強制概念

同義語：forcing notion強制半順序

概要

前提知識: 前順序, 半順序集合, 集合論

強制概念とは

強制概念（forcing notion）は、強制法で「新しく加える集合について、どこまでの情報を決めたか」を順序で表す道具である。一つ一つの元を条件と呼び、条件 $p$ が条件 $q$ より多くの情報を含むとき $p\le q$ と書いて「$p$ は $q$ より強い」と読む。たとえば二値列を少しずつ決めていくとき、第 $0$ 項だけを $1$ と決めた条件より、第 $0$ 項を $1$、第 $5$ 項を $0$ と決めた条件のほうが強い。

条件は一つだけでは完成した対象を与えない。強制法では、互いに矛盾しない条件を十分たくさん集め（ジェネリックフィルター）、その集まりから新しい集合を読み取る。そのため強制概念そのものについて調べるべきことは、二つの条件が同時に満たせるか（両立性）、どの条件からも到達できる要求はどれか（稠密性）、二つの強制概念が同じ働きをするか（稠密埋め込み）である。この記事ではこれらを定義し、代表的な例と、順序の形だけから分かる基本的な定理を証明する。

定義

条件の順序

集合 $P$ 上の関係 $\le$ が反射律 $p\le p$ と推移律「$p\le q$ かつ $q\le r$ なら $p\le r$」を満たすとき、$(P,\le)$ を前順序集合という。反対称律「$p\le q$ かつ $q\le p$ なら $p=q$」も満たせば半順序集合である。

強制概念

強制概念 $\mathbb P=(P,\le,\mathbf 1)$ とは、空でない集合 $P$、$P$ 上の前順序 $\le$、およびすべての $p\in P$ について $p\le\mathbf 1$ を満たす元 $\mathbf 1\in P$ の組である。$P$ の元を条件といい、$p\le q$ を「$p$ は $q$ 以上に強い」または「$p$ は $q$ の強化である」と読む。$\mathbf 1$ を最大元または最も弱い条件と呼ぶ。

$\mathbf 1$ は何も指定していない出発点にあたる。$p< q$ は $p\le q$ かつ $q\not\le p$ を表す。前順序を許すのは、同じ情報を二通りに書いた条件（$p\le q$ かつ $q\le p$ で $p\ne q$）が自然に現れる構成があるからである。後で示すように、そうした条件を同一視しても強制法としての働きは変わらない。

流儀の違い

文献によって次の点が異なる。

(i) 順序の向き。この記事は $p\le q$ を「$p$ が強い」と読む。逆に「$q\ge p$ なら $q$ が強い」と書き、最小元を最も弱い条件とする流儀もある（Hal12 第 14 章、印刷 pp. 285–286）。どちらの流儀でも数学的内容は同じで、読むときに不等号の向きを入れ替えればよい。

(ii) 前順序か半順序か。Gun18 Definition 5（p. 7）は最大元を持つ前順序を強制概念とする。半順序に限る流儀もある。

(iii) 非自明性の要求。各条件の上に互いに両立しない二つの強化があること（後述の非原子性）を定義に含める流儀がある（Hal12 印刷 pp. 285–286）。この記事では定義に含めず、性質として別に扱う。

両立性

両立する条件

$p,q\in P$ が両立するとは、ある $r\in P$ が $r\le p$ かつ $r\le q$ を満たすことをいう。このような $r$ を $p,q$ の共通の強化と呼ぶ。両立しないとき $p\perp q$ と書く。互いに相異なる二元がどれも両立しない部分集合 $A\subset P$ を反鎖という。

$p\le q$ なら $p$ 自身が共通の強化なので、比較できる二条件は必ず両立する。逆は成り立たない。第 $0$ 項を決める条件と第 $1$ 項を決める条件は比較できないが、両方の指定を合わせた条件が共通の強化になる。反鎖は「互いに比較できない」ではなく「互いに両立しない」で定める点に注意する（順序論の反鎖との違いは反鎖を参照）。

稠密性

稠密集合と関連する概念

$D\subset P$ と $p\in P$ について次のように定める。

(i) $D$ が稠密であるとは、任意の $q\in P$ に対して $d\le q$ となる $d\in D$ があることをいう。

(ii) $D$ が開であるとは、$d\in D$ かつ $q\le d$ なら $q\in D$ となることをいう。稠密かつ開な集合を稠密開集合という。

(iii) $D$ が前稠密であるとは、任意の $q\in P$ が $D$ のある元と両立することをいう。

(iv) $D$ が $p$ の下で稠密であるとは、$q\le p$ を満たす任意の $q$ に対して $d\le q$ となる $d\in D$ があることをいう。

稠密集合は「どれだけ条件を強めた後でも、さらに強めれば満たせる要求」を表す。開であることは「一度満たした要求は、さらに強めても満たされたまま」という意味である。ここでの「稠密」「開」は順序についての語であり、位相空間の稠密性とは定義が異なる。位相空間の空でない開集合を包含で並べた強制概念では、下の例で見るように、両立することが「交わりが空でない」ことに対応する。

概念	要求すること	典型例（Cohen 強制）
稠密	どの条件の下にも元がある	第 $n$ 項を決めた条件の全体
開	元より強い条件も元	同上（決めた値は延長で保たれる）
前稠密	どの条件も元のどれかと両立する	定義域が $\{0\}$ の二条件 $\{(0,0)\}$, $\{(0,1)\}$
$p$ の下で稠密	$p$ より強い条件の下に元がある	第 $n$ 項を決めた条件の全体（どの $p$ でも）

例

有限部分関数による強制

集合 $I,J$（$J$ は $2$ 元以上）について、$I$ の有限部分集合から $J$ への関数全体を $\operatorname{Fn}(I,J)$ と書く。$p\le q$ を $p\supset q$（$p$ は関数として $q$ を延長する）で定め、$\mathbf 1$ を空関数 $\emptyset$ とする。これは半順序の強制概念である。

Cohen 強制

$\operatorname{Fn}(\omega,2)$ をCohen 強制という。条件は二値列の有限個の項の指定である。二条件 $p,q$ が両立するのは、共通の定義域の上で値が一致するときであり、このとき和 $p\cup q$ が共通の強化になる（反鎖の「有限部分関数の両立判定」。一般の $\operatorname{Fn}(I,J)$ でも同じ理由で成り立つ）。

各 $n\in\omega$ について $D_n=\{p\mid n\in\operatorname{dom}p\}$ は稠密開集合である。$p\notin D_n$ なら $p\cup\{(n,0)\}\in D_n$ が $p$ の強化になり、$D_n$ の元を延長しても $n$ は定義域に残るからである。

一方 $A=\{p\mid 0\in\operatorname{dom}p,\ p(0)=0\}$ は稠密でない。$\{(0,1)\}$ より強い条件はすべて $0$ に $1$ を割り当てるので、$A$ の元がその下にない。$A$ は「第 $0$ 項を $0$ にせよ」という、すでに $1$ と決めた条件からは満たせない要求である。

崩壊の強制

無限集合 $\kappa$ について $\operatorname{Fn}(\omega,\kappa)$ を考える。各 $\alpha\in\kappa$ について
$$ R_\alpha=\{p\in\operatorname{Fn}(\omega,\kappa)\mid \alpha\in\operatorname{ran}p\} $$
は稠密開集合である。$p$ の定義域は有限なので $n\notin\operatorname{dom}p$ がとれ、$p\cup\{(n,\alpha)\}$ が $R_\alpha$ に入る $p$ の強化になる。すべての $R_\alpha$ と $D_n=\{p\mid n\in\operatorname{dom}p\}$ に交わるフィルターからは $\omega$ から $\kappa$ への全射が得られるので、この強制概念は $\kappa$ を可算にする方向に働く（ジェネリックフィルター、可算鎖条件）。

集合族と Boole 代数による強制

空でない集合を条件とする強制

位相空間 $X$ の空でない開集合全体を $P$ とし、$U\le V$ を $U\subset V$、$\mathbf 1=X$ とする。$U,V$ が両立することは $U\cap V\ne\emptyset$ と同値である。実際、$U\cap V$ が空でなければそれ自身が共通の強化であり、逆に共通の強化 $W$ があれば $\emptyset\ne W\subset U\cap V$ である。

同じように、Boole代数 $B$ の零元以外の元全体を $b\le c$ の順序で並べると強制概念になり、$b,c$ が両立することは $b\wedge c\ne 0$ と同値である。零元を条件から除くのが要点で、除かなければ $0$ がすべての条件の共通の強化になり、どの二条件も両立してしまう。

ランダム強制

区間 $[0,1]$ の Borel集合のうち Lebesgue測度が正のもの全体を $P$ とし、$A\le B$ を $A\subset B$、$\mathbf 1=[0,1]$ とする。$A,B$ が両立することは $\lambda(A\cap B)>0$ と同値である（$\lambda$ は Lebesgue 測度）。$\lambda(A\cap B)>0$ なら $A\cap B\in P$ が共通の強化であり、共通の強化 $C$ があれば $0<\lambda(C)\le\lambda(A\cap B)$ だからである。

この強制概念は反対称だが、$A$ と、$A$ から測度 $0$ の集合を除いた $A'$ とは区別される。$A'< A$ であっても、$A'$ の強化はすべて $A$ の強化であり逆に $A$ の強化はどれも $A'$ と両立するので、二つは強制法の上で同じ働きをする。これは次節の分離性の議論が必要になる典型例である。

原子

原子と非原子的な強制概念

条件 $p$ が原子であるとは、$p$ の任意の二つの強化が両立することをいう。原子を持たない強制概念、すなわち任意の $p$ に互いに両立しない強化 $q,r\le p$ がある強制概念を非原子的という。

Cohen 強制は非原子的である。$p$ の定義域の外の $n$ をとれば、$p\cup\{(n,0)\}$ と $p\cup\{(n,1)\}$ が両立しない二つの強化になる。ランダム強制も非原子的である。$A\in P$ に対して $t\mapsto\lambda(A\cap[0,t])$ は連続で $0$ から $\lambda(A)$ まで動くので、$\lambda(A\cap[0,t])=\lambda(A)/2$ となる $t$ があり、$A\cap[0,t]$ と $A\cap(t,1]$ が両立しない二つの強化になる。

一方、一元の強制概念 $\{\mathbf 1\}$ や、有限の半順序集合の極小元は原子である。原子 $p$ を含む強制概念が基礎モデルに属するときは、$p$ と両立する条件全体が基礎モデルの中でジェネリックフィルターになってしまい（ジェネリックフィルターの「原子があるときのジェネリックフィルター」）、それによる拡大は基礎モデル自身になる（ジェネリック拡大の「フィルターが元のモデルにある場合」）。非原子性を定義に含める流儀があるのはこのためである。

稠密性の基本性質

稠密集合をそのまま扱うより、開集合や前稠密集合に言い換えたほうが扱いやすいことが多い。次の二つの命題は、その言い換えが自由にできることを示す。$D\subset P$ に対し、$D$ のどれかの元より強い条件全体を
$$ D^{\downarrow}=\{q\in P\mid (\exists d\in D)\ q\le d\} $$
と書く。

稠密集合から稠密開集合へ

$D\subset P$ が稠密なら、$D^{\downarrow}$ は $D$ を含む稠密開集合である。

証明

反射律から $d\le d$ なので $D\subset D^{\downarrow}$ であり、$D$ が稠密だから $D^{\downarrow}$ も稠密である。$q\in D^{\downarrow}$ かつ $s\le q$ とすると、ある $d\in D$ について $q\le d$ であり、推移律から $s\le d$、すなわち $s\in D^{\downarrow}$ となる。よって $D^{\downarrow}$ は開である。$\square$

前稠密集合の特徴づけ

$D\subset P$ について、$D$ が前稠密であることと $D^{\downarrow}$ が稠密であることは同値である。特に稠密集合は前稠密であり、極大な反鎖（真に大きい反鎖がない反鎖）は前稠密である。

証明

$D$ が前稠密とし、$q\in P$ をとる。$q$ はある $d\in D$ と両立するので、$r\le q$ かつ $r\le d$ となる $r$ がある。$r\in D^{\downarrow}$ だから $D^{\downarrow}$ は稠密である。逆に $D^{\downarrow}$ が稠密なら、任意の $q$ に対して $r\le q$ となる $r\in D^{\downarrow}$ があり、$r\le d$ となる $d\in D$ をとれば $r$ が $q$ と $d$ の共通の強化である。よって $D$ は前稠密である。

稠密集合 $D$ では、$q$ の下にある $d\in D$ 自身が $q$ と $d$ の共通の強化なので、前稠密である。極大な反鎖 $A$ がある $q$ と両立する元を持たないとすると、$q\notin A$ であり、$A\cup\{q\}$ は $A$ より真に大きい反鎖になって極大性に反する。よって $A$ は前稠密である。$\square$

前稠密集合は稠密とは限らない。Cohen 強制の $\{\{(0,0)\},\{(0,1)\}\}$ は極大な反鎖なので前稠密だが、$\{(1,0)\}$ の下にこの二条件はないので稠密ではない。前稠密集合は「どの条件も、この中のどれかの選択肢とは矛盾しない」という要求であり、稠密集合は「どの条件からも、この中の選択肢まで強められる」という要求である。

分離的な強制概念

強制概念では、順序 $p\le q$ よりも「$p$ の強化はすべて $q$ と両立する」という関係のほうが本質的な場合がある。ランダム強制の例で、測度 $0$ の差しかない二条件が同じ働きをしたのはこのためである。二つの関係が一致するのが次の分離性である。

分離的

強制概念 $\mathbb P$ が分離的であるとは、$p\not\le q$ ならば、$r\le p$ かつ $r\perp q$ となる $r$ が存在することをいう。

Cohen 強制は分離的である。$p\not\supset q$ とすると、$q$ のある点 $n$ について、$p$ が $n$ で $q$ と違う値をとるか、$n\notin\operatorname{dom}p$ である。前者なら $r=p$ が $q$ と両立しない。後者なら $p\cup\{(n,j)\}$（$j\ne q(n)$）が $q$ と両立しない $p$ の強化である。

分離的でない強制概念

$P=\{\mathbf 1,a,b\}$ を $b< a<\mathbf 1$ という三元の鎖とする。$a\not\le b$ だが、$a$ の強化は $a$ と $b$ だけで、どちらも $b$ と両立する（$b$ が共通の強化）。よって分離的でない。$b$ の強化は $b$ だけなので、$b$ は原子である。

分離的でない強制概念からも、次の手順で分離的な強制概念が作れる。作る前後で両立性が変わらず、ジェネリックフィルターも変わらない（(vi)）ので、強制法ではもとの強制概念の代わりに使える。

分離的な商

強制概念 $\mathbb P=(P,\le,\mathbf 1)$ に対して、$P$ 上の関係 $\preceq$ を
$$ p\preceq q\quad:\Longleftrightarrow\quad r\le p\text{ を満たす任意の }r\text{ が }q\text{ と両立する} $$
で定める。このとき次が成り立つ。

(i) $\preceq$ は前順序であり、$p\le q$ なら $p\preceq q$ である。$\mathbf 1$ は $\preceq$ についても最大元である。

(ii) $p,q$ が $\le$ について両立することと、$\preceq$ について両立することは同値である。

(iii) $(P,\preceq,\mathbf 1)$ は分離的である。

(iv) $p\sim q$ を「$p\preceq q$ かつ $q\preceq p$」で定めると、同値類の集合 $P/{\sim}$ は $\preceq$ から誘導される順序で分離的な半順序の強制概念になる。

(v) $\le$ について稠密な集合は $\preceq$ について稠密であり、$\preceq$ について稠密な集合は $\le$ について前稠密である。

(vi) $M$ を推移的な ZFC のモデルで $\mathbb P\in M$ とする。$G\subset P$ が $M$ 上 $(P,\le)$-ジェネリックなフィルターであることと、$M$ 上 $(P,\preceq)$-ジェネリックなフィルターであることは同値である。

証明

(i) $r\le p$ なら $r$ 自身が $r$ と $p$ の共通の強化なので $p\preceq p$ である。$p\preceq q$ かつ $q\preceq s$ とし、$r\le p$ をとる。$p\preceq q$ より $r$ と $q$ は両立するので、$t\le r$ かつ $t\le q$ となる $t$ がある。$t\le q$ と $q\preceq s$ から $t$ と $s$ は両立し、$u\le t$ かつ $u\le s$ となる $u$ がある。$u\le t\le r$ なので $u$ は $r$ と $s$ の共通の強化であり、$p\preceq s$ が示された。$p\le q$ で $r\le p$ なら $r\le q$ なので $r$ 自身が共通の強化であり、$p\preceq q$ である。特に $p\le\mathbf 1$ から $p\preceq\mathbf 1$ である。

(ii) $r\le p$ かつ $r\le q$ なら (i) から $r\preceq p$ かつ $r\preceq q$ である。逆に $r\preceq p$ かつ $r\preceq q$ とする。$r\le r$ と $r\preceq p$ から $r$ と $p$ は両立し、$s\le r$ かつ $s\le p$ となる $s$ がある。$s\le r$ と $r\preceq q$ から $s$ と $q$ は両立し、$t\le s$ かつ $t\le q$ となる $t$ がある。$t\le s\le p$ なので $t$ は $\le$ についての $p$ と $q$ の共通の強化である。

(iii) $p\not\preceq q$ とする。定義から、$r\le p$ で $r$ と $q$ が $\le$ について両立しないものがある。(i) より $r\preceq p$ であり、(ii) より $r$ と $q$ は $\preceq$ についても両立しない。これが $\preceq$ についての分離性である。

(iv) (i) から $\sim$ は同値関係であり、$[p]\preceq[q]$ を $p\preceq q$ で定めると代表元の取り方によらない。これは反対称な前順序、すなわち半順序で、$[\mathbf 1]$ が最大元である。両立性と分離性は代表元を取り替えても変わらないので、(ii) と (iii) がそのまま $P/{\sim}$ に移る。

(v) $D$ が $\le$ について稠密なら、任意の $q$ に $d\le q$ となる $d\in D$ があり、(i) から $d\preceq q$ である。$D$ が $\preceq$ について稠密なら、任意の $q$ に $d\preceq q$ となる $d\in D$ があり、定義で $r=d$ とすれば $d$ と $q$ は $\le$ について両立する。

(vi) フィルターとジェネリック性の定義はジェネリックフィルターによる（空でない、弱い条件へ閉じる、二元が $G$ の中に共通の強化を持つ、$M$ に属するすべての稠密集合と交わる）。$\preceq$ は $M$ の中で定義でき、量化子が $P$ の元だけを動くので、$M$ の中で作っても外で作っても同じ関係である。

$G$ が $\le$ についてジェネリックなフィルターとする。空でないことはよい。$p\in G$ かつ $p\preceq q$ とし、$E=\{r\in P\mid r\le q\text{ または }r\perp q\}\in M$ とおく。$E$ は $\le$ について稠密である（$s$ が $q$ と両立すれば共通の強化が $E$ に入り、両立しなければ $s\in E$）。$r\in G\cap E$ をとる。$r\perp q$ とすると、$r,p$ の $G$ の中の共通の強化 $t$ は $t\le p$ なので $p\preceq q$ から $q$ と両立し、$t\le r$ なので $r$ も $q$ と両立して矛盾する。よって $r\le q$ で、$q\in G$ である。$G$ の二元の $\le$ についての共通の強化は (i) により $\preceq$ についての共通の強化でもある。$D\in M$ が $\preceq$ について稠密なら、(v) により $\le$ について前稠密で、prop-forcing-notion-predense により $D^{\downarrow}\in M$ は $\le$ について稠密である。$r\in G\cap D^{\downarrow}$、$r\le d\in D$ をとれば $d\in G$ となる。よって $G$ は $\preceq$ についてジェネリックなフィルターである。

逆に $G$ が $\preceq$ についてジェネリックなフィルターとする。$p\in G$、$p\le q$ なら (i) より $p\preceq q$ なので $q\in G$ である。$p_1,p_2\in G$ とし、
$$ E'=\{r\in P\mid (r\le p_1\text{ かつ }r\le p_2)\text{ または }r\perp p_1\text{ または }r\perp p_2\}\in M $$
とおく。$E'$ は $\le$ について稠密で（$s$ が $p_1$ と両立すれば共通の強化 $s'$ をとり、$s'$ が $p_2$ と両立すればさらに共通の強化をとる）、(v) により $\preceq$ についても稠密なので、$r\in G\cap E'$ がある。$r\perp p_1$（$\le$ について）なら (ii) により $\preceq$ についても両立しないが、$r,p_1\in G$ は $\preceq$ について両立するので矛盾する。$r\perp p_2$ も同様に起きない。よって $r\le p_1,p_2$ で $r\in G$ である。$D\in M$ が $\le$ について稠密なら、(v) により $\preceq$ についても稠密なので $G$ と交わる。$\square$

ランダム強制に当てはめると、$A\preceq B$ は $\lambda(A\setminus B)=0$ と同値になり、$P/{\sim}$ は「測度 $0$ の差を無視した正測度 Borel 集合の類」になる。$\lambda(A\setminus B)>0$ なら $A\setminus B$ が $B$ と両立しない $A$ の強化であり、$\lambda(A\setminus B)=0$ なら $A$ の強化 $C$ について $\lambda(C\cap B)=\lambda(C)>0$ だからである。

稠密埋め込み

見かけの違う二つの強制概念が、強制法では同じ拡大を与えることがある。そのための代表的な十分条件が稠密埋め込みである。

稠密埋め込み

強制概念 $\mathbb P=(P,\le_P,\mathbf 1_P)$ から $\mathbb Q=(Q,\le_Q,\mathbf 1_Q)$ への写像 $h\colon P\to Q$ が稠密埋め込みであるとは、次の二条件を満たすことをいう。

(i) 任意の $p,p'\in P$ について、$p\le_P p'$ と $h(p)\le_Q h(p')$ は同値である。

(ii) 任意の $q\in Q$ に対して、$h(p)\le_Q q$ となる $p\in P$ がある。つまり像 $h[P]$ が $Q$ で稠密である。

これは Hal12 印刷 p. 290 の定義と同じ内容である（順序の向きだけが逆）。(i) の代わりに「順序を保ち、両立しない二条件を両立しない二条件に移す」を要求する流儀もあり、次の定理の (a) により、(ii) のもとでは (i) からその条件が従う。

稠密埋め込みが保つもの

$h\colon P\to Q$ を稠密埋め込みとする。

(a) $p,p'\in P$ が両立することと、$h(p),h(p')$ が両立することは同値である。

(b) $D\subset P$ が稠密なら、$h[D]$ は $Q$ で稠密である。

(d) $A\subset P$ が極大な反鎖なら、$h$ は $A$ 上で単射であり、$h[A]$ は $Q$ の極大な反鎖である。

証明

(a) $r\le_P p$ かつ $r\le_P p'$ なら、(i) より $h(r)$ が $h(p),h(p')$ の共通の強化である。逆に $s\le_Q h(p)$ かつ $s\le_Q h(p')$ とする。(ii) より $h(r)\le_Q s$ となる $r\in P$ がある。$h(r)\le_Q h(p)$ と (i) から $r\le_P p$ であり、同様に $r\le_P p'$ である。よって $p,p'$ は両立する。

(b) $q\in Q$ をとる。(ii) より $h(p)\le_Q q$ となる $p$ があり、$D$ の稠密性から $d\le_P p$ となる $d\in D$ がある。(i) より $h(d)\le_Q h(p)\le_Q q$ である。

(c) $p\in P$ をとる。$E$ の稠密性から $e\le_Q h(p)$ となる $e\in E$ があり、(ii) から $h(p')\le_Q e$ となる $p'$ がある。$E$ は開なので $h(p')\in E$、すなわち $p'\in h^{-1}[E]$ である。また $h(p')\le_Q h(p)$ と (i) から $p'\le_P p$ である。よって $h^{-1}[E]$ は稠密である。$p\in h^{-1}[E]$ かつ $p''\le_P p$ なら、$h(p'')\le_Q h(p)\in E$ で $E$ は開だから $p''\in h^{-1}[E]$ となり、開でもある。

(d) $a,a'\in A$ が相異なるなら両立しないので、(a) より $h(a),h(a')$ も両立しない。特に $h(a)\ne h(a')$ である（等しければ $h(a)$ 自身が共通の強化になる）。よって $h$ は $A$ 上で単射で、$h[A]$ は反鎖である。極大性を示す。$q\in Q$ をとり、(ii) により $h(p)\le_Q q$ となる $p$ を選ぶ。prop-forcing-notion-predense より $A$ は前稠密なので、$p$ はある $a\in A$ と両立する。(a) より $h(p)$ と $h(a)$ は両立し、その共通の強化は $q$ の強化でもあるから、$q$ は $h(a)$ と両立する。よって $h[A]$ は前稠密であり、どの $q\notin h[A]$ を加えても反鎖でなくなる。$\square$

この定理から、$\mathbb P$ の稠密集合・極大な反鎖と $\mathbb Q$ のそれらが互いに行き来できる。これを使うと、$\mathbb P$ のジェネリックフィルターから $\mathbb Q$ のジェネリックフィルターが作られ、逆も成り立つ（ジェネリックフィルターの「稠密埋め込みによる対応」、Hal12 Fact 14.3、印刷 p. 291）。

有限列から Cohen 強制へ

長さ有限の二値列（$n\in\omega$ から $2$ への関数）全体を $2^{<\omega}$ とし、延長で順序づける。包含写像 $h\colon 2^{<\omega}\to\operatorname{Fn}(\omega,2)$ は稠密埋め込みである。(i) は両者とも延長で順序づけていることから明らかである。(ii) は、$p\in\operatorname{Fn}(\omega,2)$ に対して $\operatorname{dom}p$ の最大元より大きい $n$ をとり、$p$ を $\{0,\ldots,n-1\}$ 上へ未定義の点に値 $0$ を入れて延長した列 $s$ を考えれば、$h(s)=s\le p$ となることから従う。

Cohen 強制は「二値列の有限個の項を決める」強制であり、$2^{<\omega}$ は「二値列の最初の有限項を決める」強制である。前者のほうが条件の形は自由だが、稠密埋め込みがあるので同じ働きをする。

反対称化

前順序の強制概念 $\mathbb P$ で、$p\approx q$ を「$p\le q$ かつ $q\le p$」と定める。同値類の集合 $P/{\approx}$ に誘導された順序を入れると半順序の強制概念になり、$p\mapsto[p]$ は稠密埋め込みである（(i) は定義そのもの、(ii) は全射だから）。したがって強制概念を半順序に限っても一般性は失われない（Hal12 Fact 14.5、印刷 p. 291）。

反例：条件を外すと崩れること

外す条件	反例	成り立たなくなること
分離性	三元の鎖 $b< a<\mathbf 1$	$a\not\le b$ なのに $b$ と両立しない $a$ の強化がない
非原子性	一元の強制概念 $\{\mathbf 1\}$	条件の下に両立しない二つの強化がとれない（新しい集合を加えない）
稠密埋め込みの (ii)（像の稠密性）	$\{\mathbf 1\}\to\operatorname{Fn}(\omega,2)$、$\mathbf 1\mapsto\emptyset$	稠密開集合の逆像が稠密（定理の (c)）
稠密埋め込みの (i) の「$\Leftarrow$」（順序の反映）	定値写像 $\operatorname{Fn}(\omega,2)\to\{\mathbf 1\}$	両立性の保存（定理の (a) の「$\Leftarrow$」）
両立の定義で零元を除くこと	$\mathcal P(\{1,2\})$ を包含で並べたもの	交わらない集合どうしが両立しない

表の反例の確認

三元の鎖はex-forcing-notion-not-separativeで確かめた。$\{\mathbf 1\}$ では $\mathbf 1$ の強化は $\mathbf 1$ だけなので、両立しない二つの強化はない。

写像 $h\colon\{\mathbf 1\}\to\operatorname{Fn}(\omega,2)$、$h(\mathbf 1)=\emptyset$ は (i) を満たす（どちらの側も $\mathbf 1\le\mathbf 1$ と $\emptyset\le\emptyset$ だけ）。しかし $E=D_0=\{p\mid 0\in\operatorname{dom}p\}$ は稠密開集合なのに $h^{-1}[E]=\emptyset$ であり、稠密でない。像 $\{\emptyset\}$ の下に、たとえば $\{(0,0)\}$ より強い条件はないので (ii) が破れている。

定値写像 $k\colon\operatorname{Fn}(\omega,2)\to\{\mathbf 1\}$ は順序を保ち（「$\Rightarrow$」）、像は全体なので稠密である。しかし $\{(0,0)\}\not\le\{(0,1)\}$ なのに像は等しいので (i) の「$\Leftarrow$」が破れ、両立しない $\{(0,0)\}$ と $\{(0,1)\}$ が両立する二条件 $\mathbf 1,\mathbf 1$ に移る。

$\mathcal P(\{1,2\})$ を包含で並べると $\emptyset$ がすべての元の下にあり、交わらない $\{1\},\{2\}$ も $\emptyset$ を共通の強化として両立する。空集合を除いた強制概念（ex-forcing-notion-sets）では両立しない。

強制法での役割

強制法の主な定理は、強制概念の順序だけから決まる量で述べられる。

条件を集めたフィルターのうち、基礎モデルのすべての稠密集合と交わるものがジェネリックフィルターであり、これからジェネリック拡大を作る。
反鎖がすべて可算であること（可算鎖条件）は、拡大で基数と共終数が変わらないための十分条件である。崩壊の強制 $\operatorname{Fn}(\omega,\omega_1)$ は反鎖 $\{\{(0,\alpha)\}\mid\alpha<\omega_1\}$ を持ち、この条件を満たさない。
稠密埋め込みで結ばれた二つの強制概念は同じ拡大を与えるので、扱いやすい形（半順序、分離的）を選んでよい。分離的な形については、分離的な商の定理の (vi) により、稠密埋め込みでなくてもジェネリックフィルターがそのまま一致する。