押し出し

同義語：押し出し(圏論)プッシュアウトファイバー余積

概要

定義

押し出しは、別々の対象を与えられた対応に沿って貼り合わせる。圏論の引き戻しとは射の向きが逆である。

押し出し

射 $f:C\to A$、$g:C\to B$ の押し出し（pushout）は、対象 $Q$ と射 $i:A\to Q$、$j:B\to Q$ で $if=jg$ を満たすもので、次の普遍性を持つ。任意の $a:A\to X$、$b:B\to X$ で $af=bg$ となるものに対し、$ui=a$、$uj=b$ を満たす $u:Q\to X$ がただ一つ存在する。

$Q=A\amalg_C B$ と書く。底とする $C$ だけでなく、二本の射 $f,g$ および構造射 $i,j$ が重要である。定義は Rie16 §3.1による。

直感

貼り合わせ後の対象から写像を出すには、各部分で写像を定め、貼り合わせる箇所で一致することを示せばよい。構造射が必ず埋め込みになるとは限らず、$f,g$ が同一視を要求すれば、一つの側の異なる元も貼り合わせ後に同じになることがある。

例と反例

集合の貼り合わせ

集合の非交和 $A\amalg B$ において、各 $c\in C$ の二つの像 $\iota_A f(c)$ と $\iota_B g(c)$ を同一視する最小の同値関係を $\sim$ とする。商 $(A\amalg B)/{\sim}$ が押し出しである。$af=bg$ なら、非交和上で $a,b$ を合わせた写像は生成関係で等しい値を持ち、同値関係全体でも一定なので商へ一意に降りる。

ベクトル空間の商

線形写像 $f:C\to A,g:C\to B$ について
$$ Q=(A\oplus B)/\{(f(c),-g(c)):c\in C\} $$
が押し出しになる。分母は線形写像 $c\mapsto(f(c),-g(c))$ の像なので部分空間である。$af=bg$ であることは、線形写像 $(x,y)\mapsto a(x)+b(y)$ がこの部分空間で零となることに等しい。従って商の普遍性が必要な一意な因子化を与える。

半順序集合の上限

$c\leq a,c\leq b$ を射とみなすと、$a,b$ の最小上界が存在する場合、それが押し出しである。二つの合成の一致は順序圏で自動的に成り立ち、任意の共通上界への一意な射という普遍性が上限の定義に一致する。

反例：一方の構造射が単射とは限らない

集合 $C=\{0,1\}$、$A=\{*\}$、$B=\{0,1\}$ とし、$f$ は唯一の写像、$g$ は恒等写像とする。貼り合わせでは $0\sim *\sim1$ なので、押し出しは一点集合である。構造射 $B\to Q$ は単射でない。「貼り合わせる」ことは常に両側をそのまま部分集合として残すことではない。

性質と証明

押し出しの一意性

同じ二本の射の押し出しは、二本の構造射を保つ一意な同型を除いて一つである。

構造射への制限を比較する

二つの押し出しを $Q,Q'$ とする。$Q'$ への二本の構造射に $Q$ の普遍性を適用して $u:Q\to Q'$ を得る。逆に $v:Q'\to Q$ を得る。$vu$ と $\operatorname{id}_Q$ は $i,j$ との合成が一致するので等しい。逆向きの往復も恒等射になる。構造射を保つ射は一つしかないため同型も一意である。

エピ射の余底変更

$f:C\to A$ がエピ射、すなわち任意の平行射 $r,s:A\to X$ について $rf=sf$ から $r=s$ が従う射なら、押し出しの射 $j:B\to Q$ もエピ射である。

後合成の消去

$r,s:Q\to X$ で $rj=sj$ とする。$(ri)f=(rj)g=(sj)g=(si)f$ なので、$f$ のエピ性から $ri=si$。$r,s$ は二つの構造射への制限が一致するから押し出しの普遍性により等しい。この証明は圏論的な右消去条件だけを使い、具体圏の台集合上の全射性を仮定しない。

始対象 $0$ があれば、$0\to A,0\to B$ の押し出しは余積 $A\amalg B$ である。整合性は始対象からの射の一意性によって自動的に成り立つので、双方の普遍性が一致する。

豊穣圏・∞圏との接続

豊穣的な押し出しは、各 $X$ に対する基礎圏 $\mathcal V$ の比較
$$ \mathcal C(Q,X)\longrightarrow \mathcal C(A,X)\times_{\mathcal C(C,X)}\mathcal C(B,X) $$
が同型であることによって特徴づけられる。右辺は $f$、$g$ との前合成が誘導する二射の引き戻しである。通常の圏のHom集合、あるいは基礎圏の単位対象から見た元だけを比較しても、豊穣構造全体の普遍性を確認したことにはならない（Kel82 §3.8の双対）。
∞圏では、指定された可換方形が押し出しであることは、任意の $X$ に対して
$$ \operatorname{Map}(Q,X)\longrightarrow \operatorname{Map}(A,X)\times^{h}_{\operatorname{Map}(C,X)}\operatorname{Map}(B,X) $$
が空間の同値になることとして検出できる。右辺は $af$ と $bg$ を結ぶ道とその高次整合性を含むので、両者がホモトピー圏で等しいことだけでは足りない。空間では一般にホモトピー押し出しになり、厳密な集合論的貼り合わせと無条件には一致しない。通常圏の脈体では写像空間が離散Hom集合と同値になり、通常の押し出しを回収する（HTT09 §§1.2.13, 4.2.4, 4.4.2）。