コンパクト作用素

$\lambda_n\to0$ なら、最初の $N$ 成分だけを残す有限階作用素 $T_N$ について $\|T-T_N\|\le\sup_{n>N}|\lambda_n|\to0$ であり、thm-cpt-ideal の 2 により $T$ はコンパクトである。逆に $\lambda_n\not\to0$ なら、$\delta>0$ と無限個の番号 $n_1< n_2<\cdots$ で $|\lambda_{n_k}|\ge\delta$ となるものがある。標準基底 $e_n$ について $k\ne l$ なら $\|Te_{n_k}-Te_{n_l}\|\ge\delta$ なので、有界列 $(e_{n_k})$ の像は収束する部分列をもたない。$\square$

$\|u\|\le1$ なら $|Tu(x)|\le\max|k|$ であり、$|Tu(x)-Tu(x')|\le\max_y|k(x,y)-k(x',y)|$ は $k$ の一様連続性により $|x-x'|\to0$ で一様に $0$ へ行く。よって $T(B_E)$ は各点有界かつ同程度連続であり、Arzelà–Ascoliの定理 の記事の系「相対コンパクト性の判定」（複素数値なら実部と虚部の $\mathbb R^2$ 値として）により閉包はコンパクトである。$V$ については $|Vu(x)|\le1$、$|Vu(x)-Vu(x')|\le|x-x'|$ から同じ結論が出る。

$V(B_E)$ の元は $C^1$ 級である。一方 $g(x):=\tfrac12-|x-\tfrac12|$ を考え、$u_n$ を $[0,\tfrac12-\tfrac1n]$ で $1$、$[\tfrac12+\tfrac1n,1]$ で $-1$、その間で一次の連続関数とすると、$\|u_n\|\le1$ かつ $\|Vu_n-g\|\le\tfrac2n$ である。$g$ は $x=\tfrac12$ で微分可能でないので $V(B_E)$ に属さず、$V(B_E)$ は閉じていない。定義で閉包をとるのはこのためである。$\square$

逆向きは thm-cpt-ideal の 2 である。$T$ がコンパクトとし、$\varepsilon>0$ について $T(B_E)$ の $\varepsilon$-網 $f_1,\dots,f_m$ をとる。$f_i$ の張る有限次元部分空間 $M$ への直交射影を $P$ とし（Hilbert空間 の記事の定理「直交射影と直交分解」）、有限階作用素 $T_\varepsilon:=PT$ を考える。$x\in B_E$ について $\|Tx-f_i\|<\varepsilon$ となる $i$ をとると、$Pf_i=f_i$ と $\|P\|\le1$ から $$ \|PTx-Tx\|\le\|P(Tx-f_i)\|+\|f_i-Tx\|<2\varepsilon . $$ よって $\|T_\varepsilon-T\|\le2\varepsilon$ である。$\square$

弱収束する列は有界である（Banach空間 の記事の定理「一様有界性原理」を $E\subset E^{**}$ の元の列に当てる）。$\psi\in F^*$ なら $\psi\circ T\in E^*$ なので、$Tx_n$ は $Tx$ に弱収束する。$Tx_n\not\to Tx$ なら、$\delta>0$ と部分列で $\|Tx_{n_k}-Tx\|\ge\delta$ となるものがあり、コンパクト性からさらに部分列をとって $Tx_{n_k}\to y$ とできる。ノルム収束は弱収束を導き、弱極限は一つしかない（Hahn–Banachの定理 により $F^*$ は $F$ の点を分ける）ので $y=Tx$ となり、矛盾する。

逆：$E$ が反射的なら、有界列は弱収束する部分列をもつ（反射的Banach空間 の記事の定理「有界列の弱収束部分列」）。その像はノルム収束するので、$T$ はコンパクトである。$\square$

$T$ がコンパクトとし、$\varepsilon>0$ について $T(B_E)$ の $\varepsilon$-網 $y_1,\dots,y_m$ をとる。写像 $\Phi\colon F^*\to\mathbb K^m$、$\psi\mapsto(\psi(y_1),\dots,\psi(y_m))$ による $B_{F^*}$ の像は有界なので全有界であり（$\mathbb K^m$ には最大値ノルムを入れる）、$\psi_1,\dots,\psi_r\in B_{F^*}$ で、どの $\psi\in B_{F^*}$ にも $\max_i|\psi(y_i)-\psi_j(y_i)|<\varepsilon$ となる $j$ があるものがとれる。$x\in B_E$ について $\|Tx-y_i\|<\varepsilon$ となる $i$ をとると $$ |(T^*\psi-T^*\psi_j)(x)|\le|(\psi-\psi_j)(Tx-y_i)|+|(\psi-\psi_j)(y_i)|<2\varepsilon+\varepsilon . $$ よって $\|T^*\psi-T^*\psi_j\|\le3\varepsilon$ で、$T^*(B_{F^*})$ は全有界である。$E^*$ は完備なので $T^*$ はコンパクトである。

逆：$T^*$ がコンパクトなら、いま示したことから $T^{**}\colon E^{**}\to F^{**}$ もコンパクトである。標準の等長埋め込み $J_E\colon E\to E^{**}$、$J_F$ について $T^{**}J_E=J_FT$ が成り立つ（$\psi\in F^*$ で両辺の値はともに $\psi(Tx)$）。$J_E(B_E)\subset B_{E^{**}}$ なので $J_F(T(B_E))$ は全有界であり、$J_F$ は等長だから $T(B_E)$ も全有界である。$\square$

$A:=T^*T\in L(H)$ は thm-cpt-ideal の 3 によりコンパクトで、$\langle Ax,y\rangle=\langle Tx,Ty\rangle=\langle x,Ay\rangle$ から自己共役である。$\langle Ax,x\rangle=\|Tx\|^2$ なので $\ker A=\ker T$ で、固有値は $0$ 以上である。thm-cpt-selfadjoint を $A$ に当て、$0$ でない固有値 $\lambda_j>0$ の固有ベクトルからなる正規直交系 $(e_j)_{j\in J}$ をとる。$J$ は高々可算で、$(e_j)$ は $(\ker A)^\perp=(\ker T)^\perp$ の完全正規直交系であり、$J$ が無限なら $\lambda_j\to0$ である。$s_j:=\lambda_j^{1/2}$、$f_j:=s_j^{-1}Te_j$ とおくと $$ \langle f_j,f_k\rangle=\frac{\langle Ae_j,e_k\rangle}{s_js_k}=\frac{\lambda_j}{s_js_k}\langle e_j,e_k\rangle=\delta_{jk} $$ である。$x=x_0+\sum_j\langle x,e_j\rangle e_j$（$x_0\in\ker T$）に有界な $T$ を施すと 1 の第 1 式を得る。$y\in G$ について、$s_j=\|Te_j\|\le\|T\|$ と Bessel の不等式から $\sum_js_j\langle y,f_j\rangle e_j$ は収束し、各 $x\in H$ との内積は $$ \sum_js_j\langle y,f_j\rangle\overline{\langle x,e_j\rangle}=\langle y,Tx\rangle=\langle T^*y,x\rangle $$ なので、第 2 式が成り立つ。2：$f_j=s_j^{-1}Te_j\in R(T)$ であり、第 1 式から $R(T)$ は $(f_j)$ の閉線形包に含まれるので、その閉線形包は $\overline{R(T)}$ に等しい。3 は作り方による。

逆：$J$ を $1,2,\dots$ と番号づけ、最初の $N$ 項の和を $T_N$ とすると、$T_N$ は有限階で、$(f_j)$ の正規直交性と Bessel の不等式から $$ \|(T-T_N)x\|^2=\sum_{j>N}s_j^2|\langle x,e_j\rangle|^2\le\Bigl(\sup_{j>N}s_j\Bigr)^2\|x\|^2 $$ である。よって級数はすべての $x$ で収束し、$\|T-T_N\|\to0$ なので、thm-cpt-ideal の 2 により $T$ はコンパクトである。$\square$

展開があるとする。$x=e_m$ を入れると $Te_m=\alpha_mf_m$ であり、$\langle T^*f_m,e_n\rangle=\langle f_m,Te_n\rangle=\alpha_m\delta_{mn}$ から $T^*f_m=\alpha_me_m$ である。$x=\sum_nx_ne_n$ なら $Tx=\sum_n\alpha_nx_nf_n$ なので、$Tx=0$ は「$\alpha_n\ne0$ なら $x_n=0$」と同値であり、$\ker T$ は $\{e_n\mid\alpha_n=0\}$ を正規直交基底にもつ。$y=\sum_ny_nf_n$ について $T^*y=\sum_n\alpha_ny_ne_n$ なので、同じく $\ker T^*$ は $\{f_n\mid\alpha_n=0\}$ を正規直交基底にもつ。2 つの基底は同じ番号の集合で番号づけられるから、次元は等しい。

逆に次元が等しいとする。thm-cpt-svd の $(e_j)_{j\in J}$、$(f_j)_{j\in J}$、$s_j$ をとり、$\ker T$ と $\ker T^*$ の正規直交基底 $(g_i)_{i\in I}$、$(h_i)_{i\in I}$ を同じ添字集合 $I$ でとる。$H=(\ker T)^\perp\oplus\ker T$ と $H=\overline{R(T)}\oplus\ker T^*$（随伴作用素 の命題「核と像の直交補」）、および thm-cpt-svd の 2 により、$(e_j)\cup(g_i)$ と $(f_j)\cup(h_i)$ はどちらも $H$ の正規直交基底で、同じ添字集合 $J\sqcup I$ で番号づけられている。$i\in I$ の係数を $0$ とすれば、thm-cpt-svd の展開はこの 2 つの基底による展開になる。$H$ は無限次元で可分なので $J\sqcup I$ は可算無限であり、全単射 $\{1,2,\dots\}\to J\sqcup I$ で番号を付け替える。各 $\delta>0$ について $s_j\ge\delta$ となる $j$ は有限個なので、付け替えた係数の列は $0$ に収束する。$\square$

$D$ は ex-cpt-diagonal によりコンパクトなので、$T=SD$ も thm-cpt-ideal の 3 によりコンパクトである。$T(x_1,x_2,\dots)=(0,x_1,x_2/2,x_3/3,\dots)$ なので $T$ は単射である。$\langle Tx,y\rangle=\sum_nx_n\overline{y_{n+1}}/n$ から $T^*(y_1,y_2,\dots)=(y_2,y_3/2,y_4/3,\dots)$ で、$\ker T^*$ は $\delta_1$ の張る空間である。$T^*T\delta_n=\delta_n/n^2$ なので、prf-cpt-svd の作り方で $e_j=\delta_j$、$s_j=1/j$、$f_j=jT\delta_j=\delta_{j+1}$ となる。直接にも、展開があれば $T$ が単射なのですべての $\alpha_n$ は正で、$f_n=\alpha_n^{-1}Te_n\in R(T)\subset\delta_1^\perp$ となり、$(f_n)$ は完全でない。$\square$