平坦射

Tor関手 $\operatorname{Tor}_i^A(M,-)$ は $M\otimes_A-$ の左導来関手（導来関手）であり、短完全列 $0\to N'\to N\to N''\to0$ に対して長完全列
$$ \cdots\to\operatorname{Tor}_1^A(M,N)\to\operatorname{Tor}_1^A(M,N'')\to M\otimes_AN'\to M\otimes_AN\to M\otimes_AN''\to0 $$
があり、$F$ が自由加群なら $i\ge1$ で $\operatorname{Tor}_i^A(M,F)=0$ である（Mat86 付録 B、AM69 第 2 章）。
$3\Rightarrow2$ は明らかである。$2\Rightarrow1$：$N'\to N$ を単射とし、$N''$ をその余核（余核）とすると、上の長完全列で $\operatorname{Tor}_1^A(M,N'')=0$ なので $M\otimes_AN'\to M\otimes_AN$ は単射である。
$1\Rightarrow3$：$i$ に関する帰納法で示す。$N$ を任意の $A$ 加群とし、自由加群 $F$ と短完全列 $0\to K\to F\to N\to0$ をとる。長完全列の一部
$$ \operatorname{Tor}_1^A(M,F)=0\to\operatorname{Tor}_1^A(M,N)\to M\otimes_AK\to M\otimes_AF $$
において、$M$ が平坦なので最後の写像は単射であり、よって $\operatorname{Tor}_1^A(M,N)=0$ である。$i\ge2$ では、長完全列の $\operatorname{Tor}_i^A(M,F)=0\to\operatorname{Tor}_i^A(M,N)\to\operatorname{Tor}_{i-1}^A(M,K)\to\operatorname{Tor}_{i-1}^A(M,F)=0$ から $\operatorname{Tor}_i^A(M,N)\cong\operatorname{Tor}_{i-1}^A(M,K)$ であり、帰納法の仮定によりこれは $0$ である。

まず、$B_\mathfrak{q}$ が $A_\mathfrak{p}$ 加群であること（$\varphi(A\setminus\mathfrak{p})\subset B\setminus\mathfrak{q}$）と、$A_\mathfrak{p}$ 加群 $N$ に対して自然な同型 $N\otimes_AB_\mathfrak{q}\cong N\otimes_{A_\mathfrak{p}}B_\mathfrak{q}$ があること（$N=N\otimes_AA_\mathfrak{p}$ と結合律）に注意する。
$1\Rightarrow2$：$N'\to N$ を $A_\mathfrak{p}$ 加群の単射とする。$A$ 加群の単射でもあるから、$B$ の平坦性により $N'\otimes_AB\to N\otimes_AB$ は単射であり、局所化 $-\otimes_BB_\mathfrak{q}$ は完全関手なので $N'\otimes_AB_\mathfrak{q}\to N\otimes_AB_\mathfrak{q}$ も単射である。上の同型により $N'\otimes_{A_\mathfrak{p}}B_\mathfrak{q}\to N\otimes_{A_\mathfrak{p}}B_\mathfrak{q}$ は単射である。$2\Rightarrow3$ は明らかである。
$3\Rightarrow1$：$N'\to N$ を $A$ 加群の単射とし、$K:=\ker(N'\otimes_AB\to N\otimes_AB)$ とおく。$B$ の極大イデアル $\mathfrak{n}$ をとり $\mathfrak{p}=\varphi^{-1}(\mathfrak{n})$ とする。局所化の完全性により
$$ K_\mathfrak{n}=\ker\bigl(N'\otimes_AB_\mathfrak{n}\to N\otimes_AB_\mathfrak{n}\bigr)=\ker\bigl(N'_\mathfrak{p}\otimes_{A_\mathfrak{p}}B_\mathfrak{n}\to N_\mathfrak{p}\otimes_{A_\mathfrak{p}}B_\mathfrak{n}\bigr) $$
であり（$N\otimes_AB_\mathfrak{n}=N\otimes_AA_\mathfrak{p}\otimes_{A_\mathfrak{p}}B_\mathfrak{n}=N_\mathfrak{p}\otimes_{A_\mathfrak{p}}B_\mathfrak{n}$）、$N'_\mathfrak{p}\to N_\mathfrak{p}$ は単射で $B_\mathfrak{n}$ は平坦 $A_\mathfrak{p}$ 加群だから $K_\mathfrak{n}=0$ である。すべての極大イデアルで局所化が消える $B$ 加群は $0$ なので（AM69 命題 3.8）$K=0$、すなわち $B$ は平坦である。
最後の主張：$\operatorname{Spec}B$ の点 $\mathfrak{q}$ における局所環の準同型は $A_\mathfrak{p}\to B_\mathfrak{q}$ にほかならないから、def-flat-morphism の平坦性は条件 2 である。

環の場合を先に示す。$A\to B\to C$ が平坦なら、$A$ 加群 $N$ に対し $N\otimes_AC\cong(N\otimes_AB)\otimes_BC$ であり、完全関手の合成は完全なので $C$ は平坦 $A$ 加群である。$A\to B$ が平坦で $A\to A'$ が任意の環準同型なら、$A'$ 加群 $N$ に対し $N\otimes_{A'}(B\otimes_AA')\cong N\otimes_AB$ であり、右辺は $N$ について完全なので $B\otimes_AA'$ は平坦 $A'$ 加群である。
スキームの場合。1：$f\colon X\to Y$、$g\colon Y\to Z$ を平坦とし、$x\in X$、$y=f(x)$、$z=g(y)$ とする。$z$ のアフィン開近傍 $\operatorname{Spec}A$、$y$ のアフィン開近傍 $\operatorname{Spec}B\subset g^{-1}(\operatorname{Spec}A)$、$x$ のアフィン開近傍 $\operatorname{Spec}C\subset f^{-1}(\operatorname{Spec}B)$ をとると、prop-flat-morphism-local により $A\to B$ と $B\to C$ は平坦であり、よって $A\to C$ は平坦で、ふたたび prop-flat-morphism-local により $g\circ f$ は $x$ で平坦である。2：$x'\in X':=X\times_YY'$ とし、その像を $x\in X$、$y'\in Y'$、$y\in Y$ とする。$y$ のアフィン開近傍 $\operatorname{Spec}A$、その逆像の中に $x$ のアフィン開近傍 $\operatorname{Spec}B$ と $y'$ のアフィン開近傍 $\operatorname{Spec}A'$ をとると、$\operatorname{Spec}(B\otimes_AA')$ は $x'$ を含む $X'$ の開集合で、$A\to B$ が平坦だから $A'\to B\otimes_AA'$ は平坦であり、$f'$ は $x'$ で平坦である。3：全射性は合成と底変換で保たれる（底変換については、$y'\in Y'$ の像を $y$ とすると $X'\times_{Y'}\operatorname{Spec}\kappa(y')=X_y\times_{\kappa(y)}\operatorname{Spec}\kappa(y')$ であり、$X_y\ne\emptyset$ なら $0$ でない $\kappa(y)$ 代数に体 $\kappa(y')$ をテンソルしたものは $0$ でないから、これは空でない。Har77 II 演習 3.10）。

$A$ を整域、$a\ne0$ とする。$a$ 倍写像 $A\xrightarrow{\ a\ }A$ は単射であり、$M$ が平坦ならこれに $-\otimes_AM$ を施した $M\xrightarrow{\ a\ }M$ も単射である。これは $M$ が $a$ 捩れをもたないことにほかならない。逆に $A$ を単項イデアル整域、$M$ を捩れのない加群とする。rem-flat-morphism-ideal-criterion のイデアルによる判定により、すべてのイデアル $I=(a)$ について $I\otimes_AM\to M$ が単射であることを示せばよい。$a=0$ なら自明である。$a\ne0$ なら $A\xrightarrow{\ a\ }I$ は $A$ 加群の同型であり、これを通して $I\otimes_AM\to M$ は $M\cong A\otimes_AM\xrightarrow{\ a\ }M$ と同一視され、$M$ が捩れをもたないのでこれは単射である。