Varignonの定理

同義語：ヴァリニョンの定理Varignonの平行四辺形Varignon's theorem

概要

前提知識: 中点連結定理, 位置ベクトルと内分点, 靴ひも公式, ベクトルの内積（高校数学）

高校での出発点：4 つの辺の中点を結ぶ

どんな四角形でも、4 つの辺の中点を順に結ぶと平行四辺形になる。このことは中点連結定理の例で、中点連結定理を 2 回使って確かめた。この記事では、その平行四辺形について、もう一歩進んだことを調べる。面積はいくつか、周の長さはいくつか、どんな形になるか、そして 4 つの頂点が同じ平面の上にないときはどうなるか。まず座標で計算してみる。

凸四角形の中点を結ぶ

$A(0,0)$、$B(8,0)$、$C(10,6)$、$D(2,8)$ の四角形 $ABCD$ で、辺 $AB$、$BC$、$CD$、$DA$ の中点を $E$、$F$、$G$、$H$ とする。
(1) 中点は座標の平均なので
$$ E(4,0),\quad F\left(\frac{8+10}2,\frac{0+6}2\right)=(9,3),\quad G\left(\frac{10+2}2,\frac{6+8}2\right)=(6,7),\quad H\left(\frac{2+0}2,\frac{8+0}2\right)=(1,4) $$
である。
(2) 辺のベクトルを計算すると
$$ \overrightarrow{EF}=(9-4,\ 3-0)=(5,3),\qquad \overrightarrow{HG}=(6-1,\ 7-4)=(5,3) $$
$$ \overrightarrow{FG}=(6-9,\ 7-3)=(-3,4),\qquad \overrightarrow{EH}=(1-4,\ 4-0)=(-3,4) $$
である。$\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{HG}$ なので、向かい合う辺 $EF$ と $HG$ は平行で長さが等しい。よって $EFGH$ は平行四辺形である。
(3) 対角線のベクトルは $\overrightarrow{AC}=(10,6)$、$\overrightarrow{BD}=(2-8,\ 8-0)=(-6,8)$ である。$\overrightarrow{EF}=\dfrac12\overrightarrow{AC}$、$\overrightarrow{FG}=\dfrac12\overrightarrow{BD}$ になっている。平行四辺形の辺は、対角線に平行で、長さが対角線の半分である。

四角形 ABCD の 4 つの辺の中点を順に結ぶと、青で塗った平行四辺形 EFGH ができ、その辺は破線の対角線 AC、BD に平行になる

面積と周の長さを比べる

ex-vrg-start の四角形で、面積と周の長さを計算する。
(1) 四角形 $ABCD$ の面積を靴ひも公式で求める。頂点を $A\to B\to C\to D$ の順に並べて
$$ \frac12\bigl\{(0\cdot0-8\cdot0)+(8\cdot6-10\cdot0)+(10\cdot8-2\cdot6)+(2\cdot0-0\cdot8)\bigr\}=\frac12(0+48+68+0)=58 $$
である。
(2) 平行四辺形 $EFGH$ の面積は、2 辺のベクトル $\overrightarrow{EF}=(5,3)$、$\overrightarrow{EH}=(-3,4)$ から
$$ \bigl\lvert 5\cdot4-3\cdot(-3)\bigr\rvert=20+9=29 $$
である（ベクトル $(a_1,a_2)$、$(b_1,b_2)$ のつくる平行四辺形の面積は $\lvert a_1b_2-a_2b_1\rvert$）。$29=\dfrac12\cdot58$ で、ちょうど半分である。
(3) 平行四辺形 $EFGH$ の周の長さは
$$ 2\,(EF+FG)=2\left(\sqrt{5^2+3^2}+\sqrt{(-3)^2+4^2}\right)=2\sqrt{34}+10 $$
である。一方、対角線の長さは $AC=\sqrt{10^2+6^2}=\sqrt{136}=2\sqrt{34}$、$BD=\sqrt{(-6)^2+8^2}=10$ で、和は $2\sqrt{34}+10$ である。周の長さは 2 本の対角線の長さの和に等しい。

ex-vrg-start-area では、面積がちょうど半分になり、周の長さが対角線の和になった。この記事で答える問いは次の 4 つである。

面積はいつも半分か。凹んだ四角形や、辺が交差した四角形ではどうか。→ thm-vrg-main、ex-vrg-concave、ex-vrg-crossed
平行四辺形が長方形やひし形になるのは、どんなときか。→ prop-vrg-shape
4 つの頂点が同じ平面の上にない四角形でも、平行四辺形になるか。→ rem-vrg-space

平行四辺形の中心はどこにあるか。→ cor-vrg-center

高校の計算	この記事の言葉	大学の言葉
中点連結定理を 2 回使う	Varignon の平行四辺形（prop-vrg-para）	中点をとる操作は 1 次の式
靴ひも公式	符号つき面積 $S(ABCD)=\frac12\det(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BD})$（lem-vrg-diag）	行列式の双線形性
対角線の内積と長さ	長方形・ひし形の判定（prop-vrg-shape）	内積で決まる性質
空間の位置ベクトル	ねじれた四角形（空間の四角形の中点と四面体）	次元によらない 1 次の関係

言葉の準備：四角形と符号つき面積

この記事では、辺が交差した四角形も扱う。そのために言葉をそろえる。

四角形と符号つき面積

平面の 4 点 $A$、$B$、$C$、$D$ で、どの 3 点も一直線上にないものをとる。線分 $AB$、$BC$、$CD$、$DA$ をこの順につないだ閉じた折れ線を 四角形 $ABCD$ といい、4 本の線分を辺、線分 $AC$、$BD$ を対角線という。
(R1) 辺どうしが頂点以外で交わらない四角形を 単純な四角形 という。単純な四角形は、どの内角も $180^\circ$ より小さい 凸四角形 と、$180^\circ$ より大きい内角が 1 つある 凹四角形 に分かれる。
(R2) 向かい合う辺（$AB$ と $CD$、または $BC$ と $DA$）が交わる四角形を 交差した四角形 という。
頂点の座標を $A(x_A,y_A)$ などとするとき
$$ S(ABCD)=\frac12\bigl\{(x_Ay_B-x_By_A)+(x_By_C-x_Cy_B)+(x_Cy_D-x_Dy_C)+(x_Dy_A-x_Ay_D)\bigr\} $$
を四角形 $ABCD$ の 符号つき面積 という。平面のベクトル $\vec u=(u_1,u_2)$、$\vec v=(v_1,v_2)$ について $\det(\vec u,\vec v)=u_1v_2-u_2v_1$ と書くと、位置ベクトル $\vec a=\overrightarrow{OA}$ などを使って
$$ S(ABCD)=\frac12\bigl\{\det(\vec a,\vec b)+\det(\vec b,\vec c)+\det(\vec c,\vec d)+\det(\vec d,\vec a)\bigr\} $$
とも書ける。

$\det(\vec u,\vec v)$ は「$\vec u$ と $\vec v$ のつくる平行四辺形の面積に、向きの符号を付けたもの」である。$\vec u$ から $\vec v$ へ反時計回りに $180^\circ$ 未満で回れるとき正、時計回りのとき負になる。この記事で使う性質は次の 3 つで、どれも定義の式を展開すれば確かめられる。

入れかえると符号が変わる：$\det(\vec v,\vec u)=-\det(\vec u,\vec v)$。とくに $\det(\vec u,\vec u)=0$ である。
それぞれの成分について 1 次式である：$\det(\vec u+\vec w,\vec v)=\det(\vec u,\vec v)+\det(\vec w,\vec v)$、$\det(k\vec u,\vec v)=k\det(\vec u,\vec v)$。右側の成分についても同じである。
$\det(\vec u,\vec v)=0$ となるのは、$\vec u$ と $\vec v$ が平行であるか、どちらかが $\vec 0$ のときに限る。
単純な四角形では、靴ひも公式により、$S(ABCD)$ の絶対値が面積で、頂点が反時計回りに並ぶとき正、時計回りに並ぶとき負になる。交差した四角形では、符号つき面積は 2 つの三角形の部分の面積の差になる（ex-vrg-signed の (3)）。

符号つき面積の例

ex-vrg-start の四角形は頂点が反時計回りに並んでいて、ex-vrg-start-area の計算から $S(ABCD)=58$ である。
同じ 4 点を逆の順に並べた四角形 $ADCB$ では、各項の 2 つの点が入れかわるので符号が変わり、$S(ADCB)=-58$ である。
$A(0,0)$、$B(8,0)$、$C(0,6)$、$D(8,6)$ の四角形 $ABCD$ では、辺 $BC$ と辺 $DA$ が点 $(4,3)$ で交わる。蝶ネクタイの形の、交差した四角形である。符号つき面積は
$$ \frac12\bigl\{(0\cdot0-8\cdot0)+(8\cdot6-0\cdot0)+(0\cdot6-8\cdot6)+(8\cdot0-0\cdot6)\bigr\}=\frac12(0+48-48+0)=0 $$
である。交点で分けた 2 つの三角形は、どちらも面積 $12$ であるが、一方は反時計回り、もう一方は時計回りにたどられるので、打ち消し合う。

交差した四角形の符号つき面積が 2 つの三角形の差になる理由を開く

辺 $BC$ と辺 $DA$ が点 $X$ で交わるとする。$X$ が線分 $BC$ の上にあるので $\vec x=(1-t)\vec b+t\vec c$（$0< t<1$）と書け、$\det(\vec b,\vec x)=t\det(\vec b,\vec c)$、$\det(\vec x,\vec c)=(1-t)\det(\vec b,\vec c)$ だから $\det(\vec b,\vec c)=\det(\vec b,\vec x)+\det(\vec x,\vec c)$ である。辺 $DA$ でも同じく $\det(\vec d,\vec a)=\det(\vec d,\vec x)+\det(\vec x,\vec a)$ である。これを定義の式に代入して並べかえると

$$S(ABCD)=\frac12\bigl\{\det(\vec a,\vec b)+\det(\vec b,\vec x)+\det(\vec x,\vec a)\bigr\}+\frac12\bigl\{\det(\vec x,\vec c)+\det(\vec c,\vec d)+\det(\vec d,\vec x)\bigr\}=S(ABX)+S(XCD)$$

となる。辺 $AB$ と辺 $CD$ が点 $X$ で交わる場合も、同じ計算で $S(ABCD)=S(XBC)+S(XDA)$ となる。交差した四角形では、2 つの三角形の一方は反時計回り、もう一方は時計回りにたどられるので、$S(ABCD)$ は 2 つの三角形の面積の差になる。

Varignon の平行四辺形

四角形 $ABCD$ の辺 $AB$、$BC$、$CD$、$DA$ の中点を $E$、$F$、$G$、$H$ とする。これらを順に結んだ四角形 $EFGH$ を、四角形 $ABCD$ の Varignon の平行四辺形 という。

名前のとおり、たいていは平行四辺形になる。中点連結定理の例では三角形 $ABC$ と三角形 $ADC$ に中点連結定理を使って示した。ここでは、後で空間の四角形にもそのまま使えるように、位置ベクトルで示す（位置ベクトルと内分点）。

中点を結ぶと平行四辺形

四角形 $ABCD$ の Varignon の平行四辺形 $EFGH$ について
$$ \overrightarrow{EF}=\overrightarrow{HG}=\frac12\overrightarrow{AC},\qquad \overrightarrow{FG}=\overrightarrow{EH}=\frac12\overrightarrow{BD} $$
が成り立つ。とくに、対角線 $AC$ と $BD$ が平行でなければ、$EFGH$ は平行四辺形である。

点 $A$、$B$、$C$、$D$ の位置ベクトルを $\vec a$、$\vec b$、$\vec c$、$\vec d$ とする。中点の位置ベクトルは両端の平均なので
$$ \vec e=\frac{\vec a+\vec b}2,\qquad \vec f=\frac{\vec b+\vec c}2,\qquad \vec g=\frac{\vec c+\vec d}2,\qquad \vec h=\frac{\vec d+\vec a}2 $$
である。引き算すると $\overrightarrow{EF}=\vec f-\vec e=\dfrac{\vec c-\vec a}2=\dfrac12\overrightarrow{AC}$ で、残りの 3 本も同じように引き算するだけで求まる。

残りの計算と平行四辺形になる理由を開く

$\overrightarrow{EF}=\vec f-\vec e=\dfrac{\vec b+\vec c-\vec a-\vec b}2=\dfrac12\overrightarrow{AC}$、$\overrightarrow{HG}=\vec g-\vec h=\dfrac{\vec c+\vec d-\vec d-\vec a}2=\dfrac12\overrightarrow{AC}$ である。同じく $\overrightarrow{FG}=\dfrac{\vec d-\vec b}2=\dfrac12\overrightarrow{BD}$、$\overrightarrow{EH}=\dfrac{\vec d-\vec b}2=\dfrac12\overrightarrow{BD}$ である。

$AC$ と $BD$ が平行でなければ、$\overrightarrow{EF}$ と $\overrightarrow{FG}$ は平行でないので、4 点 $E$、$F$、$G$、$H$ は一直線上に並ばない。向かい合う辺 $EF$、$HG$ が平行で長さが等しい四角形なので、$EFGH$ は平行四辺形である。$\square$

対角線が平行になるのは、交差した四角形の一部だけである（単純な四角形では起こらないことを lem-vrg-diag の後で示す）。ex-vrg-signed の (3) の蝶ネクタイの形の四角形では $\overrightarrow{AC}=(0,6)$、$\overrightarrow{BD}=(0,6)$ が平行で、中点 $E(4,0)$、$F(4,3)$、$G(4,6)$、$H(4,3)$ はすべて直線 $x=4$ の上に並ぶ。平行四辺形はつぶれて線分になる。

主定理：面積は半分、周の長さは対角線の和

面積を調べるために、四角形の符号つき面積を 2 本の対角線で書く。

符号つき面積を対角線で書く

四角形 $ABCD$ の符号つき面積は
$$ S(ABCD)=\frac12\det\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BD}\right) $$
である。

$\overrightarrow{AC}=\vec c-\vec a$、$\overrightarrow{BD}=\vec d-\vec b$ である。$\det$ はそれぞれの成分について 1 次式なので、分配法則のように展開できる。
$$ \det(\vec c-\vec a,\ \vec d-\vec b)=\det(\vec c,\vec d)-\det(\vec c,\vec b)-\det(\vec a,\vec d)+\det(\vec a,\vec b) $$
入れかえると符号が変わるので、$-\det(\vec c,\vec b)=\det(\vec b,\vec c)$、$-\det(\vec a,\vec d)=\det(\vec d,\vec a)$ である。よって
$$ \det(\vec c-\vec a,\ \vec d-\vec b)=\det(\vec a,\vec b)+\det(\vec b,\vec c)+\det(\vec c,\vec d)+\det(\vec d,\vec a)=2S(ABCD) $$
となり、両辺を $2$ で割ると結論を得る。$\square$

ex-vrg-start の四角形では $\overrightarrow{AC}=(10,6)$、$\overrightarrow{BD}=(-6,8)$ で、$\dfrac12\det(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BD})=\dfrac12\{10\cdot8-6\cdot(-6)\}=\dfrac12(80+36)=58$ となり、ex-vrg-start-area の値と一致する。対角線のなす角を $\theta$ とすると $\lvert\det(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BD})\rvert=AC\cdot BD\sin\theta$ なので、lem-vrg-diag は、単純な四角形の面積の公式「$\dfrac12\times$ 対角線 $\times$ 対角線 $\times\sin\theta$」を含んでいる。
単純な四角形では面積が正なので、lem-vrg-diag より $\det(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BD})\ne0$ であり、対角線 $AC$ と $BD$ は平行でない。したがって、単純な四角形の Varignon の平行四辺形は、つぶれない本当の平行四辺形である（prop-vrg-para）。

Varignon の定理

平面の四角形 $ABCD$ の Varignon の平行四辺形を $EFGH$ とする。
(1) 符号つき面積について $S(EFGH)=\dfrac12S(ABCD)$ が成り立つ。とくに $ABCD$ が単純な四角形（凸でも凹でもよい）なら、平行四辺形 $EFGH$ の面積は四角形 $ABCD$ の面積のちょうど半分である。
(2) $EFGH$ の周の長さは、2 本の対角線の長さの和 $AC+BD$ に等しい。

方針：(1) は lem-vrg-diag を四角形 $EFGH$ に使い、その対角線を $ABCD$ の対角線で書く。(2) は prop-vrg-para から出る。
段 1（$EFGH$ の対角線）。$\vec u=\overrightarrow{AC}=\vec c-\vec a$、$\vec v=\overrightarrow{BD}=\vec d-\vec b$ とおく。prop-vrg-para の証明の中点の式から
$$ \overrightarrow{EG}=\vec g-\vec e=\frac{\vec c+\vec d-\vec a-\vec b}2=\frac{\vec u+\vec v}2,\qquad \overrightarrow{FH}=\vec h-\vec f=\frac{\vec d+\vec a-\vec b-\vec c}2=\frac{\vec v-\vec u}2 $$
である。
段 2（(1) の計算）。lem-vrg-diag を四角形 $EFGH$ に使うと
$$ S(EFGH)=\frac12\det\left(\overrightarrow{EG},\overrightarrow{FH}\right)=\frac12\cdot\frac14\det(\vec u+\vec v,\ \vec v-\vec u) $$
である（$\det$ は各成分について 1 次式なので、$\dfrac12$ を 2 つ外に出すと $\dfrac14$ になる）。右の $\det$ を展開すると
$$ \det(\vec u+\vec v,\ \vec v-\vec u)=\det(\vec u,\vec v)-\underbrace{\det(\vec u,\vec u)}_{0}+\underbrace{\det(\vec v,\vec v)}_{0}-\underbrace{\det(\vec v,\vec u)}_{-\det(\vec u,\vec v)}=2\det(\vec u,\vec v) $$
である。よって、もう一度 lem-vrg-diag を使って
$$ S(EFGH)=\frac18\cdot2\det(\vec u,\vec v)=\frac12\cdot\frac12\det\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BD}\right)=\frac12S(ABCD) $$
となる。
段 3（単純な四角形の場合）。$ABCD$ が単純な四角形なら、lem-vrg-diag の後で見たとおり $EFGH$ は本当の平行四辺形で、平行四辺形は凸四角形だから、その面積は $\lvert S(EFGH)\rvert$ である。$ABCD$ の面積は $\lvert S(ABCD)\rvert$ である。段 2 の等式の絶対値をとれば、面積はちょうど半分である。
段 4（(2) 周の長さ）。prop-vrg-para より、辺の長さは $EF=HG=\dfrac12AC$、$FG=EH=\dfrac12BD$ である。足すと
$$ EF+FG+GH+HE=\frac12AC+\frac12BD+\frac12AC+\frac12BD=AC+BD $$
である。$\square$

凸四角形では、面積が半分になることを、角に切り落とされる 4 つの三角形で見ることもできる。

角の 4 つの三角形を切り落とす

ex-vrg-start の凸四角形で、平行四辺形 $EFGH$ の外側に残る 4 つの三角形 $AEH$、$BFE$、$CGF$、$DHG$ の面積を求める。

答えと 4 つの三角形の面積の計算を開く

4 つの三角形の面積は、それぞれ対角線で切った三角形の $\dfrac14$ で、$8$、$6$、$\dfrac{13}2$、$\dfrac{17}2$ である。和は $8+6+\dfrac{13}2+\dfrac{17}2=29$ で、四角形 $ABCD$ の面積 $58$ から引くと $58-29=29$ となり、ex-vrg-start-area の平行四辺形の面積と一致する。

(1) $E$、$H$ は辺 $AB$、$AD$ の中点なので、三角形 $AEH$ は三角形 $ABD$ を $A$ を中心に $\dfrac12$ 倍に縮めた図形で、面積は $\left(\dfrac12\right)^2=\dfrac14$ 倍である。三角形 $ABD$ の面積は $\dfrac12\lvert8\cdot8-0\cdot2\rvert=32$ なので、三角形 $AEH$ の面積は $8$ である。

(2) 同じように、三角形 $BFE$ は三角形 $BCA$（面積 $24$）の $\dfrac14$ で $6$、三角形 $CGF$ は三角形 $CDB$（面積 $26$）の $\dfrac14$ で $\dfrac{13}2$、三角形 $DHG$ は三角形 $DAC$（面積 $34$）の $\dfrac14$ で $\dfrac{17}2$ である。

(3) 三角形 $ABD$ と三角形 $CDB$ は対角線 $BD$ で四角形を 2 つに分けたものなので、面積の和 $32+26=58$ は四角形の面積である。三角形 $BCA$ と三角形 $DAC$ も、対角線 $AC$ で分けたもので、和は $24+34=58$ である。

凸四角形では、平行四辺形 EFGH の外側に 4 つの三角形が残り、それぞれ対角線で切った三角形の 4 分の 1 の面積になる

凸四角形での、切り落としによる別証明を開く

$ABCD$ を凸四角形とし、面積を $[ABCD]$ のように書く。$E$、$H$ は辺 $AB$、$AD$ の中点なので、三角形 $AEH$ は三角形 $ABD$ を $A$ を中心に $\dfrac12$ 倍に縮めたもので $[AEH]=\dfrac14[ABD]$ である。同じく $[CGF]=\dfrac14[CDB]$ である。凸四角形は対角線 $BD$ で 2 つの三角形に分かれるので $[ABD]+[CDB]=[ABCD]$、よって $[AEH]+[CGF]=\dfrac14[ABCD]$ である。対角線 $AC$ で分けて同じように考えると $[BFE]+[DHG]=\dfrac14[ABCD]$ である。凸四角形では、平行四辺形 $EFGH$ と 4 つの三角形が重ならずに $ABCD$ を埋めるので

$$[EFGH]=[ABCD]-\frac14[ABCD]-\frac14[ABCD]=\frac12[ABCD]$$

である。凹四角形や交差した四角形では、角の三角形が平行四辺形と重なったり外にはみ出したりするので、この切り方はそのままでは使えない。符号つき面積を使った thm-vrg-main の証明は、その場合分けを必要としない。

凹四角形と交差した四角形でも、符号つき面積で確かめる。

凹四角形

$A(0,0)$、$B(8,0)$、$C(4,2)$、$D(2,8)$ の四角形は、頂点 $C$ の内角が $180^\circ$ より大きい凹四角形である（$C$ は三角形 $ABD$ の内部にある）。
四角形の面積は、lem-vrg-diag で $\overrightarrow{AC}=(4,2)$、$\overrightarrow{BD}=(-6,8)$ から
$$ S(ABCD)=\frac12\{4\cdot8-2\cdot(-6)\}=\frac12(32+12)=22 $$
である。中点は $E(4,0)$、$F(6,1)$、$G(3,5)$、$H(1,4)$ で、$\overrightarrow{EF}=(2,1)$、$\overrightarrow{EH}=(-3,4)$ から、平行四辺形の面積は $\lvert2\cdot4-1\cdot(-3)\rvert=11$ で、ちょうど半分である。

周の長さの検算を開く

周の長さは $2(\sqrt5+5)=2\sqrt5+10$、対角線の和は $AC+BD=\sqrt{20}+10=2\sqrt5+10$ で等しい。

交差した四角形

$A(0,0)$、$B(6,0)$、$C(0,8)$、$D(4,8)$ の四角形では、辺 $BC$ と辺 $DA$ が点 $X\left(\dfrac{12}5,\dfrac{24}5\right)$ で交わる。
(1) 交点で分けた 2 つの三角形の面積は、三角形 $ABX$ が $\dfrac12\cdot6\cdot\dfrac{24}5=\dfrac{72}5$、三角形 $XCD$ が $\dfrac12\cdot4\cdot\left(8-\dfrac{24}5\right)=\dfrac{32}5$ である。三角形 $ABX$ は反時計回り、三角形 $XCD$ は時計回りにたどられる。
(2) 符号つき面積は、$\overrightarrow{AC}=(0,8)$、$\overrightarrow{BD}=(-2,8)$ から
$$ S(ABCD)=\frac12\{0\cdot8-8\cdot(-2)\}=8=\frac{72}5-\frac{32}5 $$
で、2 つの三角形の面積の差である。
(3) 中点は $E(3,0)$、$F(3,4)$、$G(2,8)$、$H(2,4)$ で、$\overrightarrow{EF}=(0,4)$、$\overrightarrow{EH}=(-1,4)$ から、平行四辺形の面積は $\lvert0\cdot4-4\cdot(-1)\rvert=4$ である。これは $S(ABCD)=8$ の半分であるが、2 つの三角形の面積の和 $\dfrac{72}5+\dfrac{32}5=\dfrac{104}5$ の半分 $\dfrac{52}5$ ではない。

凹四角形でも、中点を結んだ平行四辺形の面積は四角形の面積の半分になる

交差した四角形では、平行四辺形の面積は 2 つの三角形の部分の面積の差の半分になる

交差した四角形の「面積」を、辺で囲まれた部分の面積の和と考えると、thm-vrg-main の (1) は成り立たない。成り立つのは符号つき面積についてである。これは「例と反例」の表の 1 行目になる。

平行四辺形の形は対角線で決まる

prop-vrg-para により、Varignon の平行四辺形の 2 辺は対角線 $AC$、$BD$ に平行で、長さはその半分である。そこで、平行四辺形の形は対角線の向きと長さだけで決まる。

長方形・ひし形・正方形になる条件

対角線 $AC$、$BD$ が平行でない四角形 $ABCD$ の Varignon の平行四辺形 $EFGH$ について、次が成り立つ。
(R1) $EFGH$ が長方形 $\iff$ $AC\perp BD$
(R2) $EFGH$ がひし形 $\iff$ $AC=BD$
(R3) $EFGH$ が正方形 $\iff$ $AC\perp BD$ かつ $AC=BD$

方針：平行四辺形は、隣り合う 2 辺が直交すれば長方形、隣り合う 2 辺の長さが等しければひし形である。prop-vrg-para より、隣り合う 2 辺について
$$ \overrightarrow{EF}\cdot\overrightarrow{FG}=\frac12\overrightarrow{AC}\cdot\frac12\overrightarrow{BD}=\frac14\,\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD},\qquad EF=\frac12AC,\quad FG=\frac12BD $$
なので、直交と長さの等しさは、そのまま対角線の条件に言いかえられる。
(R1) 平行四辺形は、1 つの角が直角なら長方形である（向かい合う角は等しく、隣り合う角の和は $180^\circ$ なので、4 つの角がすべて直角になる）。逆に長方形なら角 $F$ は直角である。よって、$EFGH$ が長方形であることは、$\overrightarrow{FE}\perp\overrightarrow{FG}$、つまり内積 $\overrightarrow{EF}\cdot\overrightarrow{FG}=0$ と同値である（ベクトルの内積（高校数学））。上の式より、これは $\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}=0$、つまり $AC\perp BD$ と同値である。
(R2) 平行四辺形は、隣り合う 2 辺の長さが等しければひし形である（向かい合う辺の長さは等しいので、4 辺がすべて等しくなる）。逆にひし形なら $EF=FG$ である。$EF=\dfrac12AC$、$FG=\dfrac12BD$ なので、$EF=FG$ は $AC=BD$ と同値である。
(R3) 正方形は、長方形でありひし形でもある平行四辺形である。(i) と (ii) を合わせればよい。$\square$

元の四角形の対角線	Varignon の平行四辺形	元の四角形の例
直交する	長方形	凧形（ex-vrg-kite）、ひし形
長さが等しい	ひし形	等脚台形（ex-vrg-isotrap）、長方形
直交し、長さも等しい	正方形	正方形
どちらでもない	一般の平行四辺形	ex-vrg-start の四角形

凧形から長方形

$A(-2,0)$、$B(0,-2)$、$C(6,0)$、$D(0,2)$ の四角形は、直線 $AC$（$x$ 軸）が線分 $BD$ の垂直二等分線になっている凧形である。
(1) 対角線は $\overrightarrow{AC}=(8,0)$、$\overrightarrow{BD}=(0,4)$ で、内積は $8\cdot0+0\cdot4=0$、直交している。
(2) 中点は $E(-1,-1)$、$F(3,-1)$、$G(3,1)$、$H(-1,1)$ で、$\overrightarrow{EF}=(4,0)$、$\overrightarrow{FG}=(0,2)$ である。内積 $4\cdot0+0\cdot2=0$ なので、$EFGH$ は横 $4$、縦 $2$ の長方形である。
(3) 面積は、四角形が $\dfrac12\cdot8\cdot4=16$、長方形が $4\cdot2=8$ で、半分である（thm-vrg-main）。

等脚台形からひし形

$A(0,0)$、$B(8,0)$、$C(6,4)$、$D(2,4)$ の四角形は、$AB\parallel DC$ で、直線 $x=4$ について左右対称な等脚台形である。
対角線 $\overrightarrow{AC}=(6,4)$、$\overrightarrow{BD}=(-6,4)$ の長さはどちらも $2\sqrt{13}$ で、$EFGH$ は 1 辺 $\sqrt{13}$ のひし形になる。対角線の内積は $-36+16=-20\ne0$ なので、このひし形は正方形ではない。

中点と辺の計算を開く

中点は $E(4,0)$、$F(7,2)$、$G(4,4)$、$H(1,2)$ で、$\overrightarrow{EF}=(3,2)$、$\overrightarrow{FG}=(-3,2)$ の長さはどちらも $\sqrt{13}$ である。内積は $\overrightarrow{EF}\cdot\overrightarrow{FG}=-9+4=-5\ne0$ で、角 $F$ は直角でない。対角線の長さは $\sqrt{36+16}=2\sqrt{13}$ である。

対角線が直交する凧形では、中点を結ぶと長方形になる

対角線の長さが等しい等脚台形では、中点を結ぶとひし形になる

prop-vrg-shape の右側の条件は、対角線の性質だけである。Varignon の平行四辺形が長方形だからといって、元の四角形が凧形やひし形とは限らない（ex-vrg-cx-perp）。

空間の四角形

prop-vrg-para の証明は、位置ベクトルの足し算と引き算しか使っていない。そこで、4 つの頂点が同じ平面の上にない空間の四角形でも、同じ計算で $\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{HG}=\dfrac12\overrightarrow{AC}$、$\overrightarrow{FG}=\overrightarrow{EH}=\dfrac12\overrightarrow{BD}$ が成り立ち、4 つの中点は平行四辺形をつくる。4 つの中点が同じ平面の上にあることの証明と、その面積、四面体との関係は空間の四角形の中点と四面体で扱う。

平行四辺形の中心：4 頂点の平均

平行四辺形の 2 本の対角線は、互いの中点で交わる。その交点を平行四辺形の中心という。Varignon の平行四辺形の中心は、元の四角形の言葉で書ける。

Varignon の平行四辺形の中心

平面または空間の四角形 $ABCD$ の対角線 $AC$、$BD$ の中点を $M$、$N$ とする。対角線 $AC$、$BD$ が平行でないとき、Varignon の平行四辺形 $EFGH$ の中心は
$$ \frac{\vec a+\vec b+\vec c+\vec d}4 $$
を位置ベクトルとする点であり、これは線分 $MN$ の中点でもある。とくに、線分 $EG$、$FH$、$MN$ は同じ 1 点でそれぞれ 2 等分される。

平行四辺形 $EFGH$ の中心は対角線 $EG$ の中点で、その位置ベクトルは
$$ \frac{\vec e+\vec g}2=\frac12\left(\frac{\vec a+\vec b}2+\frac{\vec c+\vec d}2\right)=\frac{\vec a+\vec b+\vec c+\vec d}4 $$
である。対角線 $FH$ の中点も $\dfrac12\left(\dfrac{\vec b+\vec c}2+\dfrac{\vec d+\vec a}2\right)$ で同じ点である。線分 $MN$ の中点も
$$ \frac12\left(\frac{\vec a+\vec c}2+\frac{\vec b+\vec d}2\right)=\frac{\vec a+\vec b+\vec c+\vec d}4 $$
で、同じ点である。$\square$

中心を座標で確かめる

ex-vrg-start の四角形では、4 頂点の平均は $\left(\dfrac{0+8+10+2}4,\dfrac{0+0+6+8}4\right)=\left(5,\dfrac72\right)$ である。対角線の中点は $M(5,3)$、$N(5,4)$ で、その中点も $\left(5,\dfrac72\right)$ である。

平行四辺形の対角線の中点での検算を開く

$E(4,0)$ と $G(6,7)$ の中点は $\left(5,\dfrac72\right)$、$F(9,3)$ と $H(1,4)$ の中点も $\left(5,\dfrac72\right)$ である。

4 頂点の平均の点は、4 つの頂点に同じ重さのおもりを置いたときの重心である（三角形の重心（高校数学）で、3 頂点の平均が三角形の重心だったのと同じ考え方）。対角線の中点 $M$、$N$ の間の距離は、次の記事 Eulerの四辺形定理の主役になる。また、$M$、$N$ とこの中心が一直線上に並ぶこと（cor-vrg-center）は、Newton–Gauss線の出発点になる。

大学数学で見る：アフィン変換で保たれる部分と保たれない部分

平面の点 $\vec x$ を $P\vec x+\vec q$（$P$ は行列式が $0$ でない $2\times2$ 行列、$\vec q$ はベクトル）に移す変換を アフィン変換 という。1 次変換に平行移動を加えたものである。アフィン変換は、中点を中点に、平行な直線を平行な直線に移し、符号つき面積をすべて同じ数 $\det P$ 倍にする（1次変換と行列式：面積の拡大率）。Varignon の定理は、アフィン変換で保たれる部分（平行四辺形になること、符号つき面積が半分）と、内積で測る Euclid 幾何の部分（周の長さ、長方形・ひし形の条件）が合わさった定理である。

アフィン変換で 3 頂点を固定して確かめる計算を開く

prop-vrg-para の「平行四辺形になる」と thm-vrg-main の (1)「符号つき面積が半分」は、アフィン変換で移り合う四角形のどれか 1 つで確かめれば、残りのすべてで成り立つ。これに対して、(2) の周の長さや prop-vrg-shape の直交・長さの条件は、アフィン変換で保たれない。

四角形 $ABCD$ の 3 頂点 $A$、$B$、$D$ は一直線上にないので、アフィン変換で $A(0,0)$、$B(1,0)$、$D(0,1)$ に移せる（1次変換と行列式：面積の拡大率で、$\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AD}$ を並べた行列の逆行列を使う）。そのとき $C$ はある点 $(s,t)$ に移る。この四角形では $\overrightarrow{AC}=(s,t)$、$\overrightarrow{BD}=(-1,1)$ なので $S(ABCD)=\dfrac12(s+t)$ である。中点は $E\left(\dfrac12,0\right)$、$F\left(\dfrac{1+s}2,\dfrac t2\right)$、$G\left(\dfrac s2,\dfrac{t+1}2\right)$、$H\left(0,\dfrac12\right)$ で、$\overrightarrow{EF}=\left(\dfrac s2,\dfrac t2\right)$、$\overrightarrow{EH}=\left(-\dfrac12,\dfrac12\right)$ から $S(EFGH)=\det\left(\overrightarrow{EF},\overrightarrow{EH}\right)=\dfrac s4+\dfrac t4=\dfrac12S(ABCD)$ となる（平行四辺形の符号つき面積は隣り合う 2 辺の $\det$ である）。2 つの数 $s$、$t$ だけで、すべての四角形の場合を尽くしている。

一方、ex-vrg-kite の凧形をアフィン変換 $(x,y)\mapsto(x+y,\ y)$ で移すと、$A(-2,0)$、$B(-2,-2)$、$C(6,0)$、$D(2,2)$ になり、対角線 $\overrightarrow{AC}=(8,0)$、$\overrightarrow{BD}=(4,4)$ の内積は $32\ne0$ である。Varignon の平行四辺形は長方形でなくなる。面積の比 $\dfrac12$ は変わらないが、直角は保たれない。

例と反例

thm-vrg-main と prop-vrg-para・prop-vrg-shape の仮定や読み方を変えると、何が崩れるかを並べる。

外す条件	反例	成り立たなくなること
面積を符号つきで測る（交差した四角形）	ex-vrg-crossed の四角形	平行四辺形の面積が、辺で囲まれた部分の面積の和の半分
対角線 $AC$、$BD$ が平行でない	ex-vrg-signed の (3) の蝶ネクタイ形	中点を結ぶと平行四辺形になる
頂点が 4 つ	五角形（ex-vrg-cx-pentagon）	中点を結んだ図形の面積が、元の決まった割合
逆向き（$EFGH$ が長方形なら元は凧形か）	対角線が直交するだけの四角形（ex-vrg-cx-perp）	元の四角形が凧形であること

1 行目は ex-vrg-crossed の (3) で、平行四辺形の面積 $4$ が、2 つの三角形の面積の和 $\dfrac{104}5$ の半分でないことを確かめた。2 行目は prop-vrg-para の後で、中点がすべて直線 $x=4$ の上に並ぶことを確かめた。残りの 2 行を確かめる。

反例：五角形の中点

五角形 $(0,0)$、$(4,0)$、$(4,4)$、$(2,6)$、$(0,4)$（家の形）の面積は、靴ひも公式で
$$ \frac12\{0+16+(24-8)+(8-0)+0\}=\frac12(16+16+8)=20 $$
である。5 つの辺の中点 $(2,0)$、$(4,2)$、$(3,5)$、$(1,5)$、$(0,2)$ を結んだ五角形の面積は
$$ \frac12\{(4-0)+(20-6)+(15-5)+(2-0)+(0-4)\}=\frac12(4+14+10+2-4)=13 $$
で、元の $\dfrac{13}{20}$ である。
五角形 $(0,0)$、$(8,0)$、$(8,2)$、$(4,4)$、$(0,2)$ では、面積は $24$、中点 $(4,0)$、$(8,1)$、$(6,3)$、$(2,3)$、$(0,1)$ を結んだ五角形の面積は $16$ で、元の $\dfrac23$ である。
$\dfrac{13}{20}\ne\dfrac23$ なので、五角形では「中点を結ぶと面積が決まった割合になる」ことは成り立たない。四角形で割合がいつも $\dfrac12$ になるのは、lem-vrg-diag のように面積が 2 本の対角線だけで書けるからである。

(2) の面積の計算を開く

元の五角形は $\dfrac12\{(0\cdot0-8\cdot0)+(8\cdot2-8\cdot0)+(8\cdot4-4\cdot2)+(4\cdot2-0\cdot4)+(0\cdot0-0\cdot2)\}=\dfrac12(0+16+24+8+0)=24$ である。中点の五角形は $\dfrac12\{(4\cdot1-8\cdot0)+(8\cdot3-6\cdot1)+(6\cdot3-2\cdot3)+(2\cdot1-0\cdot3)+(0\cdot0-4\cdot1)\}=\dfrac12(4+18+12+2-4)=16$ である。

反例：対角線が直交しても凧形とは限らない

$A(-1,0)$、$B(0,-1)$、$C(3,0)$、$D(0,2)$ の凸四角形を考える。
(1) 対角線は $\overrightarrow{AC}=(4,0)$、$\overrightarrow{BD}=(0,3)$ で直交する。中点は $E\left(-\dfrac12,-\dfrac12\right)$、$F\left(\dfrac32,-\dfrac12\right)$、$G\left(\dfrac32,1\right)$、$H\left(-\dfrac12,1\right)$ で、$EFGH$ は横 $2$、縦 $\dfrac32$ の長方形である（prop-vrg-shape）。
(2) しかし $ABCD$ は凧形でない。対角線 $AC$ は直線 $y=0$ で、線分 $BD$ の垂直二等分線 $y=\dfrac12$ と一致しない。対角線 $BD$ は直線 $x=0$ で、線分 $AC$ の垂直二等分線 $x=1$ と一致しない。

辺の長さと平行な辺がないことの確認を開く

辺の長さは $AB=\sqrt2$、$BC=\sqrt{10}$、$CD=\sqrt{13}$、$DA=\sqrt5$ とすべて違うので、ひし形でもない。$\overrightarrow{AB}=(1,-1)$ と $\overrightarrow{DC}=(3,-2)$ は $\det=1\cdot(-2)-(-1)\cdot3=1\ne0$、$\overrightarrow{BC}=(3,1)$ と $\overrightarrow{AD}=(1,2)$ は $\det=3\cdot2-1\cdot1=5\ne0$ なので、平行な辺もなく、台形でもない。

Varignon の平行四辺形が長方形であることから分かるのは、対角線が直交することだけである。

対角線が平行な蝶ネクタイ形の四角形では、4 つの中点が一直線に並び、平行四辺形がつぶれる

対角線は直交するが凧形でない四角形でも、中点を結ぶと長方形になる

対角線の長さが等しい四角形

$A(0,0)$、$B(1,-1)$、$C(5,0)$、$D(4,3)$ の四角形について、次を示せ。(1) Varignon の平行四辺形はひし形である。(2) $ABCD$ には平行な辺がなく、等脚台形ではない。(3) Varignon の平行四辺形の面積を 2 通りに求めよ。

解答を開く

(1) $\overrightarrow{AC}=(5,0)$、$\overrightarrow{BD}=(3,4)$ で、長さはどちらも $5$ である。prop-vrg-shape の (ii) により、Varignon の平行四辺形はひし形である。実際、中点は $E\left(\dfrac12,-\dfrac12\right)$、$F\left(3,-\dfrac12\right)$、$G\left(\dfrac92,\dfrac32\right)$、$H\left(2,\dfrac32\right)$ で、$\overrightarrow{EF}=\left(\dfrac52,0\right)$、$\overrightarrow{FG}=\left(\dfrac32,2\right)$ の長さはどちらも $\dfrac52$ である。

(2) $\overrightarrow{AB}=(1,-1)$ と $\overrightarrow{DC}=(1,-3)$ は $\det=1\cdot(-3)-(-1)\cdot1=-2\ne0$、$\overrightarrow{BC}=(4,1)$ と $\overrightarrow{AD}=(4,3)$ は $\det=4\cdot3-1\cdot4=8\ne0$ なので、平行な辺はない。台形でないので、等脚台形でもない。

(3) ひし形の面積は $\left\lvert\det\left(\overrightarrow{EF},\overrightarrow{FG}\right)\right\rvert=\left\lvert\dfrac52\cdot2-0\cdot\dfrac32\right\rvert=5$ である。一方、lem-vrg-diag より $S(ABCD)=\dfrac12\det\left((5,0),(3,4)\right)=\dfrac12\cdot20=10$ で、thm-vrg-main によりその半分の $5$ である。2 つは一致する。

さらに先へ

Varignon の平行四辺形の中心（cor-vrg-center）と対角線の中点 $M$、$N$ の間の距離 $MN$ を使うと、4 辺と 2 本の対角線の長さの 2 乗の関係が書ける。これが Eulerの四辺形定理である。
4 本の直線がつくる図形（完全四辺形）では、3 本の対角線の中点が一直線上に並ぶ。その直線は Varignon の平行四辺形の中心も通る（Newton–Gauss線）。
空間の 4 点は四面体の頂点である。四面体の向かい合う辺の中点を結ぶ 3 本の線分が 4 頂点の平均の点で交わることは空間の四角形の中点と四面体で扱う。
平面の四角形の符号つき面積が行列式で書けることは、一般の多角形の靴ひも公式や、行列式の性質（行列式）につながる。