特異曲線のPicard群

要点：各 $j$ について、$\mathfrak{n}_j$ で位数 $1$、他の $\mathfrak{n}_l$ で単元となる元を作り、その冪の積をとる。

$\operatorname{Pic}$ を $\operatorname{CaCl}$ と同一視する。$X$ が射影曲線 $X\subset\mathbb{P}^N$ なら、$k$ は無限体なので $S$ の有限個の点のどれでも $0$ にならない 1 次形式 $\ell$ があり、$X\cap D_+(\ell)$ が $S$ を含むアフィン開集合である。
段 1（$\nu^*D=0$ となる因子）：$\nu^*D=0$ をみたす Cartier 因子 $D$ の群を $\operatorname{CaDiv}_0(X)$ とする。$D=\{(U_i,f_i)\}$ について、$\nu^*D=0$ は $f_i\in\Gamma(\nu^{-1}(U_i),\mathcal{O}_{\widetilde{X}}^\times)$ がすべての $i$ で成り立つことである。このとき $P\in S\cap U_i$ における $f_i$ の芽は $\widetilde{\mathcal{O}}_P^\times$ に属し、その類を $\varphi(D)_P\in\widetilde{\mathcal{O}}_P^\times/\mathcal{O}_P^\times$ とおく。$f_i/f_j$ は $U_i\cap U_j$ の上で $\mathcal{O}_X^\times$ に属するので、類は $i$ によらない。こうして準同型 $\varphi\colon\operatorname{CaDiv}_0(X)\to\bigoplus_{P\in S}\widetilde{\mathcal{O}}_P^\times/\mathcal{O}_P^\times$ を得る。
$\varphi$ は同型である。単射性：$\varphi(D)=0$ なら、各 $P\in S$ で $f_i$ の芽が $\mathcal{O}_P^\times$ に属し、$f_i$ は $P$ の近傍で $\mathcal{O}_X$ の単元である。$x\notin S$ では、$\nu$ は $x$ の近くで同型で $f_i$ は $\nu^{-1}(U_i)$ の単元だから、やはり $f_i$ は $x$ の近くで単元である。よって $D$ は単元を局所方程式にもち、$D=0$ である。全射性：$(u_P)_P$ が与えられたとき、各 $P\in S$ に開近傍 $W_P$ を、$W_P\cap S=\{P\}$ かつ $u_P$ が $\Gamma(\nu^{-1}(W_P),\mathcal{O}_{\widetilde{X}}^\times)$ の元で代表されるようにとる。
$$ D_u:=\{(X\setminus S,\,1)\}\cup\{(W_P,\,u_P)\}_{P\in S} $$
とおく。$(X\setminus S)\cap W_P$ の上で $u_P$ は単元である（$\nu$ はそこで同型）。$P\ne Q$ なら $W_P\cap W_Q\subset X\setminus S$ で $u_P/u_Q$ は単元である。よって $D_u$ は Cartier 因子で、$\nu^*D_u=0$、$\varphi(D_u)=(u_P)_P$ である。
$\delta$ を、$\varphi^{-1}$ と類をとる写像 $\operatorname{CaDiv}_0(X)\to\operatorname{CaCl}(X)$ の合成と定める。これは定理の記述どおりの写像である。
段 2（$\operatorname{Pic}(X)$ での完全性）：$\nu^*\circ\delta=0$ は $\nu^*D_u=0$ からわかる。逆に $\nu^*[D]=0$、すなわち $\nu^*D=\operatorname{div}(g)$（$g\in K^\times$）なら、$D-\operatorname{div}(g)\in\operatorname{CaDiv}_0(X)$ で、$[D]=\delta(\varphi(D-\operatorname{div}(g)))$ である。
段 3（直和での完全性）：$\delta(u)=0$ とは $D_u=\operatorname{div}(g)$ となる $g\in K^\times$ があることである。このとき $\operatorname{div}_{\widetilde{X}}(g)=\nu^*D_u=0$ だから $g\in\Gamma(\widetilde{X},\mathcal{O}_{\widetilde{X}}^\times)$ であり、$u=\varphi(\operatorname{div}(g))=\alpha(g)$ である。逆に大域単元 $g$ について $\operatorname{div}(g)\in\operatorname{CaDiv}_0(X)$ で $\varphi(\operatorname{div}(g))=\alpha(g)$ だから、$\delta(\alpha(g))=[\operatorname{div}(g)]=0$ である。
段 4（$\nu^*$ の全射性）：$\widetilde{X}$ は非特異なので、Cartier 因子と Weil 因子は一致する（Cartier因子 の定理「CartierからWeilへ」の 3、または 局所分解的スキーム）。$\widetilde{X}$ の Cartier 因子 $E$ の Weil 因子を $\sum_Qn_QQ$ とする。$S$ を含むアフィン開集合 $W$ をとると、$\nu^{-1}(W)=\operatorname{Spec}\widetilde{A}$ は Dedekind 整域のスペクトルで、有限集合 $T:=\nu^{-1}(S)$ を含む。lem-singular-curve-picard-approx により、$Q\in T$ で $\operatorname{ord}_Q(f)=n_Q$ となる $f\in K^\times$ がある。$E':=E-\operatorname{div}(f)$ の Weil 因子の台 $F$ は $T$ と交わらない有限集合であり、$E'$ は $\widetilde{X}\setminus F$ の上で $0$ である。$\nu^{-1}(X\setminus S)\cong X\setminus S$ を通して $E'$ を $X\setminus S$ の Cartier 因子とみなし、$X\setminus\nu(F)$ の上では $0$ と定めると、両者は重なり $(X\setminus S)\setminus\nu(F)$ の上で一致するので、$X$ の Cartier 因子 $D$ が定まる（$\nu(F)$ は $S$ と交わらない有限集合）。$\nu^*D=E'$ だから $\nu^*[D]=[E]$ である。$\square$

$k$ は代数閉体で $P$ は閉点だから $\mathcal{O}/\mathfrak{m}=k$、すなわち $\mathcal{O}=k+\mathfrak{m}$ である。$\widetilde{\mathcal{O}}$ は $\mathcal{O}$ 上整なので、その極大イデアル $\mathfrak{n}$ はすべて $\mathfrak{n}\cap\mathcal{O}=\mathfrak{m}$ をみたす（AM69 Corollary 5.8、p. 61）。よって $\mathfrak{m}$ は $\widetilde{\mathcal{O}}$ のすべての極大イデアルに含まれ、$b\in\widetilde{\mathcal{O}}$ が単元であることは、その像が $\widetilde{\mathcal{O}}/\mathfrak{m}$ の単元であることと同値である。とくに $\widetilde{\mathcal{O}}^\times\to(\widetilde{\mathcal{O}}/\mathfrak{m})^\times$ は全射である。$k^\times$ の逆像は $k^\times+\mathfrak{m}=\mathcal{O}\setminus\mathfrak{m}=\mathcal{O}^\times$ だから、合成 $\widetilde{\mathcal{O}}^\times\to(\widetilde{\mathcal{O}}/\mathfrak{m})^\times/k^\times$ の核は $\mathcal{O}^\times$ である。$\square$