等間隔の角の正弦の積

左辺は、2 倍角の公式 $\cos2\theta=1-2\sin^2\theta$、$\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta$ を使って
$$ 1-E(2\theta)=1-\cos2\theta-i\sin2\theta=2\sin^2\theta-2i\sin\theta\cos\theta $$
である。右辺は
$$ -2i\sin\theta\,(\cos\theta+i\sin\theta)=-2i\sin\theta\cos\theta-2i^2\sin^2\theta=2\sin^2\theta-2i\sin\theta\cos\theta $$
で、左辺と一致する。絶対値は、$\lvert-2i\rvert=2$、$\lvert E(\theta)\rvert=1$ なので $2\lvert\sin\theta\rvert$ である。$\square$

$f(z)=z^n-1$ は最高次の係数が $1$ の $n$ 次式で、互いに異なる $n$ 個の値 $1,\omega,\ldots,\omega^{n-1}$ で $0$ になる。
段 1。因数定理（剰余の定理と因数定理 の系「因数定理」。係数が複素数でも同じ証明が通る）により、$f(1)=0$ から $f(z)=(z-1)f_1(z)$ と書ける。$f_1$ は $n-1$ 次式で、最高次の係数は $1$ である。
段 2。$k\ge1$ について $f(\omega^k)=(\omega^k-1)f_1(\omega^k)=0$ で、$\omega^k\ne1$ なので $f_1(\omega^k)=0$ である。よって $f_1(z)=(z-\omega)f_2(z)$ と書ける。同じことを繰り返すと、$n$ 回で
$$ f(z)=(z-1)(z-\omega)\cdots(z-\omega^{n-1})\cdot c $$
となり、$c$ は $0$ 次式、つまり定数である。両辺の $z^n$ の係数を比べて $c=1$ である。$\square$

左辺を $P(w)$、右辺を $Q(w)=1-w^n$ とおく。$P$ は $n$ 個の 1 次式の積なので、$w$ の $n$ 次以下の多項式である。$Q$ も $n$ 次以下である。
段 1（$n$ 個の値で一致）。$j=0,1,\ldots,n-1$ について $w=\omega^{n-j}$（$j=0$ のときは $w=1$）を代入する。$P$ の因子 $1-w\omega^j$ は $1-\omega^{n}=1-1=0$ になるので $P(\omega^{n-j})=0$ である。一方 $Q(\omega^{n-j})=1-(\omega^n)^{n-j}=1-1=0$ である。$\omega^{n-j}$（$j=0,\ldots,n-1$）は $n$ 個の互いに異なる値 $1,\omega,\ldots,\omega^{n-1}$ をちょうど 1 回ずつとるので、$P$ と $Q$ はこの $n$ 個の値で一致する。
段 2（もう 1 つの値で一致）。$w=0$ では $P(0)=1=Q(0)$ である。$0$ は $1$ の $n$ 乗根ではないので、段 1 の $n$ 個とは別の値である。
段 3（結論）。$P-Q$ は $n$ 次以下の多項式で、$n+1$ 個の異なる値で $0$ になる。剰余の定理と因数定理 の定理「根の個数は次数以下」により、これは $0$ でない多項式ではありえないので、$P-Q=0$、つまり $P(w)=Q(w)$ である。$\square$

方針：各因子を lem-pse-sine で $E$ の式に直し、積を lem-pse-one-minus でまとめる。最後にもう一度 lem-pse-sine を使って $\sin nx$ に戻す。
段 1（各因子を書き直す）。$\theta_k=x+\dfrac{k\pi}n$（$k=0,1,\ldots,n-1$）とおく。lem-pse-sine の両辺を $-2iE(\theta_k)$ で割ると（$E(\theta_k)\ne0$）、$\dfrac1{-2i}=\dfrac i2$、$\dfrac1{E(\theta_k)}=E(-\theta_k)$ なので
$$ \sin\theta_k=\frac i2\bigl(1-E(2\theta_k)\bigr)E(-\theta_k) $$
である。
段 2（$E(2\theta_k)$ を $w\omega^k$ で書く）。$w=E(2x)$ とおくと、$2\theta_k=2x+\dfrac{2k\pi}n$ なので $E(2\theta_k)=E(2x)E\bigl(\frac{2k\pi}n\bigr)=w\omega^k$ である。
段 3（積をとる）。段 1 の式を $k=0,1,\ldots,n-1$ について掛けると
$$ \prod_{k=0}^{n-1}\sin\theta_k=\Bigl(\frac i2\Bigr)^n\prod_{k=0}^{n-1}\bigl(1-w\omega^k\bigr)\cdot E\bigl(-(\theta_0+\theta_1+\cdots+\theta_{n-1})\bigr) $$
である（$E$ の積は角の和の $E$ になる）。lem-pse-one-minus により真ん中の積は $1-w^n=1-E(2nx)$ である。角の和は
$$ \theta_0+\cdots+\theta_{n-1}=nx+\frac\pi n(0+1+\cdots+(n-1))=nx+\frac{(n-1)\pi}2 $$
なので、$E(-\text{角の和})=E(-nx)E\bigl(-\frac\pi2\bigr)^{n-1}=E(-nx)(-i)^{n-1}$ である。
段 4（定数をまとめる）。$\Bigl(\dfrac i2\Bigr)^n(-i)^{n-1}=\dfrac{i\cdot\bigl(i\cdot(-i)\bigr)^{n-1}}{2^n}=\dfrac{i\cdot1^{n-1}}{2^n}=\dfrac{i}{2^n}$ なので
$$ \prod_{k=0}^{n-1}\sin\theta_k=\frac{i}{2^n}\bigl(1-E(2nx)\bigr)E(-nx) $$
である。
段 5（$\sin nx$ に戻す）。lem-pse-sine を $\theta=nx$ で使うと $1-E(2nx)=-2i\sin nx\,E(nx)$ である。代入すると、$E(nx)E(-nx)=1$ なので
$$ \prod_{k=0}^{n-1}\sin\theta_k=\frac i{2^n}\cdot(-2i)\sin nx=\frac{2}{2^n}\sin nx=\frac{\sin nx}{2^{n-1}} $$
となる（$i\cdot(-2i)=2$）。両辺に $2^{n-1}$ を掛けて主張を得る。$\square$

段 1（割る）。$0< x<\dfrac\pi n$ とすると $\sin x>0$ である。thm-pse-main の両辺を $\sin x$ で割ると
$$ \frac{\sin nx}{\sin x}=2^{n-1}\sin\Bigl(x+\frac\pi n\Bigr)\sin\Bigl(x+\frac{2\pi}n\Bigr)\cdots\sin\Bigl(x+\frac{(n-1)\pi}n\Bigr) $$
である。
段 2（左辺の極限）。左辺は
$$ \frac{\sin nx}{\sin x}=n\cdot\frac{\sin nx}{nx}\cdot\frac{x}{\sin x} $$
と書ける。$x\to+0$ のとき $nx\to0$ なので、sin x/xの極限 の定理「$\frac{\sin x}{x}$ の極限の値」から $\dfrac{\sin nx}{nx}\to1$、$\dfrac x{\sin x}\to1$ であり、左辺は $n$ に近づく。
段 3（右辺の極限）。$\sin$ は連続なので、$x\to+0$ のとき各因子 $\sin\bigl(x+\frac{k\pi}n\bigr)$ は $\sin\frac{k\pi}n$ に近づく。右辺は有限個の因子の積なので、$2^{n-1}\sin\frac\pi n\cdots\sin\frac{(n-1)\pi}n$ に近づく。
段 4。段 1 の等式は $0< x<\frac\pi n$ のすべての $x$ で成り立つので、両辺の極限も等しい。よって $n=2^{n-1}\prod_{k=1}^{n-1}\sin\frac{k\pi}n$ で、両辺を $2^{n-1}$ で割って主張を得る。$\square$

段 1（正弦の積）。thm-pse-product を $n=N$ で使うと $\prod_{k=1}^{2m}\sin\frac{k\pi}N=\frac N{2^{2m}}$ である。$k$ と $N-k$ を組にすると $\sin\frac{(N-k)\pi}N=\sin\bigl(\pi-\frac{k\pi}N\bigr)=\sin\frac{k\pi}N$ なので、$k=m+1,\ldots,2m$ の因子は $k=1,\ldots,m$ の因子と同じ値になり、
$$ \Bigl(\prod_{k=1}^m\sin\frac{k\pi}N\Bigr)^2=\frac N{4^m} $$
である。各因子は正なので、正の平方根をとって $\prod_{k=1}^m\sin\frac{k\pi}N=\frac{\sqrt N}{2^m}$ である。
段 2（角を 2 倍にした正弦の積）。2 倍角の公式で
$$ \prod_{k=1}^m\sin\frac{2k\pi}N=\prod_{k=1}^m2\sin\frac{k\pi}N\cos\frac{k\pi}N=2^m\prod_{k=1}^m\sin\frac{k\pi}N\cdot\prod_{k=1}^m\cos\frac{k\pi}N $$
である。
段 3（並べかえ）。左辺の角 $\frac{2k\pi}N$（$k=1,\ldots,m$）について、$2k\le m$ ならそのまま、$2k>m$ なら $\sin\frac{2k\pi}N=\sin\frac{(N-2k)\pi}N$ と書き直す。こうしてできる番号 $j=2k$ または $j=N-2k$ は、$1$ から $m$ までの整数をちょうど 1 回ずつとる。実際、$m$ 以下の偶数 $j$ は $k=\frac j2$ から、$m$ 以下の奇数 $j$ は $k=\frac{N-j}2$ から（$N$ も $j$ も奇数なので $k$ は整数で、$\frac{m+1}2\le k\le m$ を満たす）ちょうど 1 つずつ出てくる。数は $m$ 個ずつで等しいので、
$$ \prod_{k=1}^m\sin\frac{2k\pi}N=\prod_{j=1}^m\sin\frac{j\pi}N $$
である。
段 4。段 2 と段 3 から $\prod_{j=1}^m\sin\frac{j\pi}N=2^m\prod_{k=1}^m\sin\frac{k\pi}N\cdot\prod_{k=1}^m\cos\frac{k\pi}N$ で、正弦の積は $0$ でないので割って $\prod_{k=1}^m\cos\frac{k\pi}N=\frac1{2^m}$ である。正接の積は正弦の積を余弦の積で割って $\frac{\sqrt N}{2^m}\cdot2^m=\sqrt N$ である。$\square$