中山予想

1：$j$ 番目の列に $\operatorname{Hom}_A(X,-)$ を当てた長完全列（Ext関手） $\operatorname{Ext}^{i-1}_A(X,I^j)\to\operatorname{Ext}^{i-1}_A(X,C^{j+1})\to\operatorname{Ext}^i_A(X,C^j)\to\operatorname{Ext}^i_A(X,I^j)$ で、$i\ge2$ なら両端は $I^j$ が入射的なので $0$ である。よって $\operatorname{Ext}^i_A(X,C^j)\cong\operatorname{Ext}^{i-1}_A(X,C^{j+1})$（$i\ge2$）。これを $(i,j)=(n,0),(n-1,1),\dots,(2,n-2)$ と続けると $\operatorname{Ext}^n_A(X,C^0)\cong\operatorname{Ext}^1_A(X,C^{n-1})$ を得る（$n=1$ なら何もしなくてよい）。$C^0=A$ である。

2：$0$ 番目から $n-1$ 番目の列をつなぐと完全列 $0\to A\to I^0\to I^1\to\cdots\to I^{n-1}\to C^n\to0$ ができる。$A$ と $I^0,\dots,I^{n-1}$ はすべて射影的なので、これは $C^n$ の長さ $n$ の射影分解であり、$\operatorname{pd}C^n\le n$ である。

3：1 を $X=C^n$ に当てると $\operatorname{Ext}^1_A(C^n,C^{n-1})=0$ となる。$n-1$ 番目の列 $0\to C^{n-1}\to I^{n-1}\to C^n\to0$ の類はこの群の元なので $0$ であり、列は分裂する。$I^{n-1}=C^{n-1}\oplus C'$ と分解すると $C'\cap C^{n-1}=0$ であるが、$C^{n-1}\subset I^{n-1}=E(C^{n-1})$ は本質的な部分加群（入射包）なので $C'=0$ である。よって $C^{n-1}=I^{n-1}$、$C^n=0$ で、$j\ge n$ では $I^j=0$ である。$\square$

${}_AA$ が長さ $d$ の入射分解をもつとする。Ext はこの入射分解で計算できるので、$n:=d+1$ について任意の加群 $X$ で $\operatorname{Ext}^n_A(X,A)=0$ である（Ext関手）。とくに $\operatorname{Ext}^n_A(C^n,A)=0$ なので、lem-nc-shift の 3 により $C^{n-1}=I^{n-1}$、$C^n=0$ である。こうして完全列 $0\to A\to I^0\to\cdots\to I^{d}\to0$ を得る。$C^{d}=I^d$ は射影的である。$j$ について下向きに、$C^{j+1}$ が射影的だと仮定すると、$j$ 番目の列 $0\to C^j\to I^j\to C^{j+1}\to0$ は商が射影的なので分裂し、$C^j$ は $I^j$ の直和因子になる。$I^j$ は射影的かつ入射的なので $C^j$ も射影的かつ入射的である。$j=0$ まで下りると $C^0=A$ が入射的になる。$\square$

$A$ が半単純ならすべての加群が射影的かつ入射的なので（大域次元 の記事の命題「大域次元零の意味」）、$A$ は自己入射的であり、prop-nc-selfinjective により $\operatorname{dom.dim}A=\infty$ である。

逆に $\operatorname{dom.dim}A=\infty$ とする。$\operatorname{fin.dim}A$ は大域次元以下で有限なので、thm-nc-findim により $A$ は自己入射的である。すると有限生成の射影加群は $A^m$ の直和因子なので入射的である。有限生成加群 $M$ で $\operatorname{pd}M=m\ge1$ となるものがあったとする。$M$ の射影分解 $0\to P_m\to P_{m-1}\to\cdots\to P_0\to M\to0$ をとり（有限生成の射影加群でとれる）、$K:=\operatorname{Coker}(P_m\to P_{m-1})$ とおく。短完全列 $0\to P_m\to P_{m-1}\to K\to0$ は、$P_m$ が入射的なので分裂し、$K$ は射影的である。すると $0\to K\to P_{m-2}\to\cdots\to P_0\to M\to0$（$m=1$ なら $K\cong M$）は長さ $m-1$ の射影分解であり、$\operatorname{pd}M=m$ に反する。よってすべての有限生成加群は射影的であり、とくにすべての有限生成加群の短完全列は分裂する。$A$ の左イデアルはすべて ${}_AA$ の直和因子になるので、$A$ は半単純である。$\square$

単純加群は ${}_AA$ の剰余加群なので ${}_AA$ の組成因子に現れ、同型類は有限個である。

1：$S$ が単純なら $E(S)$ は直既約である。実際 $E(S)=X\oplus Y$ で $X,Y\neq0$ なら、本質性から $S\cap X\neq0\neq S\cap Y$ となり、$S$ の単純性から $S\subset X\cap Y=0$ となって矛盾する。また $E(S)$ の単純部分加群 $T$ は $T\cap S\neq0$ を満たすので $T=S$ であり、$S$ は $E(S)$ のただ 1 つの単純部分加群である。よって $E(S)\cong E(S')$ なら $S\cong S'$ である。逆に直既約な入射加群 $I$（有限次元）は単純部分加群 $S$ をもち、$E(S)$ は $I$ の直和因子と同型である（Wis91 17.10 (2)）。$I$ は直既約なので $I\cong E(S)$ である。

2：$P$ が有限生成の射影左加群なら $P$ は $A^m$ の直和因子なので、$D(P)$ は右加群 $D(A)^m$ の直和因子であり、入射的である。逆に $J$ が有限次元の入射右加群なら、$J$ は右加群 $D(A)^n$ に埋め込まれ（準Frobenius環 の記事の補題「双対加群の入射性」の右加群版）、入射性からこの埋め込みは分裂するので、$D(J)$ は $DD(A)^n\cong A^n$ の直和因子であり、射影的である。$DD\cong\mathrm{id}$ なので $D$ は直既約な射影左加群の同型類と直既約な入射右加群の同型類の全単射を与える。同様に $D$ は単純左加群と単純右加群の全単射を与える（$D(S)$ の部分加群は $S$ の剰余加群に対応する）。1 を右加群（$A^{\mathrm{op}}$ 上の左加群）に当てると、直既約な入射右加群の個数は単純右加群の個数、すなわち $s$ である。$\square$

単純加群を $S$ とする。lem-nc-count により、直既約な入射加群は $E(S)$ だけ、直既約な射影加群も同型を除いて 1 つだけで、それを $P$ と書く。$\operatorname{dom.dim}A\ge1$ なので $I^0=E(A)$ は射影的で、$A\neq0$ なので $I^0\neq0$ である。$I^0$ を直既約な加群の直和に分けると各成分は入射的で直既約なので $E(S)$ と同型であり、同時に射影的な加群の直和因子なので射影的である。よって $E(S)$ は直既約な射影加群であり、$E(S)\cong P$ となる。Krull–Schmidtの定理 により ${}_AA$ は直既約な射影加群の直和、すなわち $P$ の有限個の直和なので、$E(S)$ の直和として入射的である。局所多元環の単純加群は $A/\operatorname{rad}A$ だけである（単純加群は Jacobson根基 で消える）。$\square$

1：右加群 $e_{11}A$（第 1 行 $(a,b)$）を考えると、$r=\begin{pmatrix}x&w\\0&v\end{pmatrix}$ について $r(y,z)=(xy+wz,\,vz)$、$(a,b)r=(ax,\,aw+bv)$ である。双線形形式 $\langle(y,z),(a,b)\rangle:=ay+bz$ は $\langle r(y,z),(a,b)\rangle=axy+awz+bvz=\langle(y,z),(a,b)r\rangle$ を満たし、基底について単位行列なので非退化である。よって $p\mapsto\langle p,-\rangle$ は左加群の同型 $P_2\cong D(e_{11}A)$ を与える。$e_{11}A$ は $A_A$ の直和因子なので $D(e_{11}A)$ は $D(A)$ の直和因子であり、入射的である。同様に右加群 $e_{22}A=\{(0,c)\}$ では $(0,c)r=(0,cv)$ なので、$D(e_{22}A)$ は $r$ が $v$ 倍で作用する $1$ 次元の左加群であり、$S_2$（$r$ は $(y,z)\bmod U\mapsto vz$ と作用する）と同型である。よって $S_2$ は入射的である。$U\cong P_1$ は $P_2$ の唯一の $0$ でない真部分加群なので $U\subset P_2$ は本質的であり、$P_2$ が入射的なので $E(P_1)\cong E(U)=P_2$ である。$S_2$ が射影的でないこと：直既約な射影加群は $A^n=P_1^n\oplus P_2^n$ の直既約な直和因子なので、Krull–Schmidtの定理 により $P_1$ か $P_2$ と同型である（$P_2$ は $0$ でない真部分加群を 1 つしかもたないので直既約）。$S_2$ は $1$ 次元なので $2$ 次元の $P_2$ と同型でなく、$e_{11}$ は $S_2$ には $0$ で、$P_1$ には恒等写像で作用するので $P_1$ とも同型でない。

2：$E(A)=E(P_1)\oplus E(P_2)=P_2\oplus P_2$ で、埋め込みは $U\subset P_2$ と恒等写像の直和である。余核は $P_2/U=S_2$ で、$S_2$ は入射的なので分解はここで終わる。

3：$I^0=P_2\oplus P_2$ は射影的で、$I^1=S_2$ は射影的でないので $\operatorname{dom.dim}A=1$ である。分解の長さは $1$ で、$P_1$ は入射的でない（入射的なら $P_2$ の直和因子になるが、$P_2$ は直既約で $P_1\not\cong P_2$）ので ${}_AA$ の入射次元は $1$ である。左大域次元が $1$ 以下であることは 遺伝環 の記事の例「上三角行列環」と定理「左遺伝性の同値条件」による。prop-nc-selfinjective の対偶により、$A$ は自己入射的でない。$\square$

$B$ は Frobenius 代数なので自己入射的であり（ex-nc-selfinjective）、局所環なので単純加群は $k$ だけであり、lem-nc-count により直既約な射影加群と直既約な入射加群はどちらも 1 種類しかない。$B$ は局所環なので直既約で、射影的かつ入射的なので、どちらも $B$ である。よって $V$ は生成子余生成子であり、$k$ は射影的でない直既約加群である。$\dim_k\Gamma=\dim\operatorname{Hom}_B(B,B)+\dim\operatorname{Hom}_B(B,k)+\dim\operatorname{Hom}_B(k,B)+\dim\operatorname{Hom}_B(k,k)=2+1+1+1=5$ である。

短完全列 $0\to k\xrightarrow{\cdot x}B\to k\to0$ は分裂しない（分裂すれば $B\cong k\oplus k$ となり、$x$ が $0$ で作用することになる）。したがって $\operatorname{Ext}^1_B(k,k)\neq0$ であり、$\operatorname{Ext}^1_B(V,V)\supset\operatorname{Ext}^1_B(k,k)\neq0$ である。CX15 §3.1（p. 7）は、自己入射的な多元環 $B$ と射影的な直和因子をもたない加群 $Y$ について、$\operatorname{Ext}^{n+1}_B(Y,Y)\neq0$ かつ $1\le j\le n$ で $\operatorname{Ext}^j_B(Y,Y)=0$ なら $\operatorname{dom.dim}\operatorname{End}_B(B\oplus Y)=n+2$ であることを Müller の結果から導いている。$Y=k$、$n=0$ として $\operatorname{dom.dim}\Gamma=2$ を得る（thm-nc-mueller の 1 からも、$\ge2$ であり $\ge3$ でないことが従う）。優越次元が有限なので、prop-nc-selfinjective の対偶により $\Gamma$ は自己入射的でない。$\square$