Kähler微分の基本完全列

要点：1 の「$\Leftarrow$」は $N$ として $\operatorname{coker}v$、$M''$、$M/\operatorname{im}u$ を順にとればよく、2 の「$\Leftarrow$」は $N=M'$ として恒等写像の逆像をとればよい。

$h$ の加法性は $D$ の加法性と同じである。$h(b_1)h(b_2)=(g(b_1b_2),\,g(b_1)D(b_2)+g(b_2)D(b_1))$ なので、$h$ が乗法的であることは Leibniz 則 $D(b_1b_2)=b_1D(b_2)+b_2D(b_1)$ と同じである。$h$ が $A$ の元 $a$ の像を $(a\cdot1,0)$ に送ることは $D(a\cdot1)=0$ と同じであり、加法的で Leibniz 則を満たす写像にとってこれは $A$ 線形性と同値である（$D(ab')=D(a\cdot1)b'+a\,D(b')$）。$\square$

$b\mapsto d_{C/A}(g(b))$ は $B$ から $B$ 加群 $\Omega_{C/A}$ への $A$ 導分なので、普遍性により $B$ 線形写像 $\Omega_{B/A}\to\Omega_{C/A}$ を定め、係数拡大で $C$ 線形写像 $\alpha$ になる。$d_{C/B}$ は $B$ の像の上で $0$ だから $A$ の像の上でも $0$ であり、$C$ の $A$ 導分である。よって $\beta$ も定まる。
$C$ 加群 $N$ をとり $\operatorname{Hom}_C(-,N)$ を施す。冒頭の同一視により、得られる列は
$$0\to\operatorname{Der}_B(C,N)\xrightarrow{\ \iota\ }\operatorname{Der}_A(C,N)\xrightarrow{\ \rho\ }\operatorname{Der}_A(B,N)$$
となる。実際、$\varphi\in\operatorname{Hom}_C(\Omega_{C/B},N)$ に対応する導分は $\varphi\circ d_{C/B}=(\varphi\circ\beta)\circ d_{C/A}$ なので $\beta^*$ は包含 $\iota$ に、$\psi\in\operatorname{Hom}_C(\Omega_{C/A},N)$ について $\psi\circ\alpha$ に対応する導分は $b\mapsto\psi(d_{C/A}g(b))$ なので $\alpha^*$ は制限 $\rho(D)=D\circ g$ に対応する。$\iota$ は単射で、$\rho\circ\iota=0$ である（$B$ 導分は $g(B)$ の上で $0$）。$D\in\operatorname{Der}_A(C,N)$ が $\rho(D)=0$ を満たせば、$D(g(b)c)=g(b)D(c)+c\,D(g(b))=g(b)D(c)$ なので $D$ は $B$ 線形、すなわち $D\in\operatorname{Der}_B(C,N)$ である。よって上の列は完全であり、lem-kfs-hom-test の 1 により主張の列は完全である。
同値性：lem-kfs-hom-test の 2 により、$\alpha$ が分裂単射であることは、すべての $N$ について $\alpha^*$、すなわち $\rho$ が全射であることと同値であり、これは条件 2 そのものである。$\square$

thm-kfs-first の条件 2 を確かめる。$C$ 加群 $N$ と $D\in\operatorname{Der}_A(B,N)$ をとる。$C'=C\ltimes N$ とおき、lem-kfs-trivial-extension により $A$ 代数の準同型 $\phi\colon B\to C'$、$\phi(b)=(g(b),D(b))$ を考える。$\phi$ によって $C'$ を $B$ 代数とみると、平方零イデアル $N$ による商 $C'/N=C$ の $B$ 代数の構造は $g$ であり、恒等写像 $C\to C'/N$ は $B$ 代数の準同型である。$g$ は形式的に滑らかなので、$B$ 代数の準同型 $h\colon C\to C'$ で、射影 $C'\to C$ との合成が恒等写像になるものがある。$h(c)=(c,D'(c))$ と書ける。
$h$ は $B$ 代数の準同型なので $A$ 代数の準同型でもあり、lem-kfs-trivial-extension（$g$ を $\mathrm{id}_C$ として）により $D'\in\operatorname{Der}_A(C,N)$ である。$h\circ g=\phi$ の第 2 成分を比べると $D'(g(b))=D(b)$ である。よって条件 2 が成り立ち、thm-kfs-first から主張が従う。$\square$

$\delta$ が定まること：$j\mapsto dj\otimes1$ は加法的で、$b\in B$ について $d(bj)\otimes1=b\,dj\otimes1+j\,db\otimes1=b\,dj\otimes1$ である（$j$ は $C$ の上で $0$ として働く）。同じ計算で $d(jj')\otimes1=0$（$j,j'\in J$）なので、$J^2$ を $0$ に送り、$C$ 線形写像 $J/J^2\to\Omega_{B/A}\otimes_BC$ を誘導する。
$C$ 加群 $N$ をとり $\operatorname{Hom}_C(-,N)$ を施すと、冒頭の同一視により列は
$$0\to\operatorname{Der}_A(C,N)\xrightarrow{\ \pi^*\ }\operatorname{Der}_A(B,N)\xrightarrow{\ \sigma\ }\operatorname{Hom}_C(J/J^2,N)$$
となる。$\pi^*$ は射影 $\pi\colon B\to C$ との合成、$\sigma(D)$ は $D$ の $J$ への制限が誘導する写像である（$D(bj)=b\,D(j)+j\,D(b)=b\,D(j)$ かつ $D(J^2)=0$ なので、$D|_J$ は $C$ 線形写像 $J/J^2\to N$ を与える）。$\pi$ は全射なので $\pi^*$ は単射で、$\sigma\circ\pi^*=0$ である。$\sigma(D)=0$、すなわち $D(J)=0$ なら、$D$ は $C=B/J$ を経由し、経由した写像は $A$ 導分である。よって列は完全であり、lem-kfs-hom-test の 1 から主張が従う。$\square$

$J/J^2$ は $B/J^2$ の平方零イデアルで、$(B/J^2)/(J/J^2)=C$ である。$C$ は $A$ 上形式的に滑らかなので、恒等写像 $C\to C$ は $A$ 代数の準同型 $s\colon C\to B/J^2$ に持ち上がる。$b\in B$ の $B/J^2$ での類を $\bar b$、$C$ での類を $b_C$ と書き、
$$D(b):=\bar b-s(b_C)$$
とおく。$\bar b$ と $s(b_C)$ はどちらも $C$ で $b_C$ に写るので $D(b)\in J/J^2$ である。$J/J^2$ の元に $B/J^2$ の元を掛けた結果は $C$ への像だけで決まり、$s(b'_C)$ の $C$ への像は $b'_C$ だから、
$$D(bb')=\bar b\,(\bar b'-s(b'_C))+(\bar b-s(b_C))\,s(b'_C)=b_C\,D(b')+b'_C\,D(b)$$
となる。$D$ は加法的で、$A$ の元では $\bar a=s(a_C)$ なので $0$ である。よって $D\in\operatorname{Der}_A(B,J/J^2)$ であり、普遍性から $C$ 線形写像 $r\colon\Omega_{B/A}\otimes_BC\to J/J^2$、$r(db\otimes1)=D(b)$ が得られる。$j\in J$ なら $j_C=0$ なので $r(\delta(\bar j))=D(j)=\bar j$、すなわち $r\circ\delta=\mathrm{id}$ である。$\delta$ は分裂単射であり、thm-kfs-second とあわせて主張が従う。$\square$

$B=A[t_1,\dots,t_n]$ とすると $\Omega_{B/A}$ は $dt_1,\dots,dt_n$ を基底とする自由加群で $df=\sum_i(\partial f/\partial t_i)\,dt_i$ である（Kähler微分 の命題「多項式環の微分加群」）。$J/J^2$ は $f_1,\dots,f_r$ の類で生成されるので、thm-kfs-second により $\Omega_{C/A}$ は $\bigoplus_iC\,dt_i$ を $df_1\otimes1,\dots,df_r\otimes1$ の生成する部分加群で割ったものである。$\square$

$C=B/\mathfrak m=k$ とする。$C$ は $k$ 上形式的に滑らかである。実際、$k$ 代数 $C'$ とイデアル $N$ について、$k$ 代数の準同型 $k\to C'/N$ は構造射しかなく、それは構造射 $k\to C'$ の合成である。また $\Omega_{k/k}=0$ である。thm-kfs-second-smooth を $J=\mathfrak m$ に適用すると、$0\to\mathfrak m/\mathfrak m^2\to\Omega_{B/k}\otimes_Bk\to0\to0$ が完全になる。$\square$