双線形写像

次はいずれも双線形写像である。いずれも各変数を固定したときの線形性を直接確かめればよい。

1. 環の乗法と加群の作用：$A\times A\to A$、$(a,b)\mapsto ab$ と、$A$ 加群 $M$ への作用 $A\times M\to M$、$(a,m)\mapsto am$。前者の $b$ についての斉次性 $a(cb)=c(ab)$ に $A$ の可換性を使う。
2. 標準内積：$\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$、$(x,y)\mapsto\sum_{i=1}^nx_iy_i$。これは対称な双線形形式である。
3. 行列の積：$A$ 成分の $l\times m$ 行列全体 $M_{l\times m}(A)$ について、$M_{l\times m}(A)\times M_{m\times n}(A)\to M_{l\times n}(A)$、$(X,Y)\mapsto XY$。
4. 行列による双線形形式：$B\in M_{m\times n}(A)$ に対し、$A^m\times A^n\to A$、$(x,y)\mapsto x^{\mathsf T}By$（$x,y$ は列ベクトル、$x^{\mathsf T}$ は転置行列）。$B$ が単位行列なら 2 の形になる。prop-bilinear-map-matrix により、$A^m\times A^n$ 上の双線形形式はすべてこの形である。
5. $2$ 次の行列式：$A^2\times A^2\to A$、$(u,v)\mapsto\det(u\ v)=u_1v_2-u_2v_1$（$u,v$ を列とする $2\times2$ 行列の行列式）。$\det(u\ u)=0$ なので交代的である。$A=\mathbb{R}$ のとき、その絶対値は $u,v$ の張る平行四辺形の面積である。
6. ベクトル積：$\mathbb{R}^3\times\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3$、$(u,v)\mapsto u\times v=(u_2v_3-u_3v_2,\ u_3v_1-u_1v_3,\ u_1v_2-u_2v_1)$（ベクトル積）。値がベクトルである交代的な双線形写像である。
7. 評価の対：$M^\ast:=\operatorname{Hom}_A(M,A)$ を $M$ の双対加群とすると、$M^\ast\times M\to A$、$(\varphi,m)\mapsto\varphi(m)$。$\varphi$ についての線形性は $M^\ast$ の和とスカラー倍の定義そのものであり、$m$ についての線形性は $\varphi$ の線形性である。
8. 線形写像の合成：$\operatorname{Hom}_A(N,P)\times\operatorname{Hom}_A(M,N)\to\operatorname{Hom}_A(M,P)$、$(g,h)\mapsto g\circ h$。$g\circ(ah)=a(g\circ h)$ には $g$ の線形性を使う。

$M\times N$ を直和 $M\oplus N$ として加群とみる（成分ごとの和とスカラー倍）。

1. 積 $f\colon\mathbb{R}\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}$、$f(a,b)=ab$ は双線形だが、$M\times N$ 上の線形写像ではない。$(1,0)+(0,1)=(1,1)$ であるのに $f(1,0)+f(0,1)=0\neq1=f(1,1)$ だからである。この例は「各変数について線形」を満たし、「組 $(m,n)$ について線形」を満たさない。
2. 逆に、和 $g\colon\mathbb{R}\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}$、$g(a,b)=a+b$ は $\mathbb{R}\times\mathbb{R}$ 上の線形写像だが双線形でない。$g(2\cdot1,1)=3\neq4=2\,g(1,1)$ だからである。
3. 実際、線形写像でもあり双線形写像でもある写像 $h\colon M\times N\to P$ は零写像に限る。線形性から $h(m,n)=h((m,0)+(0,n))=h(m,0)+h(0,n)$ であり、双線形性から $h(m,0)=0=h(0,n)$ だからである。
   したがって「双線形写像は $M\times N$ 上の線形写像の特別なもの」という含意はどちら向きにも成り立たない。

$K$ を体とし、$\tau\colon K^2\times K^2\to M_2(K)$ を $\tau(u,w):=uw^{\mathsf T}$（列ベクトルと行ベクトルの積、$(i,j)$ 成分が $u_iw_j$ の行列）で定める。$\tau$ は双線形である。$\tau(u,w)$ の各列は $u$ のスカラー倍なので、$\tau$ の像はすべて階数（行列の階数）が $1$ 以下の行列からなる。$\tau(e_1,e_1)=E_{11}$ と $\tau(e_2,e_2)=E_{22}$ は像に入るが、その和は単位行列で階数が $2$ なので像に入らない。よって像は和で閉じず、$M_2(K)$ の部分空間ではない。線形写像の像はいつも部分加群であるから、この例は「像が部分加群である」という線形写像の性質が双線形写像では破れることを示す。$M_2(K)$ は $K^2\otimes_KK^2$ と同一視でき、このとき $\tau$ の像は単純テンソル全体にあたる（テンソル積 の記事の例「単純テンソルでない元」）。

複素数の組の空間 $\mathbb{C}^n$ の標準的なエルミート内積 $\langle x,y\rangle:=\sum_{j=1}^nx_j\overline{y_j}$ は、第 1 変数について $\mathbb{C}$ 線形だが、第 2 変数については $\langle x,cy\rangle=\overline c\,\langle x,y\rangle$ となる。$\langle x,y\rangle\neq0$ のとき $\langle x,iy\rangle=-i\langle x,y\rangle\neq i\langle x,y\rangle$ なので、条件 2 の斉次性が $a=i$ で破れ、$\langle\cdot,\cdot\rangle$ は $\mathbb{C}$ 双線形写像ではない。一方、$\mathbb{C}^n$ と $\mathbb{C}$ を実ベクトル空間とみれば、実数 $c$ では $\overline c=c$ なので $\mathbb{R}$ 双線形である。このように双線形性は係数環に依存し、係数を小さくすると成り立つことがある。第 2 変数について共役線形なものを半双線形（sesquilinear）という。

$\mathbb{F}_2=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$（有限体）上で $f\colon\mathbb{F}_2\times\mathbb{F}_2\to\mathbb{F}_2$、$f(x,y)=xy$ とする。$\mathbb{F}_2$ では $-1=1$ なので $f(x,y)=f(y,x)=-f(y,x)$ であり、$f$ は対称かつ歪対称である。しかし $f(1,1)=1\neq0$ なので交代的でない。この例は「歪対称」を満たし「交代的」を満たさないので、「歪対称なら交代的」という含意を破る。破れているのは prop-bilinear-map-alternating の 2 の仮定「$2$ が単元」である（$\mathbb{F}_2$ では $2=0$）。標数 $2$ では歪対称と対称が同じ条件になり、交代的はそれより強い条件である。

$M=\mathbb{F}_2^2$ 上の $q(x)=x_1x_2$ を考える。$a\in\mathbb{F}_2$ について $q(ax)=a^2x_1x_2=a^2q(x)$ であり、$b_q(x,y)=(x_1+y_1)(x_2+y_2)-x_1x_2-y_1y_2=x_1y_2+x_2y_1$ は双線形なので、$q$ は 2 次形式である。対称でない双線形形式 $f(x,y)=x_1y_2$ を使えば $q=q_f$ と書ける。しかし対称な双線形形式 $g$ で $q=q_g$ となるものは存在しない。実際、$g$ の行列を $(c_{ij})$ とすると $c_{12}=c_{21}$ なので $g(x,x)=c_{11}x_1^2+c_{22}x_2^2+2c_{12}x_1x_2=c_{11}x_1^2+c_{22}x_2^2$ であり、$q(e_1)=q(e_2)=0$ から $c_{11}=c_{22}=0$、したがって $g(x,x)=0$ となるが、$q(1,1)=1$ である。また $b_q(x,x)=2q(x)=0$ なので、極形式から $q$ を復元することもできない。この例は prop-bilinear-map-quadratic の 3 の仮定「$2$ が単元」を破り、「すべての 2 次形式は対称な双線形形式 $g$ により $g(x,x)$ と書ける」という含意を破る。