押し出し

二つの押し出しを $Q,Q'$ とする。$Q'$ への二本の構造射に $Q$ の普遍性を適用して $u:Q\to Q'$ を得る。逆に $v:Q'\to Q$ を得る。$vu$ と $\operatorname{id}_Q$ は $i,j$ との合成が一致するので等しい。逆向きの往復も恒等射になる。構造射を保つ射は一つしかないため同型も一意である。

$r,s:Q\to X$ で $rj=sj$ とする。$(ri)f=(rj)g=(sj)g=(si)f$ なので、$f$ のエピ性から $ri=si$。$r,s$ は二つの構造射への制限が一致するから押し出しの普遍性により等しい。この証明は圏論的な右消去条件だけを使い、具体圏の台集合上の全射性を仮定しない。

この証明は 引き戻し の記事の命題「貼り合わせ補題」に帰着する。射をすべて反転した 反対圏 $\mathcal C^{\mathrm{op}}$ を考える。$\mathcal C$ の射 $f:C\to A$、$g:C\to B$ の押し出し $(Q,i,j)$ の定義は、射の向きを反転すると、$\mathcal C^{\mathrm{op}}$ の射 $f^{\mathrm{op}}:A\to C$、$g^{\mathrm{op}}:B\to C$ の引き戻し $(Q,i^{\mathrm{op}},j^{\mathrm{op}})$ の定義と文字どおり一致する。したがって $\mathcal C$ の可換方形が押し出しであることと、$\mathcal C^{\mathrm{op}}$ で同じ方形が引き戻しであることは同値である。
上の配置を $\mathcal C^{\mathrm{op}}$ で見ると、$y^{\mathrm{op}}:Z\to Y$、$x^{\mathrm{op}}:Y\to X$、$c^{\mathrm{op}}:Z\to C$、$b^{\mathrm{op}}:Y\to B$、$a^{\mathrm{op}}:X\to A$、$g^{\mathrm{op}}:C\to B$、$f^{\mathrm{op}}:B\to A$ が $b^{\mathrm{op}}y^{\mathrm{op}}=g^{\mathrm{op}}c^{\mathrm{op}}$、$a^{\mathrm{op}}x^{\mathrm{op}}=f^{\mathrm{op}}b^{\mathrm{op}}$ を満たす配置になる。これは引き戻しの貼り合わせ補題の配置で、$(X,Y,Z,A,B,C,x,y,a,b,c,f,g)$ をそれぞれ $(Z,Y,X,C,B,A,y^{\mathrm{op}},x^{\mathrm{op}},c^{\mathrm{op}},b^{\mathrm{op}},a^{\mathrm{op}},g^{\mathrm{op}},f^{\mathrm{op}})$ と読み替えたものである。この読み替えで、引き戻しの補題における「右の方形」は本命題の左の方形 $(Y;x,b)$ に、「左の方形」は本命題の右の方形 $(Z;y,c)$ に、「外側の長方形」は本命題の外側の長方形 $(Z;yx,c)$ に対応する。
仮定により本命題の左の方形は押し出し、すなわち $\mathcal C^{\mathrm{op}}$ で引き戻しである。よって引き戻しの貼り合わせ補題から、$\mathcal C^{\mathrm{op}}$ で右の方形が引き戻しであることと外側の長方形が引き戻しであることは同値であり、これを $\mathcal C$ に戻せば、本命題の 1 と 2 の同値である。