直線の方程式と点と直線の距離

方針：1 は、2 点で 1 次式の値がどちらも $0$ であることの差をとる。2 は、両方の集合が互いに含まれることを示す。
段 1（1 の証明）。$A=(x_1,y_1)$、$B=(x_2,y_2)$ が $\ell$ 上にあるので $ax_1+by_1+c=0$、$ax_2+by_2+c=0$ である。2 つ目から 1 つ目を引くと、$c$ が消えて
$$ a(x_2-x_1)+b(y_2-y_1)=0 $$
となる。左辺は $n\cdot\overrightarrow{AB}$ にほかならない。
段 2（$A+tu$ は $\ell$ 上にある）。$A=(x_1,y_1)$ とすると $A+tu=(x_1-tb,\ y_1+ta)$ である。1 次式に代入すると
$$ a(x_1-tb)+b(y_1+ta)+c=(ax_1+by_1+c)+t(-ab+ab)=0+0=0 $$
なので、$A+tu$ は $\ell$ 上にある。
段 3（$\ell$ の点は $A+tu$ の形）。$B=(x_2,y_2)$ を $\ell$ 上の点とし、$w:=\overrightarrow{AB}=(w_1,w_2)$ とおく。段 1 から $aw_1+bw_2=0$ である。$t:=\dfrac{-bw_1+aw_2}{a^2+b^2}$ とおく（$(a,b)\ne(0,0)$ なので分母は正）。このとき
$$ tu=\left(\frac{b^2w_1-abw_2}{a^2+b^2},\ \frac{-abw_1+a^2w_2}{a^2+b^2}\right) $$
である。$aw_1+bw_2=0$ から $-abw_2=a^2w_1$、$-abw_1=b^2w_2$ なので、第 1 成分は $\dfrac{b^2w_1+a^2w_1}{a^2+b^2}=w_1$、第 2 成分は $\dfrac{b^2w_2+a^2w_2}{a^2+b^2}=w_2$ である。よって $w=tu$、つまり $B=A+tu$ である。$\square$

方針：平行なら代入して計算する。逆は、$0$ でない成分で割って比 $k$ を作る。
段 1（平行 ⇒ $v_1w_2-v_2w_1=0$）。$w=kv$ なら $w_1=kv_1$、$w_2=kv_2$ なので $v_1w_2-v_2w_1=v_1\cdot kv_2-v_2\cdot kv_1=0$ である。
段 2（$v_1w_2-v_2w_1=0$ ⇒ 平行）。$v\ne0$ なので $v_1\ne0$ または $v_2\ne0$ である。$v_1\ne0$ の場合、$k:=\dfrac{w_1}{v_1}$ とおくと $w_1=kv_1$ であり、仮定 $v_1w_2=v_2w_1$ の両辺を $v_1$ で割って $w_2=\dfrac{v_2w_1}{v_1}=kv_2$ となる。よって $w=kv$ である。$w\ne0$ なので $k\ne0$ である。$v_2\ne0$ の場合も、$k:=\dfrac{w_2}{v_2}$ として同じように $w=kv$ が得られる。$\square$

方針：定義どおり方向ベクトル $u=(-b,a)$、$u'=(-b',a')$ で条件を書き、成分を計算する。
段 1（平行）。$u$、$u'$ はどちらも $0$ でない。lem-lpd-parallel-vectors により、$u$ と $u'$ が平行であることは
$$ (-b)\cdot a'-a\cdot(-b')=ab'-a'b=0 $$
と同値である。
段 2（垂直）。$u$ と $u'$ が垂直であることは $u\cdot u'=0$ と同値である。
$$ u\cdot u'=(-b)(-b')+a\cdot a'=aa'+bb' $$
なので、垂直であることは $aa'+bb'=0$ と同値である。$\square$

方針：垂線の足 $H$ を「$\overrightarrow{PH}$ が法線ベクトルに平行」という条件で求め、そこから長さを計算する。最後に三平方の定理で最小であることを確かめる。
段 1（垂線の向きは法線ベクトル）。$\ell$ に垂直なベクトル $w=(w_1,w_2)\ne0$ は、方向ベクトル $u=(-b,a)$ と垂直なので $-bw_1+aw_2=0$ を満たす。これは $aw_2-bw_1=0$ と同じで、lem-lpd-parallel-vectors（$v=n$ とする）により $w$ は $n$ に平行である。そこで垂線の足を $H=P+sn=(x_0+sa,\ y_0+sb)$（$s$ は実数）とおく。
段 2（$H$ が $\ell$ 上にある条件）。$H$ を $\ell$ の方程式に代入すると
$$ a(x_0+sa)+b(y_0+sb)+c=(ax_0+by_0+c)+s(a^2+b^2)=0 $$
である。$a^2+b^2>0$ なので $s=-\dfrac{ax_0+by_0+c}{a^2+b^2}=-k$ と決まり、$H=P-kn$ である。これで 1 の前半が示せた。$\overrightarrow{HP}=kn$ は $n$ に平行なので、prop-lpd-normal により $\ell$ に垂直である（$k=0$ のときは $P=H$ が $\ell$ 上にある）。
段 3（長さ）。$\overrightarrow{HP}=kn$ なので
$$ PH=|k|\,|n|=\frac{|ax_0+by_0+c|}{a^2+b^2}\cdot\sqrt{a^2+b^2}=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}} $$
である。最後の等号では $\dfrac{\sqrt{a^2+b^2}}{a^2+b^2}=\dfrac1{\sqrt{a^2+b^2}}$ を使った。
段 4（最小であること）。$Q$ を $\ell$ 上の点とする。$H$、$Q$ はどちらも $\ell$ 上にあるので、prop-lpd-normal の 1 により $n\cdot\overrightarrow{HQ}=0$ である。$\overrightarrow{PH}=-kn$ なので $\overrightarrow{PH}\cdot\overrightarrow{HQ}=-k\,(n\cdot\overrightarrow{HQ})=0$ である。$\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{PH}+\overrightarrow{HQ}$ の長さの 2 乗を内積で展開すると
$$ PQ^2=PH^2+2\,\overrightarrow{PH}\cdot\overrightarrow{HQ}+HQ^2=PH^2+HQ^2 $$
である（三平方の定理 を内積で書いたもの）。$HQ^2\ge0$ で、等号は $Q=H$ のときだけなので、$PQ\ge PH$ であり、$PQ=PH$ となるのは $Q=H$ のときだけである。これで 2 と 3 が示せた。$\square$

方針：$\ell$ 上の 1 点 $A$ から $P$ へ向かうベクトルを、法線ベクトル $n$ の向きの成分と、$n$ に垂直な成分に分ける。$n$ の向きの成分の長さが距離である。最後に、分子が $A$ によらないことと Cauchy–Schwarz の不等式から、$H$ が最も近いただ 1 つの点であることを確かめる。
段 1（分子の正体）。$A=(x_1,y_1)$ を $\ell$ 上の点とすると $ax_1+by_1=-c$、つまり $n\cdot A=-c$ である。したがって
$$ n\cdot\overrightarrow{AP}=n\cdot P-n\cdot A=(ax_0+by_0)-(-c)=ax_0+by_0+c $$
である。距離の公式の分子 $ax_0+by_0+c$ は、$\overrightarrow{AP}$ と法線ベクトルの内積である。右辺には $A$ が現れないので、この値は $\ell$ 上のどの点を $A$ に選んでも同じである。
段 2（正射影に分ける）。$\overrightarrow{AP}$ の $n$ への正射影を
$$ p:=\frac{n\cdot\overrightarrow{AP}}{|n|^2}\,n=\frac{ax_0+by_0+c}{a^2+b^2}\,n=kn $$
とし、$r:=\overrightarrow{AP}-p$ とおく。$n\cdot r=n\cdot\overrightarrow{AP}-k|n|^2=(ax_0+by_0+c)-(ax_0+by_0+c)=0$ なので、$r$ は $n$ に垂直である。
段 3（$A+r$ は垂線の足）。点 $A+r$ について $n\cdot(A+r)=n\cdot A+0=-c$ なので、$A+r$ は $\ell$ 上にある。また $A+r=A+\overrightarrow{AP}-kn=P-kn=H$ である。こうして $\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AH}+\overrightarrow{HP}$ は「直線に沿う成分 $r=\overrightarrow{AH}$」と「法線方向の成分 $p=\overrightarrow{HP}$」への分解になっている。
段 4（長さ）。距離は法線方向の成分の長さで、
$$ |p|=\frac{|n\cdot\overrightarrow{AP}|}{|n|}=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}} $$
である。
段 5（最も近い点）。$Q$ を $\ell$ 上の点とし、$\overrightarrow{QP}=(x,y)$ とおく。段 1 で $A$ を $Q$ に替えると $n\cdot\overrightarrow{QP}=ax+by=ax_0+by_0+c$ である。展開すると
$$ (a^2+b^2)(x^2+y^2)-(ax+by)^2=(ay-bx)^2\ge0 $$
なので（prf-lpd-dual の段 1 と同じ計算）、$|ax_0+by_0+c|\le|n|\,PQ$、つまり $PQ\ge\dfrac{|ax_0+by_0+c|}{|n|}=|p|=PH$ である。等号が成り立つのは $ay-bx=0$ のときで、$\overrightarrow{QP}=0$ であるか、lem-lpd-parallel-vectors により $\overrightarrow{QP}$ が $n$ に平行であるかのどちらかである。どちらの場合も $\overrightarrow{QP}=sn$（$s$ は実数）と書け、$n\cdot\overrightarrow{QP}=s|n|^2=ax_0+by_0+c$ から $s=k$、つまり $Q=P-kn=H$ である。よって $\ell$ 上で $P$ に最も近い点は $H$ ただ 1 つである。また、段 3 で $A$ を $Q$ に替えると $\overrightarrow{QP}=\overrightarrow{QH}+\overrightarrow{HP}$ で、$\overrightarrow{QH}=r$ は $n$ に垂直、$\overrightarrow{HP}=kn$ なので $\overrightarrow{QH}\cdot\overrightarrow{HP}=0$ であり、内積で展開して $PQ^2=PH^2+HQ^2$ となる。これで 2 と 3 が示せた。$\square$

方針：1 は thm-lpd-distance の $H=P-kn$ を書き直す。2 は、線分上の点を $t$ で表すと $f$ の値が $t$ の 1 次関数になることを使う。
段 1（1 の証明）。thm-lpd-distance により $\overrightarrow{HP}=kn$、$k=\dfrac{f(P)}{|n|^2}$ である。$\dfrac{f(P)}{|n|^2}\,n=\dfrac{f(P)}{|n|}\cdot\dfrac{n}{|n|}=\delta(P)\,\dfrac{n}{|n|}$ なので、$\overrightarrow{HP}$ は、$\delta(P)>0$（つまり $f(P)>0$）なら $n$ と同じ向き、$\delta(P)<0$ なら逆向きである。
段 2（線分上の値）。$P=(x_1,y_1)$、$Q=(x_2,y_2)$ とし、$0\le t\le1$ に対して $X_t:=(1-t)P+tQ$ とおく。$X_0=P$、$X_1=Q$ で、$t$ が $0$ から $1$ まで動くと $X_t$ は線分 $PQ$ 全体を動く。$f$ に代入すると
$$ f(X_t)=a\bigl((1-t)x_1+tx_2\bigr)+b\bigl((1-t)y_1+ty_2\bigr)+\bigl((1-t)+t\bigr)c=(1-t)f(P)+tf(Q) $$
である。
段 3（同符号なら交わらない）。$f(P)$、$f(Q)$ がともに正なら、$0\le t\le1$ で $1-t\ge0$、$t\ge0$ であり、この 2 つは同時には $0$ にならないので、$(1-t)f(P)+tf(Q)>0$ である。ともに負のときも同様に $f(X_t)<0$ である。どちらの場合も線分上に $f=0$ の点、つまり $\ell$ 上の点はない。
段 4（異符号なら交わる）。$f(P)$、$f(Q)$ が異符号なら $f(P)-f(Q)\ne0$ で、$t^*:=\dfrac{f(P)}{f(P)-f(Q)}$ とおく。$f(P)$ と $-f(Q)$ は同符号なので、分母 $f(P)-f(Q)=f(P)+\bigl(-f(Q)\bigr)$ は分子 $f(P)$ と同符号で、$|f(P)-f(Q)|=|f(P)|+|f(Q)|>|f(P)|$ である。よって $0< t^*<1$ である。
$$ f(X_{t^*})=f(P)+t^*\bigl(f(Q)-f(P)\bigr)=f(P)-f(P)=0 $$
なので、$X_{t^*}$ は線分 $PQ$ と $\ell$ の共有点である。$\square$

方針：$\ell$ 上の点の座標を thm-lpd-distance の 3 に代入する。
$P=(x_0,y_0)$ を $\ell$ 上の点とすると $ax_0+by_0=-c$ である。thm-lpd-distance の 3 を $\ell'$ に使うと、$P$ と $\ell'$ の距離は
$$ \frac{|ax_0+by_0+c'|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{|-c+c'|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{|c-c'|}{\sqrt{a^2+b^2}} $$
である。これは $P$ のとり方によらない。$\square$

方針：距離の公式で条件を式にし、$|X|=|Y|\iff X=Y$ または $X=-Y$ を使う。最後に 2 本の法線ベクトルが垂直であることを内積で確かめる。
段 1（条件を式にする）。thm-lpd-distance の 3 により、点 $P$ が 2 直線から等距離にあることは
$$ \frac{|f_1(P)|}{|n_1|}=\frac{|f_2(P)|}{|n_2|} $$
と同値である。実数 $X$、$Y$ について $|X|=|Y|$ は「$X=Y$ または $X=-Y$」と同値なので、これは $\dfrac{f_1(P)}{|n_1|}=\dfrac{f_2(P)}{|n_2|}$ または $\dfrac{f_1(P)}{|n_1|}=-\dfrac{f_2(P)}{|n_2|}$ と同値である。
段 2（どちらも直線になる）。$e_i:=\dfrac{n_i}{|n_i|}$ とおく（長さ $1$ の法線ベクトル）。2 つの式の $x$、$y$ の係数を並べたベクトルは $e_1-e_2$ と $e_1+e_2$ である。$\ell_1$、$\ell_2$ は平行でないので $n_1$、$n_2$ は平行でなく、$e_2\ne e_1$ かつ $e_2\ne-e_1$ である。よって $e_1-e_2\ne0$、$e_1+e_2\ne0$ であり、2 つの式はどちらも直線を表す。
段 3（垂直）。2 本の法線ベクトルの内積は
$$ (e_1-e_2)\cdot(e_1+e_2)=|e_1|^2+e_1\cdot e_2-e_2\cdot e_1-|e_2|^2=1-1=0 $$
なので、2 本の直線は垂直である。$\square$

方針：$v$ を $e_1$、$e_2$ で書き、線形性を 2 回使う。
段 1（表示）。$v=(x,y)=xe_1+ye_2$ なので、線形汎関数の 2 つの性質から
$$ \varphi(v)=\varphi(xe_1)+\varphi(ye_2)=x\,\varphi(e_1)+y\,\varphi(e_2)=n\cdot v $$
である。
段 2（ただ 1 つ）。別の $n'$ でもすべての $v$ について $\varphi(v)=n'\cdot v$ なら、$v=e_1$ として $n$ と $n'$ の第 1 成分が、$v=e_2$ として第 2 成分が一致する。$\square$

方針：1 は、2 次元の Cauchy–Schwarz の不等式を展開で示し、等号の成り立つ $v$ を挙げる。2 は、1 の不等式を $\overrightarrow{QP}$ に使って下からの評価を作り、垂線の足で等号になることを確かめる。
段 1（Cauchy–Schwarz の不等式）。$v=(x,y)$ について、展開して整理すると
$$ (a^2+b^2)(x^2+y^2)-(ax+by)^2=a^2y^2-2abxy+b^2x^2=(ay-bx)^2\ge0 $$
である。よって $(ax+by)^2\le(a^2+b^2)(x^2+y^2)$、つまり $|n\cdot v|\le|n|\,|v|$ である。
段 2（1 の証明）。$|v|=1$ なら段 1 から $|\varphi(v)|\le|n|$ である。$v=\dfrac{n}{|n|}$ とすると $|v|=1$ で、$\varphi(v)=\dfrac{n\cdot n}{|n|}=|n|$ なので、最大値は $|n|$ である。
段 3（2 の下からの評価）。$Q$ を $\ell$ 上の点で $Q\ne P$ とする。$\varphi(Q)=d$ なので、線形性から $\varphi(P)-d=\varphi(P)-\varphi(Q)=\varphi(\overrightarrow{QP})$ である。$v:=\dfrac{\overrightarrow{QP}}{PQ}$ は長さ $1$ なので、段 2 から $|\varphi(v)|\le\|\varphi\|$、両辺に $PQ$ を掛けて
$$ |\varphi(P)-d|=|\varphi(\overrightarrow{QP})|\le\|\varphi\|\cdot PQ $$
である。よって $PQ\ge\dfrac{|\varphi(P)-d|}{\|\varphi\|}$ である（$Q=P$ のときは $\varphi(P)=d$ で、両辺とも $0$ である）。
段 4（等号）。$\ell$ は $ax+by-d=0$ なので、thm-lpd-distance の垂線の足 $H$ で $PH=\dfrac{|\varphi(P)-d|}{|n|}=\dfrac{|\varphi(P)-d|}{\|\varphi\|}$ となる。段 3 と合わせて、最小値はこの値である。$\square$