コンパクト作用素

1：全有界集合 $A,B$ について、$A$ の $\varepsilon$-網と $B$ の $\varepsilon$-網の和の全体は $A+B$ の $2\varepsilon$-網なので、$A+B$ は全有界である。$(S+T)(B_E)\subset S(B_E)+T(B_E)$ と $(cT)(B_E)=c\,T(B_E)$ から従う。
2：$T_n\in K(E,F)$、$\|T_n-T\|\to0$ とする。$\varepsilon>0$ に対して $\|T_n-T\|<\varepsilon/2$ となる $n$ をとり、$T_n(B_E)$ の $\varepsilon/2$-網 $f_1,\dots,f_m$ をとる。$x\in B_E$ なら $\|T_nx-f_i\|<\varepsilon/2$ となる $i$ があり、$\|Tx-f_i\|<\varepsilon$ である。よって $T(B_E)$ は全有界で、$T$ はコンパクトである。
3：$T$ がコンパクトなら、$ST(B_E)\subset S\bigl(\overline{T(B_E)}\bigr)$ で、右辺はコンパクト集合の連続像なのでコンパクトである。$S$ がコンパクトなら、$T(B_E)\subset\|T\|B_F$ から $ST(B_E)\subset\|T\|\,S(B_F)$ で、右辺の閉包はコンパクトである。$\square$

1：$N:=\ker A$ の上では $x=\lambda^{-1}Tx$ なので、$B_N\subset\lambda^{-1}T(B_E)$ である。$B_N$ は閉集合だからコンパクトになり、Riesz の補題の 2 により $N$ は有限次元である。
2：$Ax_n=y_n\to y$ とする。$N$ は有限次元なので、$\|x_n-v_n\|=\operatorname{dist}(x_n,N)$ となる $v_n\in N$ がある。$z_n:=x_n-v_n$ とおくと $Az_n=y_n$ かつ $\operatorname{dist}(z_n,N)=\|z_n\|$ である。$(z_n)$ が有界でないとすると、部分列で $\|z_n\|\to\infty$ とし、$w_n:=z_n/\|z_n\|$ とおけば $Aw_n\to0$ である。部分列をとって $Tw_n$ が収束するようにすると、$\lambda w_n=Aw_n+Tw_n$ も収束し、極限 $w$ は $\|w\|=1$、$Aw=0$ を満たす。ところが $\operatorname{dist}(w_n,N)=1$ なので $\operatorname{dist}(w,N)=1$ となり、$w\in N$ に反する。よって $(z_n)$ は有界で、部分列で $Tz_n\to\ell$ とでき、$z_n=\lambda^{-1}(y_n+Tz_n)\to z:=\lambda^{-1}(y+\ell)$、$Az=y$ となる。
3（単射なら全射）：$A$ が単射で $R(A)\ne E$ とする。$A^k=\lambda^kI-T_k$ と展開すると、$T_k$ は $T$ を因子に含む項の和なので thm-cpt-ideal によりコンパクトであり、2 により $E_k:=A^k(E)$ は閉じている。$E_{k+1}=E_k$ なら $A^k(A(E))=A^k(E)$ と $A^k$ の単射性から $A(E)=E$ となるので、$E_0\supsetneq E_1\supsetneq E_2\supsetneq\cdots$ である。Riesz の補題で $u_k\in E_k$、$\|u_k\|=1$、$\operatorname{dist}(u_k,E_{k+1})\ge1/2$ をとる。$m>k$ なら
$$ Tu_k-Tu_m=\lambda u_k-\bigl(Au_k+\lambda u_m-Au_m\bigr) $$
で、括弧の中は $E_{k+1}$ に属するから $\|Tu_k-Tu_m\|\ge|\lambda|/2$ である。$(Tu_k)$ が収束する部分列をもたないので、$T$ のコンパクト性に反する。
3（全射なら単射）：$A$ が全射で $\ker A\ne0$ とする。$N_k:=\ker A^k$ は閉じた部分空間の増大列である。$0\ne x_1\in\ker A$ をとり、全射性で $Ax_{k+1}=x_k$ となる $x_k$ を順にとると、$A^{k-1}x_k=x_1\ne0$、$A^kx_k=0$ なので $N_{k-1}\subsetneq N_k$ である。Riesz の補題で $u_k\in N_k$、$\|u_k\|=1$、$\operatorname{dist}(u_k,N_{k-1})\ge1/2$ をとる。$T$ は $A$ と可換なので $T(N_m)\subset N_m$ であり、$k>m$ なら
$$ Tu_k-Tu_m=\lambda u_k-\bigl(Au_k+Tu_m\bigr),\qquad Au_k+Tu_m\in N_{k-1} $$
だから $\|Tu_k-Tu_m\|\ge|\lambda|/2$ となって、やはり矛盾する。
4：3 により $A$ は全単射であり、開写像定理 の記事の系「有界逆写像定理」により逆は有界である。$\square$

1 は thm-cpt-riesz-schauder の 1 と 4 である。
2：$|\lambda_n|\ge\delta$ を満たす相異なる固有値 $\lambda_1,\lambda_2,\dots$ が無限個あるとし、固有ベクトル $e_n$ をとる。相異なる固有値の固有ベクトルは一次独立なので（行列の場合と同じ帰納法）、$E_n:=\operatorname{span}(e_1,\dots,e_n)$ は真に増大する有限次元（したがって閉じた）部分空間の列である。$(T-\lambda_n I)E_n\subset E_{n-1}$ に注意する。Riesz の補題で $u_n\in E_n$、$\|u_n\|=1$、$\operatorname{dist}(u_n,E_{n-1})\ge1/2$ をとる。$m< n$ なら
$$ T\Bigl(\frac{u_n}{\lambda_n}\Bigr)-T\Bigl(\frac{u_m}{\lambda_m}\Bigr)=u_n-\Bigl(\frac{(\lambda_nI-T)u_n}{\lambda_n}+\frac{Tu_m}{\lambda_m}\Bigr) $$
で、括弧の中は $E_{n-1}$ に属するので、左辺のノルムは $1/2$ 以上である。$\|u_n/\lambda_n\|\le1/\delta$ は有界なので、$T$ のコンパクト性に反する。
3：$0\notin\sigma(T)$ なら $I=T\,T^{-1}$ は thm-cpt-ideal の 3 によりコンパクトで、ex-cpt-identity に反する。$\square$

$a:=\|T\|$ とし、$\|x_n\|=1$、$\|Tx_n\|\to a$ となる列をとる。$\langle T^2x_n,x_n\rangle=\|Tx_n\|^2$ と $\|T^2x_n\|\le a^2$ から
$$ \|T^2x_n-a^2x_n\|^2=\|T^2x_n\|^2-2a^2\|Tx_n\|^2+a^4\le2a^4-2a^2\|Tx_n\|^2\to0 . $$
$T^2$ はコンパクトなので、部分列で $T^2x_n\to y$ とでき、$a^2x_n\to y$ となる。$x:=y/a^2$ は $\|x\|=1$、$T^2x=a^2x$ を満たす。$z:=(T+aI)x$ とおくと $(T-aI)z=(T^2-a^2I)x=0$ である。$z\ne0$ なら $a$ が固有値で、$z=0$ なら $Tx=-ax$ で $-a$ が固有値である。$\square$

固有空間の有限次元性と、$|\lambda|\ge\delta$ の固有値が有限個であること（よって $(e_j)$ が高々可算で、無限個なら $\lambda_j\to0$）は thm-cpt-spectrum による。異なる固有値の固有空間の直交性は スペクトル定理 の記事の命題「異なる固有値の固有空間は直交する」と同じ計算で、固有値 $0$ と $\lambda_j$ の間でも成り立つから $\ker T\perp e_j$ である。
$M:=\overline{\operatorname{span}}\{e_j\}$ とおく。$T(M)\subset M$ であり、$x\in M^\perp$、$v\in M$ なら $\langle Tx,v\rangle=\langle x,Tv\rangle=0$ なので $T(M^\perp)\subset M^\perp$ である。$M^\perp$ への制限 $T_0$ は自己共役なコンパクト作用素である（$B_{M^\perp}\subset B_H$）。$T_0\ne0$ なら lem-cpt-norm-eigen により $T_0u=\mu u$、$\mu\ne0$、$u\in M^\perp\setminus\{0\}$ がとれるが、$u$ は $T$ の固有ベクトルだから $u\in M$ であり、$u\in M\cap M^\perp=0$ に反する。よって $T_0=0$、つまり $M^\perp\subset\ker T$ である。逆に $\ker T\perp M$ なので $\ker T\subset M^\perp$ で、$M^\perp=\ker T$ となり 1 が出る。
$x=x_0+\sum_j\langle x,e_j\rangle e_j$（$x_0\in\ker T$。級数は Hilbert空間 の記事の定理「完全正規直交系の特徴づけとParsevalの等式」を $M$ に当てたもの）に有界作用素 $T$ を施せば 2 を得る。3 は $\|(T-T_N)x\|^2=\sum_{j>N}|\lambda_j|^2|\langle x,e_j\rangle|^2\le\sup_{j>N}|\lambda_j|^2\|x\|^2$ による。$\square$