超平面

条件 (i)：$\varphi(v_0)\neq0$ となる $v_0$ をとり、$v_0$ を $v_0/\varphi(v_0)$ に取り替えて $\varphi(v_0)=1$ とする。任意の $v\in V$ は
$$ v=\bigl(v-\varphi(v)v_0\bigr)+\varphi(v)v_0,\qquad v-\varphi(v)v_0\in\ker\varphi $$
と書けるので、$V/\ker\varphi$ は $v_0$ の類で張られる。$v_0\notin\ker\varphi$ だからこの類は $0$ でなく、$V/\ker\varphi$ は 1 次元である。
条件 (ii)：$V/H$ は 1 次元だから同型 $\iota\colon V/H\to k$ がある。射影 $\pi\colon V\to V/H$ との合成 $\varphi:=\iota\circ\pi$ は線形汎関数で、$\ker\varphi=\ker\pi=H$ である。
条件 (iii)：$\psi=c\varphi$ なら核が等しいのは明らかである。逆に $\ker\varphi=\ker\psi$ とし、(i) と同じく $\varphi(v_0)=1$ となる $v_0$ をとる。上の分解の第 1 項は $\ker\varphi=\ker\psi$ に属するから、$\psi$ を施すと $\psi(v)=\varphi(v)\psi(v_0)$ である。$c:=\psi(v_0)$ とおけば $\psi=c\varphi$ で、$\psi\neq0$ だから $c\neq0$ である。
条件 (iv)：$H$ を含む部分空間 $W$ と、$V/H$ の部分空間 $W/H$ とは一対一に対応する（$W=\pi^{-1}(W/H)$）。$V/H$ が 1 次元なら、その部分空間は $0$ と全体だけなので、$W=H$ か $W=V$ である。逆に $H$ が極大な真部分空間とし、$v\notin H$ をとる。$H+kv$ は $H$ を真に含む部分空間だから $V$ に等しく、$V/H$ は $v$ の類で張られる。この類は $0$ でないから $V/H$ は 1 次元である。$\square$

$k^n$ 上の線形汎関数は $\varphi(x)=a_1x_1+\dots+a_nx_n$（$a_i=\varphi(e_i)$、$e_i$ は標準基底）の形であり（双対空間(線形代数)の例「数ベクトル空間の双対」）、$\varphi\neq0$ は $(a_i)\neq0$ と同値だから、線形超平面についての主張は thm-hyperplane-functional から従う。アフィン超平面 $A=v+\ker\varphi$ は $\{x\mid\varphi(x)=\varphi(v)\}$ に等しい（$\varphi(x)=\varphi(v)\iff x-v\in\ker\varphi$）ので、$c:=\varphi(v)$ とおけばよい。$\{\varphi=c\}=\{\psi=c'\}$ なら、この集合 $A$ から $A$ 自身を引いた差の集合 $\{x-y\mid x,y\in A\}$ が $\ker\varphi=\ker\psi$ に等しいので $\psi=\lambda\varphi$（$\lambda\neq0$）であり、$A$ の点で値を比べて $c'=\lambda c$ である。$\square$

条件 (i)：$\langle a,p_0\rangle=\langle a,p\rangle-(\langle a,p\rangle-c)=c$ だから $p_0\in H$ である。$q\in H$ とすると、$p-p_0$ は $a$ の実数倍であり、$\langle a,p_0-q\rangle=c-c=0$ だから $p-p_0$ と $p_0-q$ は直交する。よって
$$ \|p-q\|^2=\|p-p_0\|^2+\|p_0-q\|^2\ge\|p-p_0\|^2 $$
で、等号は $q=p_0$ のときに限る。$\|p-p_0\|=\lvert\langle a,p\rangle-c\rvert\,\|a\|/\|a\|^2$ から距離の式が出る。
条件 (ii)：$f(x):=\langle a,x\rangle-c$ は連続だから $H_\pm=f^{-1}(\{t\mid\pm t>0\})$ は開集合で、$\mathbb{R}^n\setminus H=H_+\sqcup H_-$ は明らかである。$x_\pm:=\dfrac{c\pm\|a\|^2}{\|a\|^2}\,a$ は $f(x_\pm)=\pm\|a\|^2$ を満たすので $H_\pm$ は空でない。$x,y\in H_+$、$0\le t\le1$ なら $f(tx+(1-t)y)=tf(x)+(1-t)f(y)>0$ なので $H_+$ は凸集合であり、同様に $H_-$ も凸である。凸集合は線分でつながるので弧状連結、したがって連結空間である。一方 $\mathbb{R}^n\setminus H$ は交わらない空でない 2 つの開集合 $H_+$、$H_-$ の和だから連結でない。連結な $H_\pm$ を含む連結部分集合は $H_\pm$ から出られないので、連結成分は $H_+$ と $H_-$ である。$\square$

$V=W_1\cup\dots\cup W_m$（$W_j\subsetneq V$）となる $m$ があったとして、その最小のものをとる。$m=1$ は $W_1\neq V$ に反するので $m\ge2$ である。最小性から $W_1\not\subset W_2\cup\dots\cup W_m$（含まれれば $W_1$ を除いて $m-1$ 個で覆える）なので、$u\in W_1$ で $W_2,\dots,W_m$ のどれにも属さないものがとれる。また $W_1\neq V$ だから $v\notin W_1$ がとれる。
$\lambda\in k$ に対し $v+\lambda u$ を考える。$v+\lambda u\in W_1$ なら $v=(v+\lambda u)-\lambda u\in W_1$ となって矛盾するので、$v+\lambda u$ は $W_2,\dots,W_m$ のどれかに属する。$k$ は $m$ 個以上の元をもち、行き先は $m-1$ 個しかないので、鳩の巣原理により $\lambda\neq\mu$ で $v+\lambda u$ と $v+\mu u$ が同じ $W_j$（$j\ge2$）に属するものがある。すると $(\lambda-\mu)u\in W_j$、よって $u\in W_j$ となり、$u$ の選び方に反する。$\square$

条件 (i)：$[v_0+w]\notin H$ は $\varphi(v_0+w)=1\neq0$ から分かる。点 $[v]\notin H$ は $\varphi(v)\neq0$ を満たし、その代表元のうち $\varphi$ の値が $1$ のものは $v/\varphi(v)$ ただ 1 つである。$v/\varphi(v)=v_0+w$ と書くと $w=v/\varphi(v)-v_0\in\ker\varphi$ であり、この $w$ は $[v]$ から一意に定まる。よって写像は全単射である。$\ker\varphi$ が $n$ 次元であることは thm-hyperplane-functional と $\dim V=n+1$ から従う。
条件 (ii)：射影直線を $\mathbb{P}(W)$（$\dim W=2$）とする。$\mathbb{P}(W)\not\subset H$ は $W\not\subset\ker\varphi$、すなわち制限 $\varphi|_W$ が $0$ でないことを意味する。すると $\varphi|_W\colon W\to k$ は全射で、その核 $W\cap\ker\varphi$ は $2-1=1$ 次元である。交点 $\mathbb{P}(W)\cap H=\mathbb{P}(W\cap\ker\varphi)$ は 1 次元部分空間 1 つ、すなわち 1 点である。
条件 (iii)：$[v]$ がすべての $\mathbb{P}(\ker\varphi_i)$ に属することは $v\in K:=\bigcap_i\ker\varphi_i$ と同値だから、共通部分は $\mathbb{P}(K)$ である。$\Phi:=(\varphi_1,\dots,\varphi_r)\colon V\to k^r$ の核は $K$ で、像の次元は $r$ 以下だから、次元定理により $\dim K\ge n+1-r$、よって $\mathbb{P}(K)$ の次元は $n-r$ 以上である。$r\le n$ なら $\dim K\ge1$ で、$\mathbb{P}(K)$ は空でない。$\varphi_i$ が 1 次独立のときは $\Phi$ が全射である。実際、像 $U$ が $k^r$ の真部分空間なら、$U$ の基底を $k^r$ の基底に延ばし、$U$ に属さない基底ベクトルを 1 つ除いて残りで張ると、$U$ を含む線形超平面が得られる。cor-hyperplane-equation によりそれは $\{y\mid\sum_ic_iy_i=0\}$（$(c_i)\neq0$）と書けるので、$\sum_ic_i\varphi_i=0$ となって 1 次独立性に反する。よって $\dim K=n+1-r$ である。$\square$

要点：核が閉なら、$\varphi(v_0)=1$ となる $v_0$ と核との距離 $\delta>0$ を使って $\lvert\varphi(x)\rvert\le\|x\|/\delta$ が出る。後半は、核の閉包が核を含む部分空間であることと、線形超平面が極大な真部分空間であること（thm-hyperplane-functional の条件 (iv)）から従う。