生成点

$\overline{\{x\}}=F_1\cup F_2$（$F_i$ は $\overline{\{x\}}$ の閉集合、したがって $X$ の閉集合）とすると、$x$ はたとえば $F_1$ に属し、$F_1$ は $x$ を含む閉集合なので $\overline{\{x\}}\subset F_1$ である。よって $\overline{\{x\}}=F_1$ であり、空でもないので既約である。反射性は $x\in\overline{\{x\}}$ による。$y\in\overline{\{x\}}$、$z\in\overline{\{y\}}$ なら、$\overline{\{x\}}$ は $y$ を含む閉集合なので $\overline{\{y\}}\subset\overline{\{x\}}$ であり、$z\in\overline{\{x\}}$ である。$\square$

1：$x\neq y$ について、一方だけを含む開集合があることと、一方だけを含む閉集合（その補集合）があることは同値である。$y\notin\overline{\{x\}}$ なら閉集合 $\overline{\{x\}}$ は $x$ だけを含み、$x\notin\overline{\{y\}}$ なら $\overline{\{y\}}$ は $y$ だけを含む。逆に閉集合 $F$ が $x$ を含み $y$ を含まなければ $\overline{\{x\}}\subset F$ なので $y\notin\overline{\{x\}}$ である。よって「$x,y$ を区別する開集合がある」ことは「$\overline{\{x\}}\neq\overline{\{y\}}$」と同値であり、前半が従う。2 つの生成点 $\xi,\xi'$ は $\overline{\{\xi\}}=\overline{\{\xi'\}}$ を満たすので、単射性から $\xi=\xi'$ である。
2：既約な部分集合 $Y$ が相異なる 2 点 $x,y$ を含むとする。Hausdorff なので $x\in U$、$y\in V$、$U\cap V=\emptyset$ となる開集合 $U,V$ がある。$Y\cap U$ と $Y\cap V$ は $Y$ の空でない開集合で交わらないが、既約な空間の空でない 2 つの開集合は交わる（既約成分 の記事の補題「既約性の言い換え」の 1）ので矛盾である。$\square$

これは スキーム の記事の命題「既約閉集合は生成点をただ 1 つもつ」であり（Stacks Tag 01IS）、筋だけ述べる。存在：$Z$ と交わるアフィン開集合 $U\cong\operatorname{Spec}A$ をとる。$Z\cap U$ は $Z$ の空でない開集合なので既約で $Z$ で稠密であり、$U$ の既約閉集合なので $Z\cap U=V(\mathfrak{p})\cap U$ となる素イデアル $\mathfrak{p}$ がある（Zariski位相 の記事の命題「既約閉集合と素イデアルの対応」の 2）。点 $\mathfrak{p}$ の $X$ での閉包は $Z\cap U$ の閉包 $Z$ に等しい。一意性：$\overline{\{\xi\}}=\overline{\{\xi'\}}$ とし、$\xi$ を含むアフィン開集合 $U$ をとる。$\xi\in\overline{\{\xi'\}}$ なので $\xi$ の近傍 $U$ は $\xi'$ を含み、$U$ の中で 2 点の閉包は等しい。$\operatorname{Spec}A$ は $T_0$ なので（同記事の命題「点の閉包と閉点」の 3）、$\xi=\xi'$ である。$\square$

1：$\eta\notin U$ なら $\eta$ は閉集合 $X\setminus U$ に属し、$X=\overline{\{\eta\}}\subset X\setminus U$ となって $U=\emptyset$ に反する。$U$ での $\{\eta\}$ の閉包は $\overline{\{\eta\}}\cap U=U$ なので、$\eta$ は $U$ の生成点である。$U\cong\operatorname{Spec}A$ は既約なので $\sqrt{0}$ は素イデアルであり（Zariski位相 の記事の命題「既約閉集合と素イデアルの対応」の 3）、$V(\sqrt{0})=U$ だから点 $\sqrt{0}$ は $U$ の生成点である。生成点の一意性（prop-generic-point-scheme）により $\eta=\sqrt{0}$ である。$\sqrt{0}$ はすべての素イデアルに含まれるので、ただ 1 つの極小素イデアルである。
2：$x$ を含むアフィン開集合 $U\cong\operatorname{Spec}A$ をとり、$x$ に対応する素イデアルを $\mathfrak{p}$ とする。$Z\cap U=V(\mathfrak{p})$ であり、被約誘導構造は $U$ の上で $\operatorname{Spec}A/\mathfrak{p}$ である（Stacks Tag 01J3）。$Z$ は lem-generic-point-closure により既約で、被約なので整である（整スキーム の記事の定理「整であることと被約かつ既約であること」）。$x$ は $\overline{\{x\}}=Z$ なので $Z$ の生成点である。$Z$ の関数体は生成点での局所環であり（整スキーム の記事の命題「生成点の局所環と切断の埋め込み」の 2）、
$$ \mathcal{O}_{Z,x}=(A/\mathfrak{p})_{\mathfrak{p}}=\operatorname{Frac}(A/\mathfrak{p})=A_{\mathfrak{p}}/\mathfrak{p}A_{\mathfrak{p}}=\kappa(x) $$
である（局所化と商は交換する）。$\square$

1：$f$ は連続なので $f(\overline{\{\xi\}})\subset\overline{\{f(\xi)\}}$ であり、$f(X)=f(\overline{\{\xi\}})\subset\overline{\{f(\xi)\}}$ である。逆に $f(\xi)\in f(X)$ なので $\overline{\{f(\xi)\}}\subset\overline{f(X)}$ である。よって $\overline{f(X)}=\overline{\{f(\xi)\}}$ であり、lem-generic-point-closure によりこれは既約閉集合で、$f(\xi)$ はその生成点である。
2：1 により、$f$ が支配的であること、すなわち $\overline{f(X)}=Y$ は、$\overline{\{f(\xi)\}}=Y$、すなわち $f(\xi)$ が $Y$ の生成点であることと同値である。生成点はただ 1 つなので、これは $f(\xi)=\eta$ と同値である。$\square$

1 ⇒ 2：既約な空間の空でない開集合は稠密である（既約成分 の記事の補題「既約性の言い換え」の 1 の後の注意）。
2 ⇒ 1：$E=L_1\cup\cdots\cup L_r$（$L_i$ は局所閉）とすると、$E\cap Z=\bigcup_i(L_i\cap Z)$ で、各 $L_i\cap Z$ は $Z$ の局所閉集合である。有限個の和の閉包は閉包の和なので $Z=\bigcup_i\overline{L_i\cap Z}$ であり、$Z$ は既約だから、ある $i$ で $\overline{L_i\cap Z}=Z$ となる。局所閉集合はその閉包の中で開なので、$L_i\cap Z$ は $Z$ の開集合で、$Z\ne\emptyset$ の稠密な部分集合だから空でない。
1 ⇒ 3：$U\subset E\cap Z$ を $Z$ の空でない開集合とする。$\xi\notin U$ なら $\xi$ は $Z$ の閉集合 $Z\setminus U$ に属し、$Z=\overline{\{\xi\}}\subset Z\setminus U$ となって $U=\emptyset$ に反する。よって $\xi\in U\subset E$ である。
3 ⇒ 2：$\xi\in E\cap Z$ なので $\overline{E\cap Z}\supset\overline{\{\xi\}}=Z$ である。$\square$