単調作用素

$u,v\in E$、$0< t\le1$ とすると、凸性から $\varphi(u+t(v-u))\le(1-t)\varphi(u)+t\varphi(v)$ なので
$$ \frac{\varphi(u+t(v-u))-\varphi(u)}{t}\le\varphi(v)-\varphi(u) $$
であり、$t\downarrow0$ として $\langle\varphi'(u),v-u\rangle\le\varphi(v)-\varphi(u)$ を得る。$u$ と $v$ を入れ替えた不等式と足すと $\langle\varphi'(u)-\varphi'(v),v-u\rangle\le0$、すなわち単調性が従う。
狭義凸で $u\neq v$ のとき、$m=(u+v)/2$ に上の不等式を当てると $\langle\varphi'(u),m-u\rangle\le\varphi(m)-\varphi(u)<\frac12\bigl(\varphi(v)-\varphi(u)\bigr)$ であり、2 倍して $\langle\varphi'(u),v-u\rangle<\varphi(v)-\varphi(u)$ となる。入れ替えて足せば狭義の不等号が得られる。$\square$

$\lambda,\mu\in\mathbb{R}^n$ について $F(\lambda,\mu):=\sum_{i,j=1}^n\lambda_i\mu_j\langle Av_j,v_i-v_j\rangle$ とおく。$F$ は双線形である。$\lambda\in B_n$ なら $\sum_i\lambda_i=1$ なので、$u=\sum_i\lambda_iv_i$ について
$$ F(\lambda,e_j)=\sum_{i=1}^n\lambda_i\langle Av_j,v_i-v_j\rangle=\langle Av_j,u-v_j\rangle $$
である。よって示すべきことは、ある $\lambda\in B_n$ ですべての $j$ について $F(\lambda,e_j)\le0$ となることである。
段 1（対角での符号）．$\lambda\in B_n$ なら $F(\lambda,\lambda)\le0$ である。実際、和の添字 $i,j$ を入れ替えた式と足すと
$$ 2F(\lambda,\lambda)=\sum_{i,j}\lambda_i\lambda_j\bigl(\langle Av_j,v_i-v_j\rangle+\langle Av_i,v_j-v_i\rangle\bigr)=-\sum_{i,j}\lambda_i\lambda_j\langle Av_i-Av_j,v_i-v_j\rangle $$
であり、$\lambda_i\lambda_j\ge0$ と単調性から右辺は $0$ 以下である。
段 2（背理法）．$c(\lambda):=(F(\lambda,e_1),\dots,F(\lambda,e_n))$ とおき、どの $\lambda\in B_n$ でも $c(\lambda)$ のある成分が正であると仮定する。$c$ は線形なので、$C:=c(B_n)$ はコンパクトな 凸集合 である。$y\in\mathbb{R}^n$ について $y^+:=(\max(y_1,0),\dots,\max(y_n,0))$、$g(y):=|y^+|^2$ とおくと、$g$ は $C^1$ 級で勾配は $2y^+$ である。$g$ は $C$ 上で最小値をとり、その点 $c^*\in C$ で $g(c^*)>0$ である（仮定により $c^*$ のある成分が正）。$\mu:=(c^*)^+$ とおくと $\mu\ge0$、$\mu\neq0$ である。$c\in C$、$0< t\le1$ なら $c^*+t(c-c^*)\in C$ なので $g(c^*+t(c-c^*))\ge g(c^*)$ であり、$t\downarrow0$ で微分して $2\mu\cdot(c-c^*)\ge0$ を得る。$\mu\cdot c^*=\sum_j(c^*_j)^+c^*_j=g(c^*)>0$ なので、すべての $c\in C$ で $\mu\cdot c>0$ である。
$s:=\sum_j\mu_j>0$、$\hat\lambda:=\mu/s\in B_n$ とおくと、すべての $\lambda\in B_n$ で $F(\lambda,\hat\lambda)=\sum_j\hat\lambda_jF(\lambda,e_j)=\hat\lambda\cdot c(\lambda)>0$ である。$\lambda=\hat\lambda$ とすると段 1 に矛盾する。よって、ある $\lambda\in B_n$ で $c(\lambda)$ のすべての成分が $0$ 以下である。$\square$

$v\in D(A)\cap K$ について $K_v:=\{u\in K\mid\langle Av,v-u\rangle\ge0\}$ とおく。示すべきことは $\bigcap_{v\in D(A)\cap K}K_v\neq\emptyset$ である（$D(A)\cap K=\emptyset$ なら共通部分は $K$ で、空でない）。
$K$ に弱位相（弱位相(関数解析) の定義「弱位相」）を入れる。反射的Banach空間 の系「有界閉凸集合の弱コンパクト性」により $K$ は弱コンパクトである。$u\mapsto\langle Av,u\rangle$ は弱位相で連続な汎関数なので、$K_v=K\cap\{u\mid\langle Av,u\rangle\le\langle Av,v\rangle\}$ は $K$ の弱閉部分集合である。
共通部分が空だと仮定する。補集合 $K\setminus K_v$ は $K$ の弱開被覆をなすので、弱コンパクト性から有限個の $v_1,\dots,v_n\in D(A)\cap K$ で $K_{v_1}\cap\dots\cap K_{v_n}=\emptyset$ となる（$K\neq\emptyset$ なので $n\ge1$）。一方、lem-mo-finite によりある $\lambda\in B_n$ があって、$u=\sum_i\lambda_iv_i$ はすべての $j$ で $\langle Av_j,v_j-u\rangle\ge0$ を満たす。$K$ は凸なので $u\in K$ であり、$u\in K_{v_1}\cap\dots\cap K_{v_n}$ となって矛盾する。$\square$

1：(a) ⇒ (b) は単調性から $\langle Aw,w-u\rangle\ge\langle Au,w-u\rangle\ge0$ である。(b) ⇒ (a)：$w\in K$、$0< t\le1$ とし、$v_t:=u+t(w-u)\in K$ に (b) を当てると $t\langle Av_t,w-u\rangle\ge0$、$t$ で割って $\langle Av_t,w-u\rangle\ge0$ である。$t\downarrow0$ で $v_t\to u$ なので、連続性から $\langle Av_t,w-u\rangle\to\langle Au,w-u\rangle$（差は $\|Av_t-Au\|_*\|w-u\|$ 以下）となり、(a) を得る。
2：thm-mo-minty-lemma で $D(A)=E$ とすると (b) を満たす $u\in K$ があり、1 により (a) も満たす。
3：$Z$ は $0$ を含み有界なので、ある $r\ge0$ で $Z\subset\{\|v\|\le r\}$ となる。$R>r$ をとり $K_R:=K\cap\{\|v\|\le R\}$ とおくと、$K_R$ は $0$ を含む有界閉凸集合なので、2 によりある $u\in K_R$ がすべての $w\in K_R$ で $\langle Au,w-u\rangle\ge0$ を満たす。$w=0$ とすると $\langle Au,u\rangle\le0$ なので $u\in Z$、よって $\|u\|\le r< R$ である。$v\in K$ を任意にとると、十分小さい $t>0$ で $\|u+t(v-u)\|\le\|u\|+t\|v-u\|< R$ なので $u+t(v-u)\in K_R$ であり、$t\langle Au,v-u\rangle\ge0$ を得る。$\square$

1：$f\in E^*$ を固定し、$G(v):=Av-f$ とおく。$G\colon E\to E^*$ は連続で単調である（$\langle Gu-Gv,u-v\rangle=\langle Au-Av,u-v\rangle$）。$v\neq0$ なら
$$ \frac{\langle Gv,v\rangle}{\|v\|}\ge\frac{\langle Av,v\rangle}{\|v\|}-\|f\|_* $$
であり、強圧性から右辺は $\|v\|\to\infty$ で $+\infty$ に発散する。よってある $r>0$ があり、$\|v\|>r$ なら $\langle Gv,v\rangle>0$ となる。したがって $Z_G:=\{v\in E\mid\langle Gv,v\rangle\le0\}$ は半径 $r$ の閉球に含まれ、有界である。
$K=E$（$0$ を含む閉凸集合）として prop-mo-vi の 3 を $G$ に当てると、ある $u\in E$ がすべての $v\in E$ で $\langle Gu,v-u\rangle\ge0$ を満たす。$h\in E$ を任意にとり $v=u+h$、$v=u-h$ を代入すると $\langle Gu,h\rangle\ge0$ と $\langle Gu,h\rangle\le0$ を得るので、$\langle Gu,h\rangle=0$ である。$h$ は任意なので $Gu=0$、すなわち $Au=f$ である。
2：$Au_1=Au_2=f$ なら $\langle Au_1-Au_2,u_1-u_2\rangle=0$ であり、狭義単調性から $u_1=u_2$ である。$\square$

$G:=I+A$ は連続で、$(Gu-Gv,u-v)=|u-v|^2+(Au-Av,u-v)\ge|u-v|^2$ なので狭義単調である。$v=0$ との単調性から $(Au,u)\ge(A0,u)\ge-|A0|\,|u|$ なので、$(Gu,u)/|u|\ge|u|-|A0|\to\infty$ であり、$G$ は強圧的である（$H=\{0\}$ なら主張は自明）。Hilbert 空間は反射的なので thm-mo-minty-browder により $G$ は全単射である。$Gu_i=f_i$ なら $|u_1-u_2|^2\le(f_1-f_2,u_1-u_2)\le|f_1-f_2|\,|u_1-u_2|$ である。$\square$