varphi_{ij}^{-1}=\varphi_{jk}$ なので $C(j,i,k)$ が成り立ち、$\varphi_{kj}\circ\varphi_{ik}=\varphi_{jk}^{-1}\circ\varphi_{jk}\circ\varphi_{ij}=\varphi_{ij}$ なので $C(i,k,j)$ が成り立つ。同じ計算を逆にたどれば逆向きも成り立つ。互換 $(1\,2)$ と $(2\,3)$ は 3 文字の置換をすべて生成するので、相異なる $i,j,k$ について $C(i,j,k)$ は添字を並べ替えた条件と同値であり、$i< j< k$ の場合に帰着する。添字の集合が $\{1,2\}$ なら相異なる 3 つの添字はないので、確かめることは残らない。

開集合 $W\subset X$ と $s\in\mathcal{F}(W)$ に対し、$t_i:=\beta_i(s|_{W\cap U_i})\in\mathcal{G}(W\cap U_i)$ とおく。$W\cap U_{ij}$ の上では $t_i|_{W\cap U_{ij}}=\beta_i(s|_{W\cap U_{ij}})=\beta_j(s|_{W\cap U_{ij}})=t_j|_{W\cap U_{ij}}$ であり、$\{W\cap U_i\}$ は $W$ の開被覆なので、層の条件により $t|_{W\cap U_i}=t_i$ となる $t\in\mathcal{G}(W)$ がただ一つある。$\beta_W(s):=t$ と定める。開集合 $W'\subset W$ について、$\beta_W(s)|_{W'}$ と $\beta_{W'}(s|_{W'})$ はどちらも $W'\cap U_i$ に制限すると $\beta_i(s|_{W'\cap U_i})$ になるので、層の条件の一意性により等しい。よって $\beta$ は層の射である。$W\subset U_i$ なら $t=t_i$ なので $\beta|_{U_i}=\beta_i$ である。$\beta'$ も $\beta'|_{U_i}=\beta_i$ を満たせば、$\beta'_W(s)$ も $W\cap U_i$ への制限が $t_i$ になるので $\beta'_W(s)=\beta_W(s)$ である。$\square$

3：$\beta_i:=\chi_i^{-1}\circ\alpha_i\circ\psi_i\colon\mathcal{F}|_{U_i}\to\mathcal{G}|_{U_i}$ とおくと、$U_{ij}$ の上で $\beta_j=\chi_j^{-1}\circ\alpha_j\circ\psi_j=\chi_i^{-1}\circ\gamma_{ij}^{-1}\circ\alpha_j\circ\varphi_{ij}\circ\psi_i=\chi_i^{-1}\circ\alpha_i\circ\psi_i=\beta_i$（3 つ目の等号は $\gamma_{ij}\circ\alpha_i=\alpha_j\circ\varphi_{ij}$）なので、補題により $\beta|_{U_i}=\beta_i$ となる $\beta$ がただ一つあり、これが求める射である。逆に層の射 $\beta$ から $\alpha_i:=\chi_i\circ\beta|_{U_i}\circ\psi_i^{-1}$ を作ると、同じ計算を逆にたどって貼り合わせデータの射になり、2 つの対応は互いに逆である。$\mathcal{F}$ に $(\mathcal{F}|_{U_i},\mathrm{id})$ を対応させる関手は、この全単射により忠実充満であり、1 により本質的に全射なので、圏同値である。

4：アーベル群の層の場合、$\mathcal{F}(W)$ を定める等式は加法と両立するので、$\mathcal{F}(W)$ は積 $\prod_i\mathcal{F}_i(W\cap U_i)$ の部分群で、制限・$\psi_i$・$\sigma$ は準同型である。環の層でも同様である。$\mathcal{O}$ 加群の場合は $a\in\mathcal{O}(W)$ を $(s_i)\mapsto(a|_{W\cap U_i}s_i)$ と作用させれば、$\varphi_{ij}$ の $\mathcal{O}$ 線形性により $\mathcal{F}(W)$ が保たれ、$\psi_i$ と $\sigma$ は $\mathcal{O}$ 線形になる。補題で貼り合わせた射が準同型（$\mathcal{O}$ 線形）であることは、$\beta_W(s+s')$ と $\beta_W(s)+\beta_W(s')$ の $W\cap U_i$ への制限がともに $\beta_i(s|+s'|)$ になることから、層の条件の一意性で分かる。$\square$

(b) で $i=j=k$ とすると $\varphi_{ii}\circ\varphi_{ii}=\varphi_{ii}$ なので $\varphi_{ii}=\mathrm{id}$、$(i,j,i)$ とすると $U_{ij}$ の上で $\varphi_{ji}\circ\varphi_{ij}=\mathrm{id}$ である。

点と位相。$\bigsqcup_iX_i$ に、$x\in X_i$ と $y\in X_j$ について「$x\in U_{ij}$ かつ $\varphi_{ij}(x)=y$」で関係 $x\sim y$ を入れる。反射性は $\varphi_{ii}=\mathrm{id}$、対称性は $\varphi_{ji}=\varphi_{ij}^{-1}$ による。推移性：$x\sim y$、$y\sim z$（$z\in X_k$）なら $y\in U_{ji}\cap U_{jk}=\varphi_{ij}(U_{ij}\cap U_{ik})$ なので $x\in U_{ij}\cap U_{ik}$ で、(b) により $\varphi_{ik}(x)=\varphi_{jk}(\varphi_{ij}(x))=z$ である。$X$ を商集合、$\iota_i\colon X_i\to X$ を自然な写像とし、商位相を入れる。$x,x'\in X_i$ が同値なら $x'=\varphi_{ii}(x)=x$ なので $\iota_i$ は単射である。$X_i$ の開集合 $W$ について $\iota_j^{-1}(\iota_i(W))=\varphi_{ij}(W\cap U_{ij})$ は $U_{ji}$ の、したがって $X_j$ の開集合なので、$\iota_i(W)$ は開集合である。よって $V_i:=\iota_i(X_i)$ は開集合で、$\iota_i\colon X_i\to V_i$ は同相写像である。同値関係の定義から $\iota_i(U_{ij})=V_i\cap V_j$ と $\iota_j\circ\varphi_{ij}=\iota_i$ が従う。

構造層。$V_i$ の上に環の層 $\mathcal{O}_i:=\iota_{i*}\mathcal{O}_{X_i}$ を置く。$\varphi_{ij}$ の層の部分は環の層の同型であり、$V_i\cap V_j$ の上の環の層の同型 $\Phi_{ij}\colon\mathcal{O}_i|_{V_i\cap V_j}\to\mathcal{O}_j|_{V_i\cap V_j}$ を定める（開集合 $W\subset V_i\cap V_j$ について $\iota_j^{-1}(W)=\varphi_{ij}(\iota_i^{-1}(W))$ であることを使う）。環付き空間の射の合成は層の部分の合成なので、(b) は $\Phi_{ik}=\Phi_{jk}\circ\Phi_{ij}$ を与える。thm-cocycle-condition-gluing の 1 と 4 により、$X$ 上の環の層 $\mathcal{O}_X$ と同型 $\mathcal{O}_X|_{V_i}\cong\mathcal{O}_i$ が得られ、これを通して $\iota_i$ は環付き空間の同型 $X_i\to(V_i,\mathcal{O}_X|_{V_i})$ になる。$\iota_j\circ\varphi_{ij}=\iota_i$ が層の部分まで成り立つのは、$\varphi_{ij}\circ\psi_i=\psi_j$ の形の両立性による。

局所性とスキーム。$X$ の点 $\iota_i(x)$ での茎は $\mathcal{O}_{X_i,x}$ と同型なので、$X_i$ が局所環付き空間なら $X$ もそうである。$X_i$ がスキームなら、$X$ の各点は $X_i$ と同型な開部分空間 $V_i$ に含まれ、したがってアフィンスキームと同型な開近傍をもつ。$\square$

1：$g_{ij}g_{jk}=\psi_i\psi_j^{-1}\psi_j\psi_k^{-1}=\psi_i\psi_k^{-1}=g_{ik}$。

2：別の同型 $\psi'_i$ は $h_i:=\psi'_i\psi_i^{-1}\in\mathcal{A}(U_i)$ により $\psi'_i=h_i\psi_i$ と書け、$g'_{ij}=h_i\psi_i\psi_j^{-1}h_j^{-1}=h_ig_{ij}h_j^{-1}$ となるので類は変わらない。同型 $\theta\colon\mathcal{F}'\to\mathcal{F}$ があれば $\psi_i\circ\theta|_{U_i}$ が $\mathcal{F}'$ の同型の選び方になり、同じ $(g_{ij})$ を与える。

3（単射）：$\mathcal{F},\mathcal{F}'$ のコサイクルが $g'_{ij}=h_ig_{ij}h_j^{-1}$ を満たすとき、$\psi_i$ を $h_i\psi_i$ に取り替えて $g'=g$ としてよい。$\theta_i:=\psi'^{-1}_i\psi_i\colon\mathcal{F}|_{U_i}\to\mathcal{F}'|_{U_i}$ とおくと、$\psi_j=g_{ij}^{-1}\psi_i$、$\psi'_j=g_{ij}^{-1}\psi'_i$ から $\theta_j=\psi'^{-1}_ig_{ij}g_{ij}^{-1}\psi_i=\theta_i$ が $U_{ij}$ の上で成り立ち、lem-cocycle-condition-morphisms により $\theta_i$ は同型 $\mathcal{F}\to\mathcal{F}'$ に貼り合わさる（逆も同様に貼り合わさる）。

3（全射）：1 コサイクル $(g_{ij})$ に対し、$\mathcal{F}_i:=\mathcal{G}|_{U_i}$、$\varphi_{ij}:=g_{ij}^{-1}$ とおく。$\varphi_{jk}\varphi_{ij}=g_{jk}^{-1}g_{ij}^{-1}=(g_{ij}g_{jk})^{-1}=g_{ik}^{-1}=\varphi_{ik}$ なので貼り合わせデータであり、thm-cocycle-condition-gluing の 1 により $\mathcal{F}$ と $\psi_i$ で $\varphi_{ij}\psi_i=\psi_j$ となるものがある。このとき $\psi_i\psi_j^{-1}=\varphi_{ij}^{-1}=g_{ij}$ である。基点：$\mathcal{F}=\mathcal{G}$、$\psi_i=\mathrm{id}$ なら $g_{ij}=1$。$\square$