トーラス結び目

最初の同型は 結び目 の補題「無限遠点を加えても基本群は変わらない」である。以下 $K:=K_{p,q}$、$X:=S^3\setminus K$ とおき、$T$ に沿って $X$ を 2 つに分けて Van Kampenの定理 を当てる。
段 1（トーラスから結び目を除いた部分）． $ps-qr=1$ となる整数 $r,s$ をとる。行列 $P:=\begin{pmatrix}p&r\\ q&s\end{pmatrix}$ は行列式 $1$ の整数行列なので $P\mathbb{Z}^2=\mathbb{Z}^2$ であり、$(\theta,u)\mapsto P(\theta,u)^{\top}$ は $\mathbb{R}^2/(2\pi\mathbb{Z})^2$ の同相写像を誘導する。これは円周 $\{u\equiv0\}$ を $K$ に写すので、$T\setminus K$ は $(\mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z})\times(0,2\pi)$、すなわち開いた円環と同相である。とくに $T\setminus K$ は弧状連結で、その基本群は $u=\pi$ の円周
$$ \gamma(\theta):=\tfrac1{\sqrt2}\bigl(e^{i(p\theta+\pi r)},\ e^{i(q\theta+\pi s)}\bigr)\qquad(0\le\theta\le2\pi) $$
の類 $c$ で生成される無限巡回群である。$\gamma$ の $z$ 成分は原点のまわりを $p$ 回、$w$ 成分は $q$ 回まわる。
段 2（開被覆）． $\rho(z,w):=|z|^2$ とおき、$0<\rho<1$ の点に対して $T$ への射影 $\pi_T(z,w):=\frac1{\sqrt2}\bigl(z/|z|,\,w/|w|\bigr)$ を考える。$0<\varepsilon<\frac12$ を固定して
$$ U:=\{\rho<\tfrac12\}\cup\{0<\rho<\tfrac12+\varepsilon,\ \pi_T\notin K\},\qquad V:=\{\rho>\tfrac12\}\cup\{\tfrac12-\varepsilon<\rho<1,\ \pi_T\notin K\} $$
とおく。$\pi_T$ は連続で $T\setminus K$ は $T$ の開集合なので、$U,V$ は $S^3$ の開集合である。$K$ の点 $x$ は $\rho(x)=\frac12$、$\pi_T(x)=x$ をみたすので $U,V\subset X$ である。$X$ の点は、$\rho<\frac12$ なら $U$ に、$\rho>\frac12$ なら $V$ に入り、$\rho=\frac12$ なら $\pi_T(x)=x\notin K$ なので両方に入る。よって $X=U\cup V$ であり、
$$ W:=U\cap V=\{\tfrac12-\varepsilon<\rho<\tfrac12+\varepsilon,\ \pi_T\notin K\} $$
である。$x\mapsto(\pi_T(x),\rho(x))$ は $W$ から $(T\setminus K)\times(\frac12-\varepsilon,\frac12+\varepsilon)$ への同相写像である（逆写像は $((y_1,y_2),t)\mapsto(\sqrt{2t}\,y_1,\sqrt{2(1-t)}\,y_2)$）。よって $W$ は弧状連結で、$\pi_1(W)$ は $c$ で生成される無限巡回群である（基本群 の命題「直積の基本群」）。
段 3（芯への変形）． $w\ne0$ をみたす $S^3$ の点と $0\le t\le1$ に対し
$$ H_t(z,w):=\Bigl(\sqrt{1-t}\,z,\ \sqrt{\tfrac{1-(1-t)|z|^2}{1-|z|^2}}\;w\Bigr) $$
とおく。$|\sqrt{1-t}\,z|^2+\bigl(1-(1-t)|z|^2\bigr)=1$ なので $H_t$ は $S^3\cap\{w\ne0\}$ の中の連続な変形であり、$H_0=\mathrm{id}$、$H_1(z,w)=(0,w/|w|)\in C_2$、$C_2$ の点は動かない。$t<1$ では $H_t$ は $\pi_T$ を変えず、$\rho$ を $(1-t)$ 倍にする。$x\in U$ とする。$\rho(H_t(x))\ge\frac12$ なら $\rho(x)\ge\frac12$ なので $x$ は $U$ の第 2 の集合に属し、$\pi_T(H_t(x))=\pi_T(x)\notin K$、$0<\rho(H_t(x))\le\rho(x)<\frac12+\varepsilon$ であるから $H_t(x)\in U$ である。$\rho(H_t(x))<\frac12$ なら $H_t(x)\in U$ は明らかである。よって $C_2$ は $U$ の強変位レトラクトであり、$(z,w)\mapsto w/|w|$ は同型 $\pi_1(U)\cong\pi_1(S^1)\cong\mathbb{Z}$ を誘導する（変位レトラクト の命題「変位レトラクトはホモトピー同値」、基本群 の定理「円周の基本群」）。$z$ と $w$ の役割を入れ替えると、$C_1$ は $V$ の強変位レトラクトであり、$(z,w)\mapsto z/|z|$ が同型 $\pi_1(V)\cong\mathbb{Z}$ を誘導する。
段 4（Van Kampen の定理）． 基点を $x_0:=\gamma(0)\in W$ とし、$\pi_1(V,x_0)$ の生成元で $z/|z|$ が正の向きに $1$ 回まわるものを $a$、$\pi_1(U,x_0)$ の生成元で $w/|w|$ が正の向きに $1$ 回まわるものを $b$ とする。段 1 により、包含が誘導する準同型は $c\mapsto a^p\in\pi_1(V,x_0)$、$c\mapsto b^q\in\pi_1(U,x_0)$ である。$U,V,W$ は弧状連結なので、Van Kampenの定理 の系「群の表示による記述」により $\pi_1(X,x_0)\cong\langle a,b\mid a^p=b^q\rangle$ である。$\square$

$x=(g_1,\dots,g_n)$ を単位元でない元（$n\ge1$）とし、$g_1\in A$ の場合を考える（$g_1\in B$ なら $A$ と $B$ を入れ替える）。$B$ の単位元でない元 $b$ をとる。$bx=(b,g_1,\dots,g_n)$ は長さ $n+1$ で、先頭の文字は $B$ に属する。一方 $xb$ は、$g_n\in A$ なら $(g_1,\dots,g_n,b)$ で先頭の文字は $A$ に属し、$g_n\in B$ なら $g_nb$ が単位元かどうかに応じて長さ $n-1$ または $n$ である。いずれの場合も簡約語として $bx\ne xb$ なので、$x$ は中心に属さない。$\square$

有限位数の元 $x=(g_1,\dots,g_n)$ について、長さ $n$ についての帰納法で示す。$n\le1$ なら $x$ は $A$ か $B$ の元である。$n\ge2$ とする。
$g_1$ と $g_n$ が異なる因子に属するとき、$k\ge1$ について $x^k$ は $x$ の文字列を $k$ 回並べた語であり、つなぎ目で隣り合う $g_n,g_1$ は異なる因子に属するので、これは長さ $kn$ の簡約語である。よって $x^k\ne1$ となり、$x$ が有限位数であることに反する。
したがって $g_1$ と $g_n$ は同じ因子に属し、$g_1,g_2$ が異なる因子に属することから $n\ge3$ である。$y:=g_1^{-1}xg_1$ を計算すると、$g_1^{-1}x=(g_2,\dots,g_n)$ であり、右から $g_1$ を掛けると末尾の $g_n$ と $g_1$ が合わさって、$g_ng_1\ne1$ なら $y=(g_2,\dots,g_{n-1},g_ng_1)$（長さ $n-1$）、$g_ng_1=1$ なら $y=(g_2,\dots,g_{n-1})$（長さ $n-2$）となる。$y$ は $x$ と共役で位数が等しく、長さが $n$ より短いので、帰納法の仮定により $A$ か $B$ の元と共役である。よって $x$ もそうである。共役な元の位数は等しいので、後半も従う。$\square$

1：$h=a^p$ は $a$ と可換であり、$h=b^q$ は $b$ と可換である。$G_{p,q}$ は $a,b$ で生成されるので、$h$ は中心に属する。$a\mapsto q$、$b\mapsto p$ は関係式 $a^p=b^q$ を保つ（両辺とも $pq$ に写る）ので、準同型 $\varepsilon\colon G_{p,q}\to\mathbb{Z}$ を定める（群の表示 の命題「表示からの準同型」）。$\varepsilon(h^k)=kpq\ne0$（$k\ne0$）なので $h$ は無限位数である。
2：$h$ は中心に属するので $\langle h\rangle$ は正規部分群であり、$h$ を含む最小の正規部分群に等しい。よって $G_{p,q}/\langle h\rangle$ は、表示に関係子 $a^p$ を加えた $\langle a,b\mid a^pb^{-q},\ a^p\rangle$ で表される（群の表示 の命題「関係子を加える操作」）。関係子の集合 $\{a^pb^{-q},a^p\}$ と $\{a^p,b^q\}$ は互いに相手の積で書けるので同じ正規部分群を生成し、この群は $\langle a,b\mid a^p,\ b^q\rangle\cong\mathbb{Z}/p\ast\mathbb{Z}/q$ である（自由積 の系「群の表示による自由積の記述」）。
3：$\pi\colon G_{p,q}\to\mathbb{Z}/p\ast\mathbb{Z}/q$ を 2 の全射とする。全射準同型は中心を中心の中へ写す（群の中心 の命題「部分群・全射準同型と中心」）ので、$\pi(Z(G_{p,q}))$ は $\mathbb{Z}/p\ast\mathbb{Z}/q$ の中心に含まれ、lem-tk-free-center によりそれは自明である。よって $Z(G_{p,q})\subset\ker\pi=\langle h\rangle$ であり、1 と合わせて $Z(G_{p,q})=\langle h\rangle$ である。1 により $\langle h\rangle\cong\mathbb{Z}$ である。$\square$

$\mathbb{Z}/p\ast\mathbb{Z}/q$ は自明でない群の自由積なので単位元以外の元があり、thm-tk-center の 2 により $G_{p,q}\ne\langle h\rangle$ である。3 により中心は $G_{p,q}$ 全体でないので、$G_{p,q}$ は可換でない（群の中心 の命題「アーベル群の特徴づけ」）。自明な結び目の結び目群は可換群 $\mathbb{Z}$ である（結び目 の定理「自明な結び目の結び目群」）ので、thm-tk-group と 結び目 の命題「結び目群は不変量」により、$T_{p,q}$ は自明な結び目と同値でない。$\square$

群の同型は中心を中心に写すので、$G_{p,q}\cong G_{p',q'}$ は中心による商の同型を誘導し、thm-tk-center の 2・3 により $Q:=\mathbb{Z}/p\ast\mathbb{Z}/q\cong Q':=\mathbb{Z}/p'\ast\mathbb{Z}/q'$ である。
可換化を比べる。自由積 の命題「自由積のアーベル化」により $Q$ の可換化は $\mathbb{Z}/p\oplus\mathbb{Z}/q$ で、位数は $pq$ である。よって $pq=p'q'$ である。
有限位数の元の位数の最大値を比べる。lem-tk-free-torsion により、$Q$ の有限位数の元の位数は $\mathbb{Z}/p$ か $\mathbb{Z}/q$ の元の位数で、$p$ か $q$ の約数である。生成元 $\bar a$、$\bar b$ の位数は $p$、$q$ なので、最大値は $\max\{p,q\}$ である。よって $\max\{p,q\}=\max\{p',q'\}$ であり、積も等しいので $\min\{p,q\}=\min\{p',q'\}$ である。
後半は、thm-tk-group と 結び目 の命題「結び目群は不変量」により $G_{p,q}\cong G_{p',q'}$ となることから従う。$\square$