層別空間

1：$\{q\mid q\ge p\}$ は上に閉じているので開集合であり、その逆像 $X_{\ge p}$ は開集合である。$\{q\mid q\le p\}$ の補集合 $\{q\mid q\not\le p\}$ は上に閉じている（$q\not\le p$ かつ $q\le q'$ なら $q'\not\le p$）ので、$\{q\mid q\le p\}$ は閉集合であり、その逆像 $X_{\le p}$ は $X_p$ を含む閉集合である。よって $\overline{X_p}\subset X_{\le p}$ である。$X_p=X_{\ge p}\cap X_{\le p}$ は開集合と閉集合の共通部分なので局所閉である。

2：$U\subset P$ を上に閉じた集合とし、$F:=X\setminus s^{-1}(U)=\bigcup_{q\notin U}X_q$ が閉集合であることを示す。$q\notin U$ なら、$r\le q$ となる $r$ も $U$ に入らない（$U$ は上に閉じている）ので、仮定から $\overline{X_q}\subset X_{\le q}\subset F$ である。よって $F=\bigcup_{q\notin U}\overline{X_q}$ である。開集合 $V$ が $\overline{X_q}$ と交わるのは $X_q$ と交わるときに限るので、族 $\{\overline{X_q}\}$ も局所有限である。$x\notin F$ をとり、有限個の $\overline{X_{q_1}},\dots,\overline{X_{q_m}}$ としか交わらない $x$ の近傍 $V$ をとると、$V\setminus(\overline{X_{q_1}}\cup\dots\cup\overline{X_{q_m}})$ は $F$ と交わらない $x$ の近傍である。よって $F$ は閉集合であり、$s^{-1}(U)$ は開集合である。$\square$

反射律と推移律（$S\subset\overline T$、$T\subset\overline R$ なら $S\subset\overline R$）は明らかである。反対称律：$S\subset\overline T$ かつ $T\subset\overline S$ なら $\overline S=\overline T=:C$ である。局所閉集合 $S=W\cap F$（$W$ は開、$F$ は閉）は $S\subset W\cap\overline S\subset W\cap F=S$ より $C$ の中の開集合であり、$C$ の中で稠密である。$T$ も $C$ の空でない開集合なので、$S\cap T\neq\emptyset$ である。分割の異なる層は交わらないので $S=T$ である。

連続性：境界条件により $\overline S$ は層の和であり、そこに含まれる層 $T$ は $T\subset\overline S$、すなわち $T\le S$ を満たす。よって $\overline S\subset X_{\le S}$ であり、層の族は局所有限なので、prop-ss-closure の 2 により $s$ は連続である。$\square$

1：$U\subset X$ を開集合、$x\in U\cap X_p$ とし、$x=h(z_0,*)$ となる $X$ の錐の近傍 $h\colon Z\times C(Y)\to X$ をとる。$h^{-1}(U)$ は $(z_0,*)$ の開近傍なので、$z_0$ の開近傍 $Z'$ と $*$ の開近傍 $V$ で $Z'\times V\subset h^{-1}(U)$ となるものがあり、開錐の位相の定義から $V\supset C_\varepsilon:=\{*\}\cup Y\times(0,\varepsilon)$ となる $\varepsilon>0$ がある。$(y,t)\mapsto(y,t/(\varepsilon-t))$ は $C_\varepsilon$ から $C(Y)$ への層別を保つ同相写像である（頂点の近傍の基本系が互いに対応する）。よって $h|_{Z'\times C_\varepsilon}$ から、像が $U$ に含まれる $x$ の錐の近傍が得られる。

2：自明な層別で $P=\{p\}$ なら $P_{>p}=\emptyset$ なので $Y=\emptyset$、$C(Y)=\{*\}$ とし、$Z=X$、$h=\mathrm{id}$ とすればよい。$M\times X$ については、$X$ の錐の近傍 $h$ に対し $\mathrm{id}_M\times h\colon(M\times Z)\times C(Y)\to M\times X$ が錐の近傍である。

3：頂点では $Z$ を 1 点、$h=\mathrm{id}_{C(Y)}$ とすればよい（$(P^{\triangleleft})_{>-\infty}=P$）。点 $(y,t)$、$y\in Y_q$ では、$Y$ の $y$ での錐の近傍 $h\colon Z\times C(Y')\to Y$（$Y'$ は $P_{>q}$-層別空間）をとり、$((z,u),c)\mapsto(h(z,c),u)$ で $(Z\times\mathbb R_{>0})\times C(Y')\to C(Y)$ を定める。これは $Y\times\mathbb R_{>0}$ の開集合 $h(Z\times C(Y'))\times\mathbb R_{>0}$ の上への層別を保つ同相写像であり、$Y\times\mathbb R_{>0}$ は頂点を含まないので $C(Y)$ の開集合である。$(P^{\triangleleft})_{>q}=P_{>q}$ なので、これが $(y,t)$ での錐の近傍になる。$\square$

原点を像に含む錐の近傍 $h\colon Z\times C(Y)\to\mathbb R$ があったとし、像を $W$ とする。$Y$ は $[1]_{>0}=\{1\}$-層別空間なので、$h$ は $Z\times\{*\}$ を $W\cap X_0$ に、$Z\times Y\times\mathbb R_{>0}$ を $W\cap X_1$ に写す。$Y=\emptyset$ なら $W=h(Z\times\{*\})\subset(-\infty,0]$ だが、$W$ は原点の開近傍なので正の数を含み、矛盾する。$Y\neq\emptyset$ なら $y\in Y$ をとる。$W\cap X_0$ は $(-\delta,0]$ の形の区間を含むので、$h(J\times\{*\})=(-\delta/2,0)$ となる $Z$ の部分空間 $J$ があり、$J$ は開区間と同相である。$(z,t)\mapsto h(z,y,t)$ は $J\times\mathbb R_{>0}\cong\mathbb R^2$ から $\mathbb R$ への連続な単射になる。ところが、$\mathbb R^2$ の中の円周 $S^1$ に制限した連続な単射 $f\colon S^1\to\mathbb R$ の像はコンパクトで連結なので区間 $[a,b]$（$a< b$）であり、$c\in(a,b)$、$c=f(q)$ をとると、$S^1\setminus\{q\}$ は連結なのに $f(S^1\setminus\{q\})=[a,b]\setminus\{c\}$ は連結でない。これは矛盾である。$\square$

距離：$L$ の距離 $d_L$ を $\min(d_L,1)$ に取り替えておき、$X$ の点を $(y,t)$（$t>0$）と $*$（$t=0$ の点）で表して、$d((y,t),(y',t')):=|t-t'|+\min(t,t')\,d_L(y,y')$、$d(*,(y,t)):=t$ とおく。三角不等式は、$(y_1,t_1),(y_2,t_2),(y_3,t_3)$ について $m:=\min(t_1,t_3)$ とし、$t_2\ge m$ なら $m\le\min(t_1,t_2)$、$m\le\min(t_2,t_3)$ から、$t_2< m$ なら $m\,d_L\le(m-t_2)+t_2\,d_L$（$d_L\le1$）と $|t_1-t_3|+2(m-t_2)=|t_1-t_2|+|t_2-t_3|$ から従う。$*$ を含む場合は $t=0$ として同じである。$*$ を中心とする球は $\{*\}\cup L\times(0,\varepsilon)$ であり、$t>0$ の点の近くでは $d$ は $L\times\mathbb R_{>0}$ の積の距離と同値なので、$d$ は $C(L)$ の位相を定める。

1：$R((y,t),u):=(y,ut)$（$u>0$）、$R(x,0):=*$、$R(*,u):=*$ とおく。$d(R((y,t),u),*)=ut$ なので $R$ は連続であり、tame の定義の条件を満たす（$N=X$）。

2：$\gamma\in\operatorname{holink}(X,*)$ の $\tau>0$ での値を $\gamma(\tau)=(\eta(\tau),r(\tau))$ と書く。$\eta$、$r$ は $(0,1]$ の上で連続で、$\gamma(0)=*$ なので $\tau\to0$ で $r(\tau)=d(\gamma(\tau),*)\to0$ である。$s\in[0,1]$ について、$\tau>0$ では $H(\gamma,s)(\tau):=(\eta(\max(\tau,s)),\ (1-s)r(\tau)+s\tau)$、$H(\gamma,s)(0):=*$ とおく。$\tau>0$ なら第 2 成分は正なので $H(\gamma,s)\in\operatorname{holink}(X,*)$ であり、$H(\gamma,0)=\gamma$、$H(\gamma,1)(\tau)=(\eta(1),\tau)=i(e(\gamma))(\tau)$ である。$[0,1]$ はコンパクトな Hausdorff 空間なので、$H$ の連続性は $(\gamma,s,\tau)\mapsto H(\gamma,s)(\tau)$ の連続性に帰着する。$\tau_0>0$ の近くでは、評価写像 $(\gamma,\tau)\mapsto\gamma(\tau)$ の連続性と $\max(\tau,s)\ge\tau_0/2$ から連続である。$\tau_0=0$ の近くでは、$d(H(\gamma',s',\tau'),*)\le r'(\tau')+\tau'$ であり、$r'(\tau')=d(\gamma'(\tau'),*)\le d(\gamma(\tau'),*)+\sup_\tau d(\gamma'(\tau),\gamma(\tau))$ は $(\gamma',\tau')\to(\gamma,0)$ で $0$ に近づく（コンパクト開位相は一様収束の位相である）。よって $H$ は連続で、$i\circ e\simeq\mathrm{id}$ である。$e(i(y))=\operatorname{pr}_L(y,1)=y$ は明らかである。

3：層は $\{*\}$ と $X\setminus\{*\}$ の 2 つで、条件は $\{*\}$ が $X$ の中で tame であること（1）と、$p\colon\operatorname{holink}(X,*)\to\{*\}$ がファイブレーションであることである。1 点への写像は、初めの持ち上げを時間について定数に延ばせばよいので、ファイブレーションである。$\square$

ホモトピー的な層別：$F$ は原点について星形なので、$R(x,u):=ux$ は $F$ に値をとり、tame の定義の条件を満たす。$\operatorname{holink}(F,0)\to\{0\}$ は 1 点への写像なのでファイブレーションである。

円錐的でないこと：原点を像に含む錐の近傍 $h\colon Z\times C(Y)\to F$ があったとし、像を $W$ とする。$h(Z\times\{*\})=W\cap\{0\}$ なので $Z$ は 1 点であり、$W\setminus\{0\}\cong Y\times\mathbb R_{>0}$ である。$W$ は原点の近傍なので、$1/n$ が十分小さい $n$ について $I_n\subset W$ である。$I_n\setminus\{0\}$ は $F\setminus\{0\}$ の連結成分である。実際、偏角 $\theta_m$（$m\neq n$）は $\theta_n$ から一定の角度以上離れているので、$I_n\setminus\{0\}$ の各点はほかの線分と交わらない近傍をもち、$I_n\setminus\{0\}$ は $F\setminus\{0\}$ の中で開集合であり、閉集合でもある。よって $I_n\setminus\{0\}$ は $W\setminus\{0\}$ の連結成分でもある。$Y\times\mathbb R_{>0}$ の連結成分は $Y$ の連結成分 $Y_\alpha$ との積 $Y_\alpha\times\mathbb R_{>0}$ なので、同相写像 $\varphi\colon Y_\alpha\times\mathbb R_{>0}\to(0,1]$ がある。$\varphi(y,t)=1$ となる点をとると、$\varphi(\{y\}\times\mathbb R_{>0})$ は $1$ を含む $(0,1]$ の連結部分集合なので、$(a,1]$、$[a,1]$、$\{1\}$ のどれかの形であり、$\mathbb R_{>0}$ と同相である。ところがこれらの集合から $1$ を除くと連結（または空）なのに、$\mathbb R_{>0}$ から対応する点 $t$ を除くと連結でない。これは矛盾である。$\square$