Bessel関数

$L:=z^2\frac{d^2}{dz^2}+z\frac d{dz}-\nu^2$ とおくと $L(z^s)=(s^2-\nu^2)z^s$ で、$s=2k+\nu$ なら $s^2-\nu^2=4k(k+\nu)$ である。$J_\nu=\sum_ka_kz^{2k+\nu}$、$a_k=(-1)^k/(k!\,\Gamma(k+\nu+1)2^{2k+\nu})$ と書き、項別に微分すると $$LJ_\nu+z^2J_\nu=\sum_{k\ge1}\bigl(4k(k+\nu)a_k+a_{k-1}\bigr)z^{2k+\nu}$$ である。$(*)$ を $w=k+\nu$ で使うと $a_{k-1}=\dfrac{(-1)^{k-1}(k+\nu)\cdot4k}{k!\,\Gamma(k+\nu+1)2^{2k+\nu}}=-4k(k+\nu)a_k$ なので、各係数は $0$ である。$\square$

2 つの解 $u,v$ について、方程式を $xy''=-y'-(x-\nu^2/x)y$ と書いて代入すると $(xW)'=W+x(uv''-u''v)=W-W=0$ である。よって $xW$ は $(0,\infty)$ で定数である。$a_0:=1/\Gamma(1+\nu)$、$b_0:=1/\Gamma(1-\nu)$ とおくと、$J_\nu=(x/2)^\nu(a_0+O(x^2))$、$J_\nu'=\frac\nu x(x/2)^\nu a_0+O(x^{\nu+1})$、$J_{-\nu}$ も同様（$\nu\mapsto-\nu$、$a_0\mapsto b_0$）なので、$$xW=x\Bigl(-\frac\nu x-\frac\nu x\Bigr)a_0b_0+O(x^2)=-\frac{2\nu}{\Gamma(1+\nu)\Gamma(1-\nu)}+O(x^2)$$である。$\Gamma(1+\nu)=\nu\Gamma(\nu)$ と相反公式 $\Gamma(\nu)\Gamma(1-\nu)=\pi/\sin\nu\pi$（Γ関数 の定理「相反公式・Beta関数・Legendreの倍数公式」）から、定数は $-2\sin(\nu\pi)/\pi$ である。$\nu\notin\mathbb{Z}$ ならこれは $0$ でないので、$J_\nu,J_{-\nu}$ は 1 次独立で、2 階の線形方程式の解空間（2 次元）の基底になる。

$c_\nu:=2^{-\nu}/\Gamma(\nu+1)>0$ とおくと $J_\nu(x)=c_\nu x^\nu(1+O(x^2))$ なので、ある $\delta>0$ について $(0,\delta]$ で $\frac12c_\nu x^\nu\le J_\nu(x)\le2c_\nu x^\nu$ である。$y$ が $J_\nu$ の定数倍でないとすると、prop-bf-independence の証明の計算（$(xW)'=0$）から $W(J_\nu,y)=c/x$（$c\ne0$ は定数）で、$(0,\delta]$ で $(y/J_\nu)'=W/J_\nu^2=c/(xJ_\nu^2)$ である。積分すると $y(x)=J_\nu(x)\bigl(y(\delta)/J_\nu(\delta)-cI(x)\bigr)$、$I(x):=\int_x^\delta dt/(tJ_\nu(t)^2)$ である。$I(x)\ge\frac1{4c_\nu^2}\int_x^\delta t^{-2\nu-1}dt$ は、$\nu>0$ なら $\frac{x^{-2\nu}-\delta^{-2\nu}}{8\nu c_\nu^2}$ 以上、$\nu=0$ なら $\frac{\log(\delta/x)}{4c_0^2}$ 以上である。どちらの場合も $J_\nu(x)I(x)\ge\frac12c_\nu x^\nu I(x)\to\infty$（$x\to0+$）なので、$|y(x)|\to\infty$ となり、有界性に反する。

$x^\nu J_\nu(x)=\sum_k(-1)^kx^{2k+2\nu}/(k!\,\Gamma(k+\nu+1)2^{2k+\nu})$ を項別に微分し、$(*)$ から $(2k+2\nu)/\Gamma(k+\nu+1)=2/\Gamma(k+\nu)$ を使うと $$\frac{d}{dx}\bigl(x^\nu J_\nu\bigr)=\sum_k\frac{(-1)^kx^{2k+2\nu-1}}{k!\,\Gamma(k+\nu)2^{2k+\nu-1}}=x^\nu\sum_k\frac{(-1)^k}{k!\,\Gamma(k+\nu)}\Bigl(\frac x2\Bigr)^{2k+\nu-1}=x^\nu J_{\nu-1}$$ である。同様に $x^{-\nu}J_\nu=\sum_k(-1)^kx^{2k}/(k!\,\Gamma(k+\nu+1)2^{2k+\nu})$ の微分では $k=0$ の項が消え、$k=j+1$ とおくと $$\frac{d}{dx}\bigl(x^{-\nu}J_\nu\bigr)=\sum_{j\ge0}\frac{(-1)^{j+1}x^{2j+1}}{j!\,\Gamma(j+\nu+2)2^{2j+\nu+1}}=-x^{-\nu}J_{\nu+1}$$ である。2 つの式の左辺を展開すると $J_\nu'+\frac\nu xJ_\nu=J_{\nu-1}$、$J_\nu'-\frac\nu xJ_\nu=-J_{\nu+1}$ となり、和と差から残りの 2 式を得る。$\square$

$e^{zt/2}=\sum_{j\ge0}\frac{(z/2)^j}{j!}t^j$ と $e^{-z/(2t)}=\sum_{k\ge0}\frac{(-1)^k(z/2)^k}{k!}t^{-k}$ の積の二重級数 $\sum_{j,k}\frac{(-1)^k(z/2)^{j+k}}{j!\,k!}t^{j-k}$ は、絶対値の和が $e^{|z||t|/2}e^{|z|/(2|t|)}$ なので絶対収束し、項の順序を並べ替えてよい（$|t|$ が正の数の間にあれば一様）。$t^n$ の係数は、$n\ge0$ なら $j=n+k$ として $$\sum_{k\ge0}\frac{(-1)^k}{(n+k)!\,k!}\Bigl(\frac z2\Bigr)^{n+2k}=J_n(z)$$ である。$n=-m<0$ なら $k=m+j$ として $\sum_{j\ge0}\frac{(-1)^{m+j}}{j!\,(m+j)!}(z/2)^{m+2j}=(-1)^mJ_m(z)$ で、prop-bf-independence の 1 によりこれは $J_{-m}(z)$ に等しい。$\square$

thm-bf-generating で $t=e^{i\theta}$ とおくと $\frac12(t-t^{-1})=i\sin\theta$ なので、$e^{iz\sin\theta}=\sum_nJ_n(z)e^{in\theta}$ が $\theta$ について一様に成り立つ。$e^{-in\theta}$ を掛けて $[-\pi,\pi]$ で項別に積分すると $$J_n(z)=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}e^{i(z\sin\theta-n\theta)}\,d\theta$$ である。$[-\pi,0]$ の部分で $\theta$ を $-\theta$ に替えると被積分関数は $e^{-i(z\sin\theta-n\theta)}$ になり、$[0,\pi]$ の部分と足すと $2\cos(z\sin\theta-n\theta)$ になる。これで積分表示を得る。$x$ が実数のとき、$e^{ix\sin\theta}$ は絶対値 $1$ の連続関数で、Fourier 係数が $J_n(x)$ なので、Parsevalの等式 から $\sum_{n\in\mathbb{Z}}J_n(x)^2=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi|e^{ix\sin\theta}|^2d\theta=1$ である。$J_{-n}(x)^2=J_n(x)^2$ から主張の形になる。$\square$

第 2 式：$y=J_\nu$ の方程式 $(ty')'+(t-\nu^2/t)y=0$ に $2ty'$ を掛けると $\frac d{dt}\bigl((ty')^2\bigr)+(t^2-\nu^2)\frac{d}{dt}(y^2)=0$、すなわち $$\frac{d}{dt}\Bigl((ty')^2+(t^2-\nu^2)y^2\Bigr)=2ty^2$$ である。$t\to0+$ では $(ty')^2-\nu^2y^2$ の主要項が打ち消し合って $O(t^{2\nu+2})$ になり、$t^2y^2\to0$ である。$[0,\alpha]$ で積分すると $\int_0^\alpha tJ_\nu(t)^2dt=\frac12\bigl(\alpha^2J_\nu'(\alpha)^2+(\alpha^2-\nu^2)J_\nu(\alpha)^2\bigr)$ で、$t=\alpha x$ と置換して $\alpha^2$ で割ると第 2 式になる。$\square$