関数の極限
概要
関数の極限（limit of a function）とは、距離空間の部分集合 $E$ 上の写像 $f$ と $E$ の集積点 $p$ について、任意の $\varepsilon>0$ に対して $\delta>0$ があり、$0< d(x,p)<\delta$ を満たす $E$ の点 $x$ でつねに $f(x)$ と $L$ の距離が $\varepsilon$ 未満になるときの値 $L$ のことで、$\lim_{x\to p}f(x)=L$ と書く。$p$ での値は使わず、極限は存在すればただ 1 つである。極限は $p$ に収束する点列すべてで $f(x_n)\to L$ となることと同値であり、値域が完備なら Cauchy の条件だけで存在を判定できる。多変数では道筋によって近づく値が変わりうるので、直線に沿った極限や累次極限がそろっても 2 重極限があるとは限らない。
関数の極限（limit of a function）とは、入力 $x$ が点 $p$ に近づくとき、出力 $f(x)$ がある値 $L$ に近づくことを、「$x$ と $p$ の距離を十分小さくすれば、$f(x)$ と $L$ の距離はいくらでも小さくなる」という不等式の形で定めたものである。点 $p$ での値 $f(p)$ は使わない。$p$ が定義域に入っていなくてもよいし、入っていても $f(p)$ と極限が違ってよい。
高校で扱う 1 変数の極限と、その計算の規則（四則、合成、片側極限、はさみうち）は 関数の極限の計算 にまとめてある。この記事では、定義域と値域を一般の 距離空間 にとり、極限の存在そのものを判定する 2 つの定理、点列による特徴づけ（thm-lim-sequential）と Cauchy の判定法（thm-lim-cauchy）を証明する。そのうえで、定義域を部分集合に制限したときの極限（片側極限はその特別な場合）、無限遠での極限、多変数の関数の極限と累次極限の関係を扱う。
定義
以下、$(X,d_X)$、$(Y,d_Y)$ を距離空間、$E\subset X$ を部分集合、$f\colon E\to Y$ を写像とする。$X$ が $\mathbb{R}^n$ のときは Euclid の距離 $\|x-y\|$、$\mathbb{R}$ のときは $|x-y|$ を使う。
点 $p\in X$ と $\delta>0$ について、
$$
B^\circ(p,\delta):=\{x\in X\mid 0< d_X(x,p)<\delta\}
$$
を $p$ の半径 $\delta$ の 除外近傍（punctured neighborhood）という。開球 $B(p,\delta)$ から中心 $p$ だけを除いた集合である。
$p$ が $E$ の 集積点 であるとは、どの $\delta>0$ についても $E\cap B^\circ(p,\delta)$ が空でないことである（集積点 の記事の定義「距離空間と位相空間における集積点」）。
$p\in X$ を $E$ の集積点とし、$L\in Y$ とする。任意の $\varepsilon>0$ に対してある $\delta>0$ があり、
$$
x\in E\cap B^\circ(p,\delta)\ \Longrightarrow\ d_Y\bigl(f(x),L\bigr)<\varepsilon
$$
が成り立つとき、$x$ が $E$ の中で $p$ に近づくとき $f(x)$ は $L$ に 収束する といい、$L$ を 極限（limit）とよぶ。$\lim_{x\to p}f(x)=L$、または $f(x)\to L$（$x\to p$）と書く。定義域を明示したいときは $\lim_{x\to p,\,x\in E}f(x)$ と書く。どの $L\in Y$ にも収束しないとき、$f(x)$ は $x\to p$ で極限をもたないという。
$X=Y=\mathbb{R}$ で、$E$ が $p$ を含む開区間から $p$ を除いた集合であるとき、この定義は 関数の極限の計算 の定義「関数の極限」と同じである（Rud76 Definition 4.1、pp. 83–84、Leb26a Definition 7.5.15、p. 293 も同じ形である）。
$p$ が $E$ の集積点でなければ、ある $\delta_0>0$ で $E\cap B^\circ(p,\delta_0)=\emptyset$ となる。このとき def-lim-main の条件は、$\delta=\delta_0$ をとればどの $L\in Y$ についても成り立ってしまう（仮定を満たす $x$ がない）。極限が一意に決まるためには、$p$ のいくらでも近くに $E$ の点が必要である。$p$ が $E$ の孤立点なら、連続写像 の意味で $f$ は $p$ で自動的に連続であり、極限の概念は使わない。
実数値の関数には、近づく先や近づく値に $\pm\infty$ を許した極限も使う。
$E\subset X$、$f\colon E\to\mathbb{R}$ とする。
- $X=\mathbb{R}$ で $E$ が上に有界でないとき、$L\in\mathbb{R}$ について、任意の $\varepsilon>0$ に対してある実数 $M$ があり、$x\in E$、$x>M$ ならば $|f(x)-L|<\varepsilon$ となるならば、$\lim_{x\to\infty}f(x)=L$ と書く。$x\to-\infty$ も同様に定める。
- $p$ が $E$ の集積点で、任意の実数 $K$ に対してある $\delta>0$ があり、$x\in E\cap B^\circ(p,\delta)$ ならば $f(x)>K$ となるならば、$f(x)$ は $x\to p$ で 正の無限大に発散する といい、$\lim_{x\to p}f(x)=\infty$ と書く。$-\infty$ も同様に定める。
$x\to\infty$ では、除外近傍 $B^\circ(p,\delta)$ の役割を区間 $(M,\infty)$ が受けもつ。以下の thm-lim-sequential、thm-lim-cauchy、prop-lim-restriction の証明は、$B^\circ(p,\delta)$ を $(M,\infty)$ に、$\delta=1/n$ を $M=n$ に置き換えると、そのまま $x\to\infty$ の場合の証明になる（点列による特徴づけの $x\to\infty$ の場合は Leb26a Lemma 3.5.5、p. 146）。
$p$ が $E$ の集積点で、$f(x)\to L$ かつ $f(x)\to L'$（$x\to p$）ならば $L=L'$ である。
$L\neq L'$ と仮定し、$\varepsilon:=d_Y(L,L')/2>0$ とおく。定義から $\delta_1,\delta_2>0$ があり、$x\in E\cap B^\circ(p,\delta_1)$ なら $d_Y(f(x),L)<\varepsilon$、$x\in E\cap B^\circ(p,\delta_2)$ なら $d_Y(f(x),L')<\varepsilon$ である。$\delta:=\min(\delta_1,\delta_2)$ とすると、$p$ は集積点なので $E\cap B^\circ(p,\delta)$ に点 $x$ がある。三角不等式から
$$
d_Y(L,L')\le d_Y\bigl(L,f(x)\bigr)+d_Y\bigl(f(x),L'\bigr)<2\varepsilon=d_Y(L,L')
$$
となり矛盾する。したがって $L=L'$ である。
直感
極限の定義は、「出力の誤差 $\varepsilon$ をどれだけ厳しく指定されても、入力を $p$ に十分近く（距離 $\delta$ 未満に）とれば、その誤差に収まる」という約束である。$\varepsilon$ を先に指定し、$\delta$ は $\varepsilon$ に応じて選んでよい。中心 $p$ を除外近傍で除くので、$f(p)$ が定義されていても極限には影響しない。たとえば $f(x)=0$（$x\ne0$）、$f(0)=1$ なら $\lim_{x\to0}f(x)=0\ne f(0)$ である。
$f$ が $p\in E$ で連続であることは、$p$ が $E$ の集積点なら $\lim_{x\to p}f(x)=f(p)$ と同じである（Leb26a §7.5.5、p. 293。連続写像 の記事の定理「距離空間での $\varepsilon$-$\delta$ 判定」の条件で $x=p$ を除いても変わらないことによる）。極限は連続性の「$f(p)$ を見ない版」であり、微分係数の定義 $\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ のように、$p$ で値が定義されない式を扱うのに使われる。
点列による特徴づけ
関数の極限は、数列の極限 だけで言い換えられる。これにより、数列について証明した性質（四則、大小関係、はさみうち）がそのまま関数の極限に移る。
$p$ を $E$ の集積点、$L\in Y$ とする。次は同値である。
- $\lim_{x\to p}f(x)=L$。
- $E\setminus\{p\}$ の点列 $(x_n)$ で $x_n\to p$ となるものすべてについて、$f(x_n)\to L$（$n\to\infty$）である。
1 ⇒ 2：$(x_n)$ を $E\setminus\{p\}$ の点列で $x_n\to p$ となるものとし、$\varepsilon>0$ をとる。1 から $\delta>0$ があり、$x\in E\cap B^\circ(p,\delta)$ なら $d_Y(f(x),L)<\varepsilon$ である。$x_n\to p$ なので、ある $N$ があって $n\ge N$ なら $d_X(x_n,p)<\delta$ であり、$x_n\ne p$ だから $x_n\in E\cap B^\circ(p,\delta)$ である。よって $n\ge N$ なら $d_Y(f(x_n),L)<\varepsilon$ であり、$f(x_n)\to L$ である。
2 ⇒ 1：対偶を示す。1 が成り立たないとすると、ある $\varepsilon>0$ について、どの $\delta>0$ をとっても $x\in E\cap B^\circ(p,\delta)$ で $d_Y(f(x),L)\ge\varepsilon$ となる $x$ がある。$\delta=1/n$（$n=1,2,\dots$）としてこの $x$ を $x_n$ とおくと、$x_n\in E\setminus\{p\}$、$d_X(x_n,p)<1/n$ なので $x_n\to p$ であるが、すべての $n$ で $d_Y(f(x_n),L)\ge\varepsilon$ なので $f(x_n)\not\to L$ である。したがって 2 も成り立たない。
この定理は Rud76 Theorem 4.2（p. 84）、Leb26a Lemma 3.1.7（p. 116。実数の場合）と Lemma 7.5.17（p. 293。距離空間の場合）にある。$X=Y=\mathbb{R}$ の場合は 極限とε-δ の記事の命題「数列による特徴づけ」でもある。
$E\setminus\{p\}$ の 2 つの点列 $(x_n)$、$(x'_n)$ がともに $p$ に収束し、$f(x_n)\to L$、$f(x'_n)\to L'$ で $L\ne L'$ ならば、$f(x)$ は $x\to p$ で極限をもたない。また、$E\setminus\{p\}$ の点列 $(x_n)$ で $x_n\to p$ かつ $(f(x_n))$ が収束しないものがあれば、$f(x)$ は $x\to p$ で極限をもたない。
極限 $M$ があれば、thm-lim-sequential により $f(x_n)\to M$ かつ $f(x'_n)\to M$ であり、数列の極限の一意性（数列の極限 の記事の命題「極限の一意性」）から $L=M=L'$ となって矛盾する。後半も同じく、$f(x_n)\to M$ となるはずなので矛盾する。
- $f(x)=\sin\frac1x$（$x\ne0$）は $x\to0$ で極限をもたない。$x_n=\frac{1}{2n\pi}$ では $f(x_n)=0$、$x'_n=\frac{1}{2n\pi+\pi/2}$ では $f(x'_n)=1$ であり、どちらの点列も $0$ に収束するので、cor-lim-two-sequences による。一方 $g(x)=x\sin\frac1x$ は $|g(x)|\le|x|$ なので $\lim_{x\to0}g(x)=0$ である（はさみうちの原理 の例「$x\sin\frac1x$ の極限」）。
- $D(x)=1$（$x\in\mathbb{Q}$）、$D(x)=0$（$x\notin\mathbb{Q}$）とする。どの実数 $p$ についても、$p$ に収束する有理数の列 $(x_n)$ と無理数の列 $(x'_n)$（ともに $p$ と異なるもの）がとれる（たとえば $x_n$ を区間 $(p,p+1/n)$ の有理数、$x'_n$ を同じ区間の無理数とする）。$D(x_n)=1$、$D(x'_n)=0$ なので、$D$ はどの点でも極限をもたない。
- 定義域を有理数に制限した $D|_{\mathbb{Q}}$ は定数 $1$ なので、どの $p\in\mathbb{R}$ でも $\lim_{x\to p,\,x\in\mathbb{Q}}D(x)=1$ である。極限は定義域の取り方に依存する（prop-lim-restriction）。
Cauchy の判定法
thm-lim-sequential は極限の値 $L$ を知っていないと使えない。値の見当がつかないまま極限の存在だけを示すには、Cauchy列 と同じ考え方をとる。
$Y$ を 完備距離空間 とし、$p$ を $E$ の集積点とする。次は同値である。
- $\lim_{x\to p}f(x)$ が $Y$ の中に存在する。
- 任意の $\varepsilon>0$ に対してある $\delta>0$ があり、$x,x'\in E\cap B^\circ(p,\delta)$ ならば $d_Y\bigl(f(x),f(x')\bigr)<\varepsilon$ である。
1 ⇒ 2 は $Y$ が完備でなくても成り立つ。
1 ⇒ 2：$L:=\lim_{x\to p}f(x)$ とし、$\varepsilon>0$ をとる。$\delta>0$ を、$x\in E\cap B^\circ(p,\delta)$ なら $d_Y(f(x),L)<\varepsilon/2$ となるようにとる。$x,x'\in E\cap B^\circ(p,\delta)$ なら、三角不等式から $d_Y(f(x),f(x'))\le d_Y(f(x),L)+d_Y(L,f(x'))<\varepsilon$ である。
2 ⇒ 1：段 1（候補 $L$ をつくる）。$p$ は集積点なので、各 $n$ について $x_n\in E\cap B^\circ(p,1/n)$ がとれる。$\varepsilon>0$ に対して 2 の $\delta$ をとり、$N>1/\delta$ とすると、$m,n\ge N$ なら $x_m,x_n\in E\cap B^\circ(p,\delta)$ なので $d_Y(f(x_m),f(x_n))<\varepsilon$ である。したがって $(f(x_n))$ は Cauchy 列であり、$Y$ は完備なので、ある $L\in Y$ に収束する。
段 2（$f(x)\to L$）。$\varepsilon>0$ をとり、2 の $\delta$ をとる。$x\in E\cap B^\circ(p,\delta)$ を固定する。$n>1/\delta$ なら $x_n\in E\cap B^\circ(p,\delta)$ なので $d_Y(f(x),f(x_n))<\varepsilon$ である。$n\to\infty$ とすると、距離は連続なので（距離空間 の記事の系「距離は連続関数」）$d_Y(f(x),f(x_n))\to d_Y(f(x),L)$ であり、$d_Y(f(x),L)\le\varepsilon$ を得る。$\varepsilon$ は任意なので $\lim_{x\to p}f(x)=L$ である。
$Y=\mathbb{R}$ や $Y=\mathbb{R}^m$ は完備なので（Cauchy列 の記事の定理「実数列の Cauchy判定法」と、成分ごとの評価による）、実数値・ベクトル値の関数にはいつでもこの判定法が使える。広義積分 $\int_a^\infty g(t)\,dt$ の収束（$F(x)=\int_a^xg(t)\,dt$ の $x\to\infty$ での極限）の判定は、この定理の $x\to\infty$ 版の典型的な使い方である。
定義域の制限と片側極限
$p$ を $E$ の集積点とし、$A,B\subset E$ とする。
- $\lim_{x\to p,\,x\in E}f(x)=L$ で、$p$ が $A$ の集積点ならば、$\lim_{x\to p,\,x\in A}f(x)=L$ である。
- $E=A\cup B$ で、$p$ が $A$ と $B$ の両方の集積点であり、$\lim_{x\to p,\,x\in A}f(x)=\lim_{x\to p,\,x\in B}f(x)=L$ ならば、$\lim_{x\to p,\,x\in E}f(x)=L$ である。
1：$E$ についての条件の $\delta$ が、そのまま $A$ についての条件を満たす（$A\cap B^\circ(p,\delta)\subset E\cap B^\circ(p,\delta)$）。
2：$\varepsilon>0$ をとり、$A$ についての $\delta_A$、$B$ についての $\delta_B$ をとって $\delta:=\min(\delta_A,\delta_B)$ とする。$x\in E\cap B^\circ(p,\delta)$ なら $x\in A$ または $x\in B$ であり、どちらの場合も $d_Y(f(x),L)<\varepsilon$ である。
$X=\mathbb{R}$ で $A=E\cap(p,\infty)$、$B=E\cap(-\infty,p)$ とすると、$A$ に制限した極限が 右側極限 $\lim_{x\to p+0}f(x)$、$B$ に制限した極限が 左側極限 $\lim_{x\to p-0}f(x)$ である（関数の極限の計算 の定義「右側極限・左側極限」）。$E\setminus\{p\}=A\cup B$ であり、極限は $p$ での値を見ないので、prop-lim-restriction から、$p$ が $A$、$B$ の両方の集積点なら、「極限が存在する」ことと「右側極限と左側極限がともに存在して等しい」ことは同値である（Leb26a Proposition 3.1.17、p. 120）。単調関数については、片側極限がいつでも存在して上限・下限で表される（単調関数 の記事の定理「単調関数の片側極限」、Rud76 Theorem 4.29、p. 95）。
prop-lim-restriction の 1 の対偶は、極限が存在しないことを示すのに使う。2 つの部分集合に沿った極限が異なれば、もとの極限は存在しない。
多変数の関数の極限
$X=\mathbb{R}^n$ のときは、$p$ に近づく道筋が無数にある。直線に沿った極限がすべて一致しても、極限が存在するとは限らない。
$Y=\mathbb{R}^m$、$f=(f_1,\dots,f_m)$、$L=(L_1,\dots,L_m)$ とする。$\lim_{x\to p}f(x)=L$ であることと、すべての $i$ について $\lim_{x\to p}f_i(x)=L_i$ であることは同値である。
$w\in\mathbb{R}^m$ について $|w_i|\le\|w\|\le|w_1|+\dots+|w_m|$ である（前半は $\|w\|^2\ge w_i^2$、後半は両辺を 2 乗して比べる）。$w=f(x)-L$ に使うと、$\|f(x)-L\|<\varepsilon$ なら各 $|f_i(x)-L_i|<\varepsilon$ であり、逆に各 $i$ で $|f_i(x)-L_i|<\varepsilon/m$ なら $\|f(x)-L\|<\varepsilon$ である。$\delta$ は、後者では $m$ 個の $\delta$ の最小値をとればよい。
- $f(x,y)=\dfrac{xy}{x^2+y^2}$（$(x,y)\ne(0,0)$）とする。直線 $y=kx$ 上では $f(x,kx)=\dfrac{k}{1+k^2}$ で一定なので、$(x,y)\to(0,0)$ のとき直線ごとに異なる値に近づく。prop-lim-restriction の 1 により、原点での極限は存在しない。
- $g(x,y)=\dfrac{x^2y}{x^4+y^2}$ とする。直線 $y=kx$ 上では $g(x,kx)=\dfrac{kx}{x^2+k^2}\to0$（$k\ne0$）、座標軸上では $g=0$ なので、原点を通るどの直線に沿っても $0$ に近づく。しかし放物線 $y=x^2$ 上では $g(x,x^2)=\dfrac12$ なので、原点での極限は存在しない（偏微分 の記事の例「反例：すべての方向微分があっても連続でない関数」と同じ関数である）。
- $h(x,y)=\dfrac{x^2y}{x^2+y^2}$ は $|h(x,y)|\le|y|\le\|(x,y)\|$ を満たすので、$\lim_{(x,y)\to(0,0)}h(x,y)=0$ である。
- のように、極限の存在を示すには $p$ からの距離だけで決まる量で上から押さえるのが基本である。
$p$ を $E$ の集積点、$L\in Y$ とし、ある $r_0>0$ と、$\varphi(r)\to0$（$r\to+0$）を満たす関数 $\varphi\colon(0,r_0)\to[0,\infty)$ があって、$x\in E\cap B^\circ(p,r_0)$ なら $d_Y(f(x),L)\le\varphi\bigl(d_X(x,p)\bigr)$ であるとする。このとき $\lim_{x\to p}f(x)=L$ である。
$\varepsilon>0$ に対し、$0< r<\delta$ なら $\varphi(r)<\varepsilon$ となる $\delta\in(0,r_0]$ をとる。$x\in E\cap B^\circ(p,\delta)$ なら $r=d_X(x,p)\in(0,\delta)$ なので $d_Y(f(x),L)\le\varphi(r)<\varepsilon$ である。
平面では極座標 $x=r\cos\theta$、$y=r\sin\theta$ で書き、$\theta$ によらない $\varphi(r)$ で押さえられればよい。$\theta$ ごとに $r\to0$ の極限が $L$ であるだけでは足りない（ex-lim-paths の (2) では、$\theta$ を固定すると $r\to0$ で $0$ に近づくが、近づき方が $\theta$ によって一様でない）。
累次極限
2 変数の関数で、先に $y$ について、次に $x$ について極限をとったもの $\lim_{x\to a}\bigl(\lim_{y\to b}f(x,y)\bigr)$ を 累次極限（iterated limit）という。これに対し $\lim_{(x,y)\to(a,b)}f(x,y)$ を 2 重極限 とよぶことがある。
$f$ を点 $(a,b)$ のある除外近傍 $B^\circ((a,b),r)\subset\mathbb{R}^2$ で定義された実数値関数とし、次の 2 つを仮定する。
- $\lim_{(x,y)\to(a,b)}f(x,y)=L$ である。
- $0<|x-a|< r/2$ を満たす各 $x$ について、$g(x):=\lim_{y\to b}f(x,y)$ が存在する。
このとき $\lim_{x\to a}g(x)=L$ である。つまり累次極限は存在して 2 重極限に等しい。
$\varepsilon>0$ をとり、1 から $\delta\in(0,r/2]$ を、$0<\|(x,y)-(a,b)\|<\delta$ なら $|f(x,y)-L|<\varepsilon$ となるようにとる。$0<|x-a|<\delta/2$ を満たす $x$ を固定する。$|y-b|<\delta/2$ なら $\|(x,y)-(a,b)\|\le|x-a|+|y-b|<\delta$ であり、$x\ne a$ なのでこの距離は正である。よって $|y-b|<\delta/2$、$y\ne b$ のすべての $y$ で $|f(x,y)-L|<\varepsilon$ である。ここで $y\to b$ とすると、2 から $f(x,y)\to g(x)$ なので（数列の極限は大小関係を保つので、thm-lim-sequential を通して）$|g(x)-L|\le\varepsilon$ を得る。これが $0<|x-a|<\delta/2$ のすべての $x$ で成り立つので、$\lim_{x\to a}g(x)=L$ である。
次の表は、この記事の定理の仮定を 1 つずつ外した例である。1〜3 行目は thm-lim-iterated（原点で考える）、4 行目は thm-lim-cauchy、5 行目は prop-lim-unique についてのものである。
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| 2 重極限が存在する | $f=\dfrac{x^2-y^2}{x^2+y^2}$ | 2 つの累次極限が $1$ と $-1$ で異なる |
| 2 重極限が存在する | $f=\dfrac{xy}{x^2+y^2}$ | 2 つの累次極限はともに $0$ だが、2 重極限は存在しない（累次極限が一致しても 2 重極限の存在は出ない） |
| 内側の極限が存在する | $f=x\sin\dfrac1y$（$y\ne0$）、$f=0$（$y=0$） | 2 重極限は $0$ だが、$x\ne0$ では $\lim_{y\to0}f(x,y)$ が存在せず、累次極限が定まらない |
| 値域が完備である（thm-lim-cauchy） | $f\colon(0,1]\to\mathbb{Q}$、$f(x)=$ $\sqrt2$ の小数第 $\lceil1/x\rceil$ 位までの切り捨て | Cauchy の条件を満たすが、$\mathbb{Q}$ の中に極限がない |
| 近づく点が集積点である（rem-lim-cluster） | $E=\{0\}\cup[1,2]$ 上の関数、$p=0$ | どの $L$ も極限の条件を満たし、極限が一意に決まらない |
表の各行を確かめる。
5 つの確かめを開く
1 行目：$y\ne0$ を固定して $x\to0$ とすると $f\to-1$、$x\ne0$ を固定して $y\to0$ とすると $f\to1$ である。よって $\lim_{y\to0}\lim_{x\to0}f=-1$、$\lim_{x\to0}\lim_{y\to0}f=1$ である。thm-lim-iterated により、2 重極限があれば両方とも同じ値になるはずなので、2 重極限は存在しない。
2 行目：$x\ne0$ を固定すると $f(x,y)\to0$（$y\to0$）、$y\ne0$ を固定しても同様で、累次極限はともに $0$ である。2 重極限がないことは ex-lim-paths の (1) で示した。
3 行目：$|f(x,y)|\le|x|\le\|(x,y)\|$ なので prop-lim-radial により 2 重極限は $0$ である。$x\ne0$ を固定すると $x\sin\frac1y$ は $y\to0$ で極限をもたない（ex-lim-oscillation の (1) の $\sin\frac1y$ を $x$ 倍したもの）。もう一方の順序の累次極限は $\lim_{y\to0}\lim_{x\to0}f=\lim_{y\to0}0=0$ で、2 重極限と一致する。
4 行目：$q_k$ を $\sqrt2$ の小数第 $k$ 位までの切り捨てとすると $q_k\in\mathbb{Q}$、$0\le\sqrt2-q_k<10^{-k}$ である。$x\in(0,\delta)$ なら $\lceil1/x\rceil>1/\delta$ なので、$x,x'\in(0,\delta)$ について $|f(x)-f(x')|<2\cdot10^{-1/\delta}$ となり、Cauchy の条件を満たす。$\mathbb{R}$ の中では $f(x)\to\sqrt2$（$x\to+0$）であり、極限の一意性（prop-lim-unique）から $\mathbb{Q}$ の中のどの値にも収束しない。
5 行目：$B^\circ(0,1)\cap E=\emptyset$ なので、$\delta=1$ とすればどの $L$ についても条件が成り立つ。
補足
和・積・商と合成。 実数値の関数 $f,g$ が $x\to p$ で極限をもてば、和・積・（分母の極限が $0$ でないときの）商も極限をもち、極限は極限の和・積・商である。thm-lim-sequential と 数列の極限 の記事の命題「極限の四則演算」から従う（$X=\mathbb{R}$ の場合の直接の証明は 関数の極限の計算 の定理「極限の四則」）。合成については、外側の関数が連続でないと $\lim g(f(x))=g(\lim f(x))$ が成り立たないことに注意が要る（関数の極限の計算 の定理「合成関数の極限」と例「反例：外側が連続でない」）。
大小関係とはさみうち。 $f(x)\le g(x)$ のもとで極限の大小が保たれることは、thm-lim-sequential と 数列の極限 の記事の命題「極限は大小関係を保つ」から従う。上下から挟まれた関数の極限は、はさみうちの原理 の定理「はさみうちの原理」が一般の集合 $D$ に沿った極限の形で扱っている。極限の存在しない関数については、上極限・下極限 $\limsup_{x\to p}f(x)$、$\liminf_{x\to p}f(x)$ が代わりの役を果たす（上極限と下極限）。
位相空間への一般化。 定義の除外近傍を「$p$ を含む開集合から $p$ を除いたもの」に替えれば、位相空間の間の写像にも極限が定まる。値域の位相が粗いと極限は一意でない。たとえば $Y$ に密着位相（開集合が $\emptyset$ と $Y$ だけ）を入れると、$Y$ のどの点 $L$ も極限の条件を満たす。prop-lim-unique の証明で使った「異なる 2 点を互いに交わらない開集合で分ける」性質が Hausdorff空間 の条件である。また thm-lim-sequential の 2 ⇒ 1 の証明では、半径 $1/n$ の除外近傍という可算個の集合だけで $p$ の近くを調べられることを使っている。
関連項目
参考文献
Mathpediaは寄付と、参考文献の書籍リンク（Amazonアソシエイト）の紹介料で運営されています。 支援について ／ 寄付する
