Radon測度

$f\in C_c(X)$ は連続なので Borel 可測で、$|f|\le\max|f|\cdot1_{\operatorname{supp}f}$ と $\mu(\operatorname{supp}f)<\infty$ から可積分である。積分の線形性と単調性から $\Lambda_\mu$ は正値線形汎関数である。全射性：正値線形汎関数 $\Lambda$ に対し、Riesz–Markov–角谷の表現定理 の定理の測度 $\mu$ を $\mathcal{B}(X)$ に制限したものは、定理の 1–4 により $\Lambda$ を表す Radon 測度である（開集合は $\mathcal{B}(X)$ に属するので、外部正則性の下限は $\mathcal{B}(X)$ の中で変わらない）。単射性：2 つの Radon 測度が同じ汎関数を与えれば、同じ定理の一意性の主張により一致する。$\square$

この性質をもつ Borel 集合の全体を $\mathcal{H}$ とし、$\mathcal{H}$ が閉集合を含む σ-代数であることを示す。Borel 集合族は閉集合を含む最小の σ-代数なので、$\mathcal{H}=\mathcal{B}(X)$ となる。
閉集合 $F$ について、$U_n:=\{x\mid d(x,F)<1/n\}$ は開集合で、$F$ が閉なので $\bigcap_nU_n=F$ である。$\mu$ は有限なので上からの連続性により $\mu(U_n\setminus F)\to0$ であり、$F\subset F\subset U_n$ で近似できる。補集合について：$F\subset E\subset U$ なら $X\setminus U\subset X\setminus E\subset X\setminus F$ で、$X\setminus U$ は閉、$X\setminus F$ は開、差は同じ $U\setminus F$ である。
可算和について：$E_i\in\mathcal{H}$ とし、$F_i\subset E_i\subset U_i$、$\mu(U_i\setminus F_i)<\varepsilon2^{-i-1}$ となるようにとる。$U:=\bigcup_iU_i$ は開集合である。$F_\infty:=\bigcup_iF_i$ は閉とは限らないので、有限和 $F^{(N)}:=\bigcup_{i\le N}F_i$（閉集合）で置き換える。$F_\infty\setminus F^{(N)}$ は $N$ について減少して共通部分は空なので、$\mu$ の有限性から $\mu(F_\infty\setminus F^{(N)})<\varepsilon/2$ となる $N$ がある。すると $F^{(N)}\subset\bigcup_iE_i\subset U$ で
$$ \mu(U\setminus F^{(N)})\le\sum_i\mu(U_i\setminus F_i)+\mu(F_\infty\setminus F^{(N)})<\varepsilon $$
である。$\square$

$V_m$ を $K_m$ の内部とし、$V_0:=\emptyset$ とおく。$V_m$ は増加する開集合で、$K_m\subset V_{m+1}$ から $\bigcup_mV_m=X$ である。$\mu$ を Borel 測度とし、$\mu_m(E):=\mu(E\cap K_m)$ とおくと、$\mu_m$ は有限な Borel 測度である。
内部正則性：Borel 集合 $E$ と $m$ について、thm-radon-metric を $\mu_m$ と $E\cap K_m$ に使うと、閉集合 $F\subset E\cap K_m$ で $\mu(E\cap K_m)-\mu(F)<1/m$ となるものがある。$F$ はコンパクト集合 $K_m$ の閉部分集合なのでコンパクトである。$\mu(E\cap K_m)\to\mu(E)$（下からの連続性）なので、$\mu(E)=\sup\{\mu(K)\mid K\subset E\text{ はコンパクト}\}$ である。
外部正則性：$\mu(E)=\infty$ なら $U=X$ でよいので、$\mu(E)<\infty$ とし、$\varepsilon>0$ をとる。$E_m:=E\cap(V_m\setminus V_{m-1})$ とおくと $E=\bigcup_mE_m$（互いに素）である。thm-radon-metric を $\mu_{m+1}$ に使い、開集合 $U'_m\supset E_m$ で $\mu_{m+1}(U'_m\setminus E_m)<\varepsilon2^{-m}$ となるものをとる。$U_m:=U'_m\cap V_{m+1}$ は $E_m$ を含む開集合で $U_m\subset K_{m+1}$ なので、$\mu(U_m\setminus E_m)=\mu_{m+1}(U_m\setminus E_m)<\varepsilon2^{-m}$ である。$U:=\bigcup_mU_m$ とおくと $U\supset E$、$\mu(U\setminus E)\le\sum_m\mu(U_m\setminus E_m)<\varepsilon$ である。
例への適用：コンパクト距離空間では $K_m:=X$ とすればよい。$\mathbb{R}^n$ の開集合 $\Omega$ では、$K_m:=\{x\in\Omega\mid|x|\le m,\ d(x,\mathbb{R}^n\setminus\Omega)\ge1/m\}$（$\Omega=\mathbb{R}^n$ なら第 2 の条件は除く）は有界閉集合でコンパクトであり、開集合 $\{|x|< m+1,\ d(x,\mathbb{R}^n\setminus\Omega)>1/(m+1)\}$ を通して $K_{m+1}$ の内部に含まれる。$\square$

段 1（正値な部分への分解）。$g\in C(X)$、$g\ge0$ について $\Lambda^+(g):=\sup\{\Lambda f\mid f\in C(X),\ 0\le f\le g\}$ とおく。$0\le\Lambda^+(g)\le\|\Lambda\|\|g\|$ であり、$\Lambda^+$ は加法的で正の定数倍と交換する。$\Lambda^+(f):=\Lambda^+(f^+)-\Lambda^+(f^-)$ で $C(X)$ 全体の正値線形汎関数に延ばすと、$\Lambda^-:=\Lambda^+-\Lambda$ も正値である（$g\ge0$ なら $\Lambda g\le\Lambda^+g$）。

1：要点は、$\eta>0$ ごとに有限個の球で $X$ を覆い、それに従う連続関数の 1 の分割 $\theta_j$ で $f$ を $\sum_jf(a_j)\theta_j$ と近似することである。

有限分割 $(A_i)$ について $\sum_i|(Tf)(A_i)|\le\sum_i\int_{A_i\cap\Omega}|f|=\|f\|_1$ なので $|Tf|(X)\le\|f\|_1$ である。逆向きは thm-radon-dual の 2 により、$|u|\le1$ となる $u\in C(X)$ で $\int_\Omega fu\,dx$ を $\|f\|_1$ に近づければよい。