Serreスペクトル系列

同義語：Serre spectral sequenceLeray–Serreスペクトル系列Leray–Serre spectral sequenceセールスペクトル系列

概要

前提知識: スペクトル系列, ホモトピー群, 局所系, 特異コホモロジー, ファイバー束

ファイバー $F$ をもつ写像 $p\colon E\to B$ があるとき、全空間 $E$ のコホモロジーは「底 $B$ のコホモロジーを、ファイバーのコホモロジーを係数として計算したもの」から近似できる。Serre スペクトル系列はこの近似を正確に述べるもので、$E_2$ 項 $H^p(B;H^q(F))$ から出発して微分 $d_r$ を順に施すと、$E$ のコホモロジーの次数付き加群が得られる。直積 $E=B\times F$ では Künneth の公式に当たり、一般には微分がファイブレーションのねじれを記録する。
この記事では、Serre ファイブレーションとそのスペクトル系列の言明を述べ、構成の要点を説明する。そのうえで、$E_2$ 項が 2 列または 2 行に集中する場合に、スペクトル系列から Wang 完全列と Gysin 完全列を証明し、ループ空間 $\Omega S^n$ のコホモロジーと $\mathbb{C}P^\infty$ のコホモロジー環を計算する。最後に、局所係数やファイブレーションの条件を外すと $E_2$ 項が $E$ のコホモロジーを正しく与えない例を挙げる。

定義

Serre ファイブレーション

連続写像 $p\colon E\to B$ が Serre ファイブレーションであるとは、すべての $k\ge0$ について、円板 $D^k$ に関するホモトピー持ち上げ性質をもつことをいう。すなわち、ホモトピー $g_t\colon D^k\to B$（$t\in[0,1]$）と $p\circ\tilde g_0=g_0$ をみたす $\tilde g_0\colon D^k\to E$ が与えられるたびに、ホモトピー $\tilde g_t\colon D^k\to E$ で $\tilde g_0$ から始まり $p\circ\tilde g_t=g_t$ となるものがある。$b\in B$ について $F_b:=p^{-1}(b)$ をファイバーという。

ファイバー束はすべての CW 対に関するホモトピー持ち上げ性質をもち（Hat02 Proposition 4.48, p. 379）、とくに Serre ファイブレーションである。すべての空間に関するホモトピー持ち上げ性質をもつ写像（Hurewicz ファイブレーション）も Serre ファイブレーションである。$B$ が弧状連結なら、$b_0\in B$、$x_0\in F=F_{b_0}$ についてホモトピー群の長完全列
$$ \cdots\to\pi_n(F,x_0)\to\pi_n(E,x_0)\xrightarrow{p_*}\pi_n(B,b_0)\to\pi_{n-1}(F,x_0)\to\cdots\to\pi_0(E,x_0)\to0 $$
がある（Hat02 Theorem 4.41, p. 376）。
底の道に沿ってファイバーを持ち上げると、基本群 $\pi_1(B,b_0)$ は $F$ のコホモロジー $H^q(F;G)$ に作用し、$B$ 上の局所系 $\mathcal{H}^q(F;G)$ が定まる（MP12 p. 488。ファイブレーションでは道に沿ったファイバーのホモトピー同値が Hat02 Proposition 4.61, p. 405 にある）。この作用が自明なら $\mathcal{H}^q(F;G)$ は定数係数 $H^q(F;G)$ である。とくに $B$ が単連結なら作用は自明である。

Serre スペクトル系列の存在と性質

$p\colon E\to B$ を Serre ファイブレーション、$B$ を弧状連結、$b_0\in B$、$F=p^{-1}(b_0)$、$i\colon F\hookrightarrow E$ を包含、$G$ をアーベル群とする。

$p\ge0$、$q\ge0$ の範囲にあるコホモロジー型のスペクトル系列 $(E_r^{p,q},d_r)_{r\ge2}$、$d_r\colon E_r^{p,q}\to E_r^{p+r,q-r+1}$ で、$E_2^{p,q}\cong H^p(B;\mathcal{H}^q(F;G))$ となるものがある。
このスペクトル系列は $H^*(E;G)$ に収束する。すなわち各 $n$ について $H^n(E;G)=F^0\supset F^1\supset\cdots\supset F^{n+1}=0$ というフィルトレーションがあって、$F^p/F^{p+1}\cong E_\infty^{p,n-p}$ である。
ファイブレーションの間の写像について自然である。
$F$ が弧状連結なら、$H^n(B;G)=E_2^{n,0}\twoheadrightarrow E_\infty^{n,0}=F^n\subset H^n(E;G)$ は $p^*$ であり、$H^n(E;G)\twoheadrightarrow E_\infty^{0,n}\subset E_2^{0,n}\subset H^n(F;G)$ は $i^*$ である。
$G=R$ が可換環なら、各 $E_r$ は次数付き環で、$d_r$ は $d_r(xy)=d_r(x)\,y+(-1)^{p+q}x\,d_r(y)$（$x\in E_r^{p,q}$）をみたし、$E_2$ の積はカップ積から来るもの、$E_\infty$ は $H^*(E;R)$ のフィルトレーションに付随する次数付き環である。

証明の所在と構成の要点

この定理はこの記事では証明しない。MP12 Theorem 24.5.2（p. 490、構成と証明の概略は pp. 486–490）は、$B$ を 1 点の $0$ 胞体をもつ CW 複体に弱ホモトピー同値で取り替え、骨格 $B^p$ の逆像 $E^{(p)}:=p^{-1}(B^p)$ で $E$ をフィルターする。対 $(E^{(p)},E^{(p-1)})$ のコホモロジーの長完全列がスペクトル系列の記事の完全対を与え、各 $p$ 胞体の上で $p$ がファイバーとの積に同値になることから $E_1^{p,q}$ は胞体余鎖 $C^p(B;\mathcal{H}^q(F;G))$ と同一視され、$E_2$ 項が得られる。ホモロジー型は同 Theorem 24.5.1（p. 488）。$p$ がすべての空間についてホモトピー持ち上げ性をもつファイブレーションで、$\pi_1(B)$ の作用が自明な場合の 1・2 の証明は Hat04 Theorem 1.14（p. 24、証明は pp. 24–25）にある。収束は同 Proposition 1.2（p. 6）により、$E_2$ 項の同定はホモロジー型の Theorem 1.3（p. 8、証明は pp. 11–13）と同じ議論による。BT82 Theorem 15.11（p. 192）は、ファイバー束について、開被覆の Čech 複体と前層 $U\mapsto H^q(p^{-1}(U);R)$ からこのスペクトル系列を作り、底が単連結で良い被覆をもてば $E_2=H^p(B;H^q(F;R))$ となることを述べる。その議論は §14 の de Rham 理論での構成（Theorem 14.18）を特異余鎖に移したものである。

収束の意味はスペクトル系列の記事の定理「収束定理」と同じで、$E_\infty$ からわかるのは $H^n(E;G)$ そのものではなく、そのフィルトレーションの商である。商から $H^n(E;G)$ を組み立てる拡大の問題は別に解く必要がある。係数が体 $k$ なら拡大は分裂し、$\dim H^n(E;k)=\sum_p\dim E_\infty^{p,n-p}$ である。
作用が自明で、$H^q(F;G)$ が有限生成自由 $R$ 加群 $R^{m_q}$（$G=R$）なら、コホモロジーは有限直和と可換なので $E_2^{p,q}\cong H^p(B;R)\otimes_RH^q(F;R)$ である。

2 列・2 行の場合

$E_2$ 項が 2 つの列（または 2 つの行）にしかないとき、0 でありうる微分は 1 つだけになり、スペクトル系列は長完全列に書き直せる。

Wang 完全列

$n\ge2$ とし、$p\colon E\to S^n$ を Serre ファイブレーションで、ファイバー $F$ が弧状連結なものとする。このとき準同型 $\theta\colon H^k(F;G)\to H^{k-n+1}(F;G)$ があって、次の列は完全である。
$$ \cdots\to H^k(E;G)\xrightarrow{i^*}H^k(F;G)\xrightarrow{\theta}H^{k-n+1}(F;G)\to H^{k+1}(E;G)\xrightarrow{i^*}H^{k+1}(F;G)\to\cdots $$

2 列のスペクトル系列

$S^n$ は単連結なので係数は定数で、$E_2^{p,q}=H^p(S^n;H^q(F;G))$ は $p=0,n$ のとき $H^q(F;G)$、それ以外では $0$ である。$d_r$ は列を $r$ だけずらすので、$0$ でありうるのは $d_n\colon E_n^{0,q}\to E_n^{n,q-n+1}$ だけで、$E_2=E_n$、$E_{n+1}=E_\infty$ である。よって
$$ E_\infty^{0,k}=\operatorname{Ker}\bigl(d_n\colon H^k(F)\to H^{k-n+1}(F)\bigr),\qquad E_\infty^{n,k-n}=\operatorname{Coker}\bigl(d_n\colon H^{k-1}(F)\to H^{k-n}(F)\bigr) $$
である（係数 $G$ を省略）。$H^k(E)$ のフィルトレーションの $0$ でない商は $E_\infty^{n,k-n}$ と $E_\infty^{0,k}$ だけなので、短完全列
$$ 0\to\operatorname{Coker}\bigl(d_n\colon H^{k-1}(F)\to H^{k-n}(F)\bigr)\to H^k(E)\to\operatorname{Ker}\bigl(d_n\colon H^k(F)\to H^{k-n+1}(F)\bigr)\to0 $$
がある。thm-serre-ss の 4 により右の写像は $i^*$ である。$\theta:=d_n$ とし、これらの短完全列を $k$ についてつなぐと、$H^{k-n+1}(F)\to H^{k+1}(E)$ を「余核への商写像と $F^n\subset H^{k+1}(E)$ への包含の合成」として、長完全列が得られる。$\square$

Gysin 完全列

$m\ge1$ とし、$p\colon E\to B$ を弧状連結な $B$ 上の Serre ファイブレーションで、ファイバー $F$ が $H^*(F;\mathbb{Z})\cong H^*(S^m;\mathbb{Z})$ をみたし、$\pi_1(B)$ が $H^m(F;\mathbb{Z})$ に自明に作用するものとする。このとき類 $e\in H^{m+1}(B;\mathbb{Z})$ があって、次の列は完全である。
$$ \cdots\to H^k(B)\xrightarrow{p^*}H^k(E)\to H^{k-m}(B)\xrightarrow{\ \smile e\ }H^{k+1}(B)\xrightarrow{p^*}H^{k+1}(E)\to\cdots $$
（係数は $\mathbb{Z}$。$\smile e$ の符号は次数ごとに $\pm$ を除いて。）

2 行のスペクトル系列と乗法性

$E_2^{p,q}$ は $q=0,m$ の 2 行にしかなく、$E_2^{p,0}=H^p(B)$、$E_2^{p,m}=H^p(B;H^m(F))$ である。$0$ でありうる微分は $d_{m+1}\colon E_{m+1}^{p,m}\to E_{m+1}^{p+m+1,0}$ だけで、$E_2=E_{m+1}$、$E_{m+2}=E_\infty$ である。$H^m(F)\cong\mathbb{Z}$ の生成元 $u\in E_2^{0,m}$ をとり $e:=d_{m+1}(u)\in E_2^{m+1,0}=H^{m+1}(B)$ とおく。
係数 $H^m(F)$ は定数 $\mathbb{Z}$ なので、$x\mapsto x\,u$ は同型 $H^p(B)=E_2^{p,0}\to E_2^{p,m}$ である（thm-serre-ss の 5 で $E_2$ の積はカップ積）。$x$ は $0$ 行にあるので $d_{m+1}x=0$ であり、
$$ d_{m+1}(x\,u)=d_{m+1}(x)\,u+(-1)^px\,d_{m+1}(u)=(-1)^px\smile e . $$
よって $d_{m+1}$ はこの同型のもとで $\pm(\smile e)$ であり、核と像は $\smile e$ のそれと同じである。prf-serre-wang と同様に $0\to E_\infty^{k,0}\to H^k(E)\to E_\infty^{k-m,m}\to0$ と
$$ E_\infty^{k,0}=\operatorname{Coker}\bigl(\smile e\colon H^{k-m-1}(B)\to H^k(B)\bigr),\qquad E_\infty^{k-m,m}\cong\operatorname{Ker}\bigl(\smile e\colon H^{k-m}(B)\to H^{k+1}(B)\bigr) $$
をつなぐと長完全列になる。$F$ は弧状連結（$m\ge1$）なので、thm-serre-ss の 4 により $H^k(B)\to E_\infty^{k,0}\subset H^k(E)$ は $p^*$ である。$\square$

同じ考え方で、一般のファイブレーションでも低い次数では長完全列が得られる。

低い次数の完全列

thm-serre-ss の状況で $F$ が弧状連結なら、係数 $G$ について次の列は完全である。
$$ 0\to H^1(B)\xrightarrow{p^*}H^1(E)\xrightarrow{i^*}E_2^{0,1}\xrightarrow{d_2}H^2(B)\xrightarrow{p^*}H^2(E) $$
ここで $E_2^{0,1}=H^0(B;\mathcal{H}^1(F))$ は $H^1(F)$ のうち $\pi_1(B)$ の作用で不変な元のなす部分群である。

隅の項の計算

$F$ は弧状連結なので $H^0(F)=G$ で、その上の作用は自明であり、$E_2^{p,0}=H^p(B)$ である。$d_r$ は $q$ を $r-1\ge1$ だけ下げるので、$0$ 行から出る微分は $0$ である。$(1,0)$ に入る微分の始点 $(1-r,r-1)$ は $p< 0$ なので、$E_\infty^{1,0}=H^1(B)$。$(0,1)$ から出る微分のうち $0$ でありうるのは $d_2\colon E_2^{0,1}\to E_2^{2,0}$ だけなので $E_\infty^{0,1}=\operatorname{Ker}d_2$、$(2,0)$ に入る微分も $d_2$ だけなので $E_\infty^{2,0}=\operatorname{Coker}d_2$ である。$H^1(E)$ のフィルトレーションから $0\to E_\infty^{1,0}\to H^1(E)\to E_\infty^{0,1}\to0$ が、$H^2(E)$ では $E_\infty^{2,0}=F^2\subset H^2(E)$ が得られる。これらをつなぎ、thm-serre-ss の 4 で写像を $p^*$、$i^*$ と読めば主張の列になる。$\square$

$d_2\colon E_2^{0,1}\to H^2(B)$ はトランスグレッション（transgression）と呼ばれる写像の最初の例である。
$e$ は向きづけられた球面束の Euler 類にあたる（BT82 §14 の「The Gysin Sequence」, pp. 177–178 はファイバー束の場合を de Rham 理論で導く）。

Hopf ファイブレーションの Euler 類

Hopfファイブレーション $S^1\to S^3\to S^2$ の類 $e\in H^2(S^2;\mathbb{Z})$ は生成元である。実際、prop-serre-gysin の $k=1$ の部分 $0=H^1(S^3)\to H^0(S^2)\xrightarrow{\smile e}H^2(S^2)\to H^2(S^3)=0$ により $\smile e\colon\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$ は同型である（$S^2$ は単連結なので作用は自明）。

ループ空間 $\Omega S^n$ のコホモロジー

$n\ge2$ とする。$H^k(\Omega S^n;\mathbb{Z})$ は、$k$ が $n-1$ の倍数なら $\mathbb{Z}$、それ以外では $0$ である。

確かめ

基点から出る道の空間 $PS^n$ と終点への写像 $PS^n\to S^n$ はファイブレーションで、基点の上のファイバーは $\Omega S^n$ である（Hat02 Proposition 4.64, p. 407 で $f$ を基点の包含とした場合）。$PS^n$ は道を縮めて可縮であり、$\pi_0(\Omega S^n)=\pi_1(S^n)=0$ なのでファイバーは弧状連結である。prop-serre-wang で $k\ge1$ なら $H^k(PS^n)=H^{k+1}(PS^n)=0$ なので、$\theta\colon H^k(\Omega S^n)\to H^{k-n+1}(\Omega S^n)$ は同型である。$1\le k\le n-2$ では右辺の次数が負で $H^k=0$、$H^{n-1}\cong H^0=\mathbb{Z}$ であり、$k$ についての帰納法で主張が従う。環の構造は BT82 §16（pp. 203–206）にある。

$\mathbb{C}P^\infty$ のコホモロジー環

$H^*(\mathbb{C}P^\infty;\mathbb{Z})=\mathbb{Z}[e]$、$|e|=2$ である。

確かめ

ファイバー束 $S^1\to S^\infty\to\mathbb{C}P^\infty$ で $S^\infty$ は可縮である（Hat02 Example 4.50, p. 380）。$\mathbb{C}P^\infty$ は単連結なので prop-serre-gysin が $m=1$ で使える。$k\ge1$ では $H^k(S^\infty)=H^{k+1}(S^\infty)=0$ なので $\smile e\colon H^{k-1}(\mathbb{C}P^\infty)\to H^{k+1}(\mathbb{C}P^\infty)$ は同型であり、$k=0$ の部分 $0=H^{-1}\to H^1(\mathbb{C}P^\infty)\to H^1(S^\infty)=0$ から $H^1=0$ である。よって $H^{2j}=\mathbb{Z}e^j$、奇数次は $0$ で、環は $\mathbb{Z}[e]$ である。

群の拡大 $1\to N\to G\to Q\to1$ からはファイブレーション $K(N,1)\to K(G,1)\to K(Q,1)$ が得られ（Eilenberg–MacLane空間）、そのスペクトル系列は $E_2^{p,q}=H^p(Q;H^q(N;A))\Rightarrow H^{p+q}(G;A)$ という群コホモロジーのスペクトル系列（Lyndon–Hochschild–Serre スペクトル系列）になる（MP12 Proposition 24.5.3, p. 491）。ここでは $Q$ の $H^q(N;A)$ への作用が本質的で、局所係数が必要になる。球面のホモトピー群の定理「Serreの有限性定理（球面の場合）」も Serre スペクトル系列を使って証明される（この記事では証明しない）。

条件を外した反例

外す条件	反例	成り立たなくなること
局所係数（$\pi_1(B)$ の作用が自明でないのに定数係数で計算）	Klein の壺 $K\to S^1$、ファイバー $S^1$	定数係数の $E_2$ からは $H^2(K;\mathbb{Z})\cong\mathbb{Z}$ が出るが、実際は $\mathbb{Z}/2$
ホモトピー持ち上げ性質	$E=(S^1\times\{0\})\cup(\{1\}\times[0,1])\to[0,1]$、$b_0=1$	ファイバーは 1 点で $E_2$ からは $H^1(E)=0$ だが、$E\simeq S^1$
$H^q(F)$ が自由（thm-serre-ss の後のテンソル積の形）	$\mathbb{R}P^2\times\mathbb{R}P^2\to\mathbb{R}P^2$	$E_2^{1,2}=H^1(\mathbb{R}P^2;\mathbb{Z}/2)=\mathbb{Z}/2$ だが $H^1(\mathbb{R}P^2)\otimes H^2(\mathbb{R}P^2)=0$

確かめ

1 行目：$K$ は $S^1\times[0,1]$ で $(z,0)$ と $(\bar z,1)$ を同一視した空間で、第 2 成分による $K\to S^1=[0,1]/\{0,1\}$ はファイバー $S^1$ のファイバー束、ループのモノドロミーは鏡映で $H^1(S^1;\mathbb{Z})$ に $-1$ で作用する。定数係数とすると $E_2^{p,q}=\mathbb{Z}$（$p,q\in\{0,1\}$）で、2 列なので $d_r=0$（$r\ge2$）となり $H^2\cong E_\infty^{1,1}=\mathbb{Z}$ が出る。一方 $H_1(K)\cong\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}/2$、$H_2(K)=0$（Hat02 Example 2.37, p. 141）なので普遍係数定理により $H^2(K;\mathbb{Z})\cong\mathbb{Z}/2$ である。正しい局所係数では $E_2^{0,1}$ はモノドロミーの不変部分で $0$ になる（局所系の命題「大域切断とモノドロミー不変部分」）。

2 行目：$p$ を第 2 成分への射影とする。$t>0$ のファイバーは 1 点 $(1,t)$、$t=0$ のファイバーは円周 $S^1\times\{0\}$ である。$E$ は円周に変位レトラクトするので $\pi_1(E)\cong\mathbb{Z}$ だが、Serre ファイブレーションなら長完全列 $\pi_1(F_1)=0\to\pi_1(E)\to\pi_1([0,1])=0$ から $\pi_1(E)=0$ となるので、$p$ は Serre ファイブレーションでない。

3 行目：$H^*(\mathbb{R}P^2;\mathbb{Z})$ は次数 $0,1,2$ で $\mathbb{Z},0,\mathbb{Z}/2$（Hat02 Example 2.42, p. 144 と普遍係数定理）、$H^1(\mathbb{R}P^2;\mathbb{Z}/2)=\mathbb{Z}/2$（同 Theorem 3.19, p. 220）。直積の射影は自明な束で、作用は自明である。