局所環

体 $K$ では $0$ 以外の元がすべて単元なので、単元でない元の全体は $\{0\}$ であり、これはイデアルである。よって $K$ は $\mathfrak{m}=0$ を唯一の極大イデアルとする局所環で、剰余体は $K/0\cong K$ 自身である。逆に、局所環 $(A,\mathfrak{m})$ が $\mathfrak{m}=0$ を満たすなら、単元でない元は $0$ だけなので $A$ は体である。すなわち、体とは極大イデアルが $0$ である局所環にほかならない。

$k$ を体とし、形式的冪級数の環 $k[\![t]\!]$ を考える。その元は形式和 $f=\sum_{n\geq0}a_nt^n$（$a_n\in k$）で、加法は係数ごと、乗法は $\bigl(\sum a_nt^n\bigr)\bigl(\sum b_nt^n\bigr)=\sum_n\bigl(\sum_{i+j=n}a_ib_j\bigr)t^n$ で定める。$f$ が単元であることと $a_0\neq0$ は同値である。実際、$fg=1$ なら定数項を比べて $a_0b_0=1$ だから $a_0\neq0$ である。逆に $a_0\neq0$ なら、$b_0:=a_0^{-1}$ とし、$n\geq1$ に対して
$$ b_n:=-a_0^{-1}\sum_{i=1}^{n}a_ib_{n-i} $$
と帰納的に定めると、$g:=\sum b_nt^n$ は $fg$ の定数項が $a_0b_0=1$、$t^n$（$n\geq1$）の係数が $\sum_{i=0}^na_ib_{n-i}=a_0b_n+\sum_{i=1}^na_ib_{n-i}=0$ を満たすので $fg=1$ である。したがって単元でない元の全体は $\{f\mid a_0=0\}=tk[\![t]\!]$ であり、これはイデアルである。よって $k[\![t]\!]$ は局所環で、極大イデアルは $(t)$、剰余体は $f\mapsto a_0$ が誘導する同型 $k[\![t]\!]/(t)\cong k$ である。同じ論法で、多変数の形式的冪級数環 $k[\![x_1,\dots,x_n]\!]$ も定数項が $0$ の冪級数全体 $(x_1,\dots,x_n)$ を極大イデアルとする局所環である（AM69 Chapter 1, Exercise 5）。

$p$ を素数とし、分母が $p$ で割り切れない有理数の全体
$$ \mathbb{Z}_{(p)}:=\Bigl\{\frac{a}{b}\in\mathbb{Q}\Bigm|a,b\in\mathbb{Z},\ p\nmid b\Bigr\} $$
を考える。$p\nmid b$、$p\nmid d$ なら $p\nmid bd$ なので、$\mathbb{Z}_{(p)}$ は和・差・積で閉じ $1$ を含む、$\mathbb{Q}$ の部分環である。$a/b\in\mathbb{Z}_{(p)}$（$p\nmid b$）について、$p\nmid a$ なら $b/a\in\mathbb{Z}_{(p)}$ が逆元なので単元である。$p\mid a$ のとき、もし $(a/b)(c/d)=1$（$p\nmid d$）となれば $ac=bd$ から $p\mid bd$ となり矛盾するので、単元でない。したがって単元でない元の全体は
$$ p\mathbb{Z}_{(p)}=\Bigl\{\frac{a}{b}\Bigm|p\mid a,\ p\nmid b\Bigr\} $$
であり、これは $p$ が生成するイデアルである。よって $\mathbb{Z}_{(p)}$ は極大イデアル $p\mathbb{Z}_{(p)}$ をもつ局所環である。剰余体は $\mathbb{F}_p$ である。実際、合成 $\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}_{(p)}\to\mathbb{Z}_{(p)}/p\mathbb{Z}_{(p)}$ の核は $p\mathbb{Z}_{(p)}\cap\mathbb{Z}=p\mathbb{Z}$ であり（整数 $m$ が $m=pa/b$、$p\nmid b$ と書ければ $mb=pa$ から $p\mid m$）、$p\nmid b$ なら $bb'\equiv1\pmod p$ となる整数 $b'$ がとれて $a/b-ab'=a(1-bb')/b\in p\mathbb{Z}_{(p)}$ となるので全射でもある。$\mathbb{Z}_{(p)}$ は体でなく（$p$ は単元でない）、$\mathbb{Z}\subsetneq\mathbb{Z}_{(p)}\subsetneq\mathbb{Q}$ である。
一般に、可換環 $A$ とその素イデアル $\mathfrak{p}$ に対する局所化 $A_{\mathfrak{p}}$ は、$\mathfrak{p}A_{\mathfrak{p}}$ を唯一の極大イデアルとし、整域 $A/\mathfrak{p}$ の商体を剰余体とする局所環である。その証明は 局所化 の記事にある（AM69 Chapter 3）。$\mathbb{Z}_{(p)}$ は $A=\mathbb{Z}$、$\mathfrak{p}=(p)$ の場合であり、多項式環 $k[t]$ を $\mathfrak{p}=(t)$ で局所化した $k[t]_{(t)}$（分母が $t$ で割り切れない有理式の全体）は剰余体 $k$ の局所環である。局所環の多くはこの形で現れ、「局所環」「局所化」という名称はここに由来する。

$K$ を体とする。全射の写像 $v\colon K^\times\to\mathbb{Z}$ が、任意の $x,y\in K^\times$ について $v(xy)=v(x)+v(y)$ を満たし、$x+y\neq0$ のとき $v(x+y)\geq\min\{v(x),v(y)\}$ を満たすとき、$v$ を $K$ の離散付値といい、$v(0):=+\infty$ と約束する。$v(1)=v(1\cdot1)=2v(1)$ から $v(1)=0$、$2v(-1)=v(1)=0$ から $v(-1)=0$、また $v(x^{-1})=-v(x)$ である。
$$ A_v:=\{x\in K\mid v(x)\geq0\} $$
は $1$ を含み和と積で閉じるので $K$ の部分環であり、$v$ の離散付値環という。$x\in A_v\setminus\{0\}$ について、$v(x)=0$ なら $v(x^{-1})=0$ なので $x^{-1}\in A_v$ であり $x$ は単元である。$v(x)\geq1$ なら $v(x^{-1})\leq-1$ なので $x^{-1}\notin A_v$ であり、$x$ は $A_v$ の単元でない（$xy=1$、$y\in A_v$ なら $y=x^{-1}$）。したがって単元でない元の全体は $\mathfrak{m}_v:=\{x\in K\mid v(x)\geq1\}$（$0$ を含む）であり、これは $v$ の 2 条件から和と $A_v$ 倍で閉じるのでイデアルである。よって $A_v$ は局所環である。$v$ は全射なので $v(\pi)=1$ となる $\pi\in A_v$ がとれ、$v(x)\geq1$ なら $v(x/\pi)\geq0$ だから $\mathfrak{m}_v=\pi A_v$ は単項イデアルである。
$K=\mathbb{Q}$ と $p$ 進付値 $v_p$（$v_p(p^ea/b)=e$、$p\nmid ab$）に対して $A_{v_p}=\mathbb{Z}_{(p)}$ であり、$K=k(\!(t)\!)$（形式的 Laurent 級数体）と $t$ 進付値（$0$ でない最低次の項の次数）に対して $A_v=k[\![t]\!]$ である。一般の付値環も局所環であることを含め、離散付値環の諸性質と特徴づけは 付値環 の記事にある。

$p$ を素数、$n\geq1$ とし、$\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$ を考える。整数 $a$ の剰余類 $\bar{a}$ が単元であることと $p\nmid a$ は同値である。実際、$p\nmid a$ なら $\gcd(a,p^n)=1$ なので $ua+vp^n=1$ となる整数 $u,v$ がとれ（Bézoutの等式）、$\bar{u}\bar{a}=\bar{1}$ である。逆に $p\mid a$ かつ $\bar{a}\bar{b}=\bar{1}$ なら $ab-1\in p^n\mathbb{Z}\subset p\mathbb{Z}$ となって $p\mid1$ となり矛盾する。したがって単元でない元の全体は $p$ の倍数の剰余類の全体 $p\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$ であり、これはイデアルである。よって $\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$ は局所環で、極大イデアルは $(\bar{p})$、剰余体は $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}=\mathbb{F}_p$ である。この環の単元でない元 $\bar{a}$（$p\mid a$）は $\bar{a}^n=0$ を満たす冪零元であり、$n\geq2$ のとき $\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$ は整域でない局所環の例になっている。同様に $k[t]/(t^n)$（$k$ は体）も、$(\bar{t})$ を極大イデアル、$k$ を剰余体とする局所環である。これらは有限個の元、あるいは有限次元しかもたない局所環（Artin環である局所環）の典型である。

$X$ を位相空間、$x\in X$ とする。$x$ の開集合である近傍 $U$ とその上の連続写像 $f\colon U\to\mathbb{R}$ の組 $(U,f)$ を考え、$(U,f)$ と $(V,g)$ が $x$ を含むある開集合 $W\subset U\cap V$ の上で一致するとき同値とみなす。同値類を $x$ における連続関数の芽（germ）といい、芽の全体を $\mathcal{O}_{X,x}$ と書く。共通の定義域上で関数を加え・掛けることで $\mathcal{O}_{X,x}$ は可換環になる（代表の取り方によらないことは、定義域を小さくとれば分かる）。芽の $x$ での値 $f(x)$ は代表によらず定まり、$\mathcal{O}_{X,x}\to\mathbb{R}$、$[f]\mapsto f(x)$ は全射の環準同型である。その核 $\mathfrak{m}_x=\{[f]\mid f(x)=0\}$ はイデアルである。$f(x)\neq0$ なら、$f$ の連続性により $x$ を含む開集合 $W$ 上で $f\neq0$ であり、$W$ 上の連続関数 $1/f$ の芽が $[f]$ の逆元になる。$f(x)=0$ なら $[f][g]=1$ となる $[g]$ はない（値をとれば $f(x)g(x)=0\neq1$）。したがって単元でない元の全体は $\mathfrak{m}_x$ に一致し、$\mathcal{O}_{X,x}$ は極大イデアル $\mathfrak{m}_x$、剰余体 $\mathbb{R}$ の局所環である。
同じ議論は、多様体上の $C^\infty$ 関数の芽、複素多様体上の正則関数の芽についてもそのまま通用する。スキーム $X$ の点 $x$ における構造層の茎 $\mathcal{O}_{X,x}$ が局所環であることは局所環付き空間の定義の一部として要請され、アフィンスキーム $X=\operatorname{Spec}A$ の点 $\mathfrak{p}$ では $\mathcal{O}_{X,\mathfrak{p}}\cong A_{\mathfrak{p}}$ である（Har77 Chapter II, Proposition 2.2。証明は本記事では扱わない）。

整数環 $\mathbb{Z}$ の単元は $\pm1$ だけである。各素数 $p$ について $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ は体なので $p\mathbb{Z}$ は極大イデアルであり、素数は無限個あるから極大イデアルも無限個ある。よって $\mathbb{Z}$ は局所環でない。prop-local-ring-characterization の条件 4 で見れば、$a=3$ に対して $3$ も $1-3=-2$ も単元でない。$\mathbb{Z}$ は整域であり単項イデアル整域でありNoether環であるが、局所環ではない。この例が破る含意は「整域ならば局所環」「単項イデアル整域ならば局所環」である。$\mathbb{Z}$ を素数 $p$ で局所化した $\mathbb{Z}_{(p)}$ は局所環になる（ex-local-ring-z-p）。

$k$ を体とし、多項式環 $k[t]$ を考える。次数を比べると $k[t]$ の単元は $0$ でない定数だけである。$a\in k$ に対し、$t=a$ を代入する全射環準同型 $k[t]\to k$ の核は $(t-a)$ であり、$k[t]/(t-a)\cong k$ は体なので $(t-a)$ は極大イデアルである。$(t)$ と $(t-1)$ は異なる（等しければ $1=t-(t-1)\in(t)$ となるが、$(t)$ の元は定数項が $0$ である）。よって $k[t]$ は少なくとも 2 つの極大イデアルをもち、局所環でない。条件 4 で見れば、$t$ も $1-t$ も単元でない。$k[t]$ は整域・単項イデアル整域・Noether 環であるが局所環でなく、破る含意は ex-local-ring-nonexample-integers と同じである。
対照的に、$k[t]$ を含む形式的冪級数環 $k[\![t]\!]$ は局所環であった（ex-local-ring-power-series）。$k[t]$ で単元でなかった $1-t$ は、$k[\![t]\!]$ では $\sum_{n\geq0}t^n$ を逆元にもつ。多項式環から冪級数環へ移ることは、「原点 $t=0$ のまわりだけを見る」ことにあたり、原点以外の点に対応する極大イデアル $(t-a)$（$a\neq0$）が消えて局所環になる。

$k$ を体とし、直積 $k\times k$（演算は成分ごと）を考える。$e:=(1,0)$ は $e^2=e$、$e\neq0$、$e\neq1=(1,1)$ を満たす冪等元なので、prop-local-ring-idempotent により $k\times k$ は局所環でない。直接見れば、$k\times0$ と $0\times k$ はどちらも剰余環が $k$ になるので極大イデアルであり、また単元でない元 $(1,0)$ と $(0,1)$ の和が単元 $(1,1)$ になる。$k$ が有限体なら $k\times k$ は有限環であり、いずれにせよ $k\times k$ は $k$ 上 2 次元の Artin 環で、冪零元をもたない。それでも局所環でないので、この例が破る含意は「有限環ならば局所環」「Artin 環ならば局所環」である。同様に $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ は極大イデアル $(\bar{2})$ と $(\bar{3})$ をもつので局所環でなく、局所環である $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$（ex-local-ring-z-mod-pn）との違いは、法が素数の冪かどうかである。