Shilov境界

2 が成り立たないとして 1 を示す。ある境界 $C$ について $C\setminus U$ が境界でないとすると、$g\in A$ で $\sup_{C\setminus U}|\hat g|< \sup_{M(A)}|\hat g|$ となるものがある。右辺は正なので、$g$ を定数倍して $\sup_{M(A)}|\hat g|=1$ とし、$r:=\sup_{C\setminus U}|\hat g|< 1$ とおく。$R:=\max_j\sup_{M(A)}|\hat f_j|$ として、$r^NR< 1$ となる自然数 $N$ をとり、$h:=g^N$ とおく。
$C\cap U$ の上では $|\hat h|\le1$ かつ $|\hat f_j|< 1$、$C\setminus U$ の上では $|\hat h\hat f_j|\le r^NR< 1$ である。よって連続関数 $|\hat h\hat f_j|$ はコンパクト集合 $C$ の各点で $1$ 未満なので、$\sup_C|\hat h\hat f_j|< 1$ であり、$C$ は境界なので $\sup_{M(A)}|\hat h\hat f_j|< 1$ である（$j=1,\dots,n$）。
$C'$ を任意の境界とする。$\sup_{M(A)}|\hat h|=1$ で $C'$ はコンパクトな境界なので、$|\hat h(\chi)|=1$ となる $\chi\in C'$ がある。この $\chi$ で $|\hat f_j(\chi)|=|\hat h(\chi)\hat f_j(\chi)|< 1$ がすべての $j$ で成り立つので、$\chi\in U\cap C'$ である。よって $U$ は $C'$ と交わる。$n=0$ なら $U=M(A)$ で、1 が成り立つ。$\square$

$S$ は閉集合の共通部分なので閉で、すべての境界に含まれる。$S$ が境界であることを示す。
特別な形の近傍．$\chi_0\notin S$ とすると、$\chi_0$ を含まない境界 $C_0$ がある。$M(A)\setminus C_0$ は $\chi_0$ の開近傍なので、文字空間の位相の定義（Banach代数 の定義「文字空間」の基本近傍）から、$g_1,\dots,g_n\in A$ と $\varepsilon>0$ で
$$ U_{\chi_0}:=\{\chi:|\hat g_j(\chi)-\hat g_j(\chi_0)|< \varepsilon\ (j=1,\dots,n)\}\subset M(A)\setminus C_0 $$
となるものがある。$f_j:=(g_j-\hat g_j(\chi_0)1_A)/\varepsilon$ とおけば $U_{\chi_0}=\{|\hat f_j|< 1\}$ は lem-sb-removal の形で、境界 $C_0$ と交わらない。したがって補題の 1 は成り立たず、2 が成り立つ：すべての境界 $C$ について $C\setminus U_{\chi_0}$ は境界である。
有限回の除去．$a\in A$ が $S$ の上で $|\hat a|< 1$ を満たすとし、$K:=\{\chi:|\hat a(\chi)|\ge1\}$ とおく。$K$ はコンパクトで $S$ と交わらないので、$K$ の各点 $\chi_0$ に上の $U_{\chi_0}$ がとれ、有限個 $U_1,\dots,U_r$ で $K$ を覆える。境界 $M(A)$ から始めて上の結論を $r$ 回使うと、
$$ C:=M(A)\setminus(U_1\cup\cdots\cup U_r) $$
は境界である（$r=0$ なら $C=M(A)$）。$C$ は $K$ と交わらないコンパクト集合なので $\sup_C|\hat a|< 1$ であり、$C$ は境界なので $\sup_{M(A)}|\hat a|< 1$ である。
まとめ．$S=\emptyset$ なら $a=1_A$ が「$S$ の上で $|\hat a|< 1$」を満たすので $1=\sup|\hat 1_A|< 1$ となり矛盾する。よって $S\ne\emptyset$ である。$a\in A$ と $c>\sup_S|\hat a|$ をとり、$a/c$ に上の結論を使うと $\sup_{M(A)}|\hat a|< c$ である。$c\downarrow\sup_S|\hat a|$ として $\sup_{M(A)}|\hat a|\le\sup_S|\hat a|$ を得る。逆の不等号は $S\subset M(A)$ から明らかなので、$S$ は境界である。$\square$

1 ⇒ 2：$V$ を $\chi_0$ の開近傍とすると、$M(A)\setminus V$ は閉で $\partial_A$ を含まないので、境界でない（境界なら $\partial_A$ を含む）。よって $\sup_{M(A)\setminus V}|\hat a|< \sup_{M(A)}|\hat a|$ となる $a$ があり、このとき右辺は $\sup_V|\hat a|$ に等しい。
2 ⇒ 1：$\chi_0\notin\partial_A$ なら $V:=M(A)\setminus\partial_A$ は $\chi_0$ の開近傍で、$M(A)\setminus V=\partial_A$ は境界なので、すべての $a$ で $\sup_{M(A)\setminus V}|\hat a|=\sup_{M(A)}|\hat a|\ge\sup_V|\hat a|$ となり、2 に反する。$\square$

要点：文字がすべて点での値であることを確かめれば、Urysohn の補題で各点に cor-sb-points の 2 の関数が作れる。

文字空間．$K$ は補集合が連結な閉円板の直積なので多項式凸である（岡–Weilの近似定理 の例「凸集合と直積」の 2）。同時スペクトル の例「多項式で近似できる関数の環」により、座標関数の同時スペクトルは $\widehat K=K$ で、同時スペクトル の定理「生成系の同時スペクトル」の同相のもとで $\hat g=g$ である。
$T(0,r)$ は境界．多項式 $P$ は $\mathbb C^n$ 全体で正則なので、多重円板 の定理「区別された境界での最大値」により $\max_K|P|=\max_{T(0,r)}|P|$ である。$g\in A$ を多項式 $P_k$ の一様極限とすれば、両辺の極限をとって $\max_K|g|=\max_{T(0,r)}|g|$ を得る。したがって $\partial_A\subset T(0,r)$ である。
$T(0,r)$ の各点はピーク点．$t\in T(0,r)$ に対し
$$ p_t(z):=\prod_{j=1}^n\frac{1+z_j/t_j}{2} $$
とおく。$z\in K$ では $|z_j/t_j|\le1$ なので各因子の絶対値は $1$ 以下で、$|1+w|=2$ かつ $|w|\le1$ となるのは $w=1$ のときだけなので、$|p_t(z)|=1$ となるのは $z=t$ のときだけである。よって $p_t$ は $t$ だけで最大値 $1$ をとり、$t\in\partial_A$ である（cor-sb-points の後の注意）。$\square$

要点：有限個の元で $K'$ と $K''$ の像を分け、隆起関数 $\eta$ を $K''$ の像の近くで $1$、$K'$ の像の近くで $0$ にとる。$\varphi=\eta+(z_0-1)v$ が正則になる条件は $\bar\partial v=\bar\partial\eta/(1-z_0)$ で、この右辺は $\{z_0=1\}$ の近くでも滑らかな $\bar\partial$ 閉形式になる。元を付け足して同時スペクトルを多項式多面体に収め、多項式多面体の上でこの $\bar\partial$ 方程式を解く。

正規化．$O$ を $\chi_0$ の任意の開近傍とする。$M(A)$ はコンパクト Hausdorff なので、$\chi_0$ の開近傍 $V$ で $\overline V\subset V_0\cap O$ となるものがある。仮定の $f$ をこの $V$ についてとり、$a:=\sup_V|\hat f|>b:=\sup_{V_0\setminus V}|\hat f|$ とおく。$|\hat f|$ はコンパクト集合 $\overline V$ の上で最大値 $a$ をある点 $\chi^*$ でとり、$\overline V\setminus V\subset V_0\setminus V$ の上では $|\hat f|\le b< a$ なので $\chi^*\in V$ である。$f_0:=f/\hat f(\chi^*)$ とおくと、$V_0$ の上で $|\hat f_0|\le1$、$V_0\setminus V$ の上で $|\hat f_0|< 1$、$\hat f_0(\chi^*)=1$ である。$Z:=\{\hat f_0=1\}$ とおくと $Z\cap V_0\subset V$ なので、
$$ K'':=Z\cap\overline V=Z\cap V_0,\qquad K':=Z\setminus V_0 $$
は交わらないコンパクト集合で、$Z=K'\cup K''$、$\chi^*\in K''$ である。
補題を使う．lem-sb-separation の $F$、$E$、$W$、$\varphi$、$W'$、$\psi$ をとる。$U':=(W\setminus\{z_0=1\})\cup W'$ の上で、$z_0\ne1$ では $H:=\varphi/(z_0-1)$、$W'$ では $H:=\psi$ と定めると、$H$ は $U'$ 上の正則関数である。$E_V:=F(M(A)\setminus V)$ はコンパクトで $U'$ に含まれる：$\chi\notin V$ かつ $\hat f_0(\chi)=1$ なら $\chi\in Z\setminus V=K'$ である。コンパクト性から $\delta>0$ を、$E$ の閉 $\delta$ 近傍 $N_\delta(E)$ が $W$ に、$N_\delta(E_V)$ が $U'$ に含まれるようにとる。
座標をずらす．$0< \varepsilon< \delta$ と $\tau_\varepsilon(z):=(z_0-\varepsilon,z_1,\dots,z_\nu)$ について
$$ \varphi_\varepsilon(z):=\frac{\varepsilon\,\varphi(\tau_\varepsilon z)}{z_0-1-\varepsilon}\quad(\tau_\varepsilon z\in W,\ z_0\ne1+\varepsilon),\qquad\varphi_\varepsilon(z):=\varepsilon H(\tau_\varepsilon z)\quad(\tau_\varepsilon z\in U') $$
と定める。二つの式は重なりで一致するので、$\varphi_\varepsilon$ は開集合の上の正則関数である。その定義域は $E$ を含む：$z\in E$ なら $\tau_\varepsilon z\in N_\delta(E)\subset W$ であり、$z_0=1+\varepsilon$ なら $z=F(\chi)$ は $|\hat f_0(\chi)|>1$ から $\chi\notin V_0$ なので $z\in E_V$、$\tau_\varepsilon z\in N_\delta(E_V)\subset U'$ である。多変数の正則汎関数計算 の定理「正則関数は Gelfand 変換に作用する」により、$\hat g_\varepsilon=\varphi_\varepsilon\circ F$ となる $g_\varepsilon\in A$ がある。
評価．$C_{\mathrm{out}}:=\max_{N_\delta(E_V)}|H|$、$C_{\mathrm{in}}:=\max_{N_\delta(F(K''))}|\partial\varphi/\partial z_0|$ とおく。$\chi\notin V$ なら $|\hat g_\varepsilon(\chi)|=\varepsilon|H(\tau_\varepsilon F(\chi))|\le C_{\mathrm{out}}\varepsilon$ である。$\chi\in K''$ なら $F(\chi)=(1,z')$ で、$\varphi(1,z')=1$ から
$$ \hat g_\varepsilon(\chi)=-\varphi(1-\varepsilon,z'),\qquad|\hat g_\varepsilon(\chi)+1|\le C_{\mathrm{in}}\varepsilon $$
である（$z_0$ 方向の線分の上で微分を積分する）。$\varepsilon$ を $C_{\mathrm{out}}\varepsilon< 1/4$、$C_{\mathrm{in}}\varepsilon< 1/4$ ととると、$\sup_{M(A)\setminus V}|\hat g_\varepsilon|< 1/4< 3/4\le|\hat g_\varepsilon(\chi^*)|$ であり、$\chi^*\in V$ なので $M(A)\setminus V$ は境界でない。
結論．$\chi_0\notin\partial_A$ なら、$O:=M(A)\setminus\partial_A$ に上の議論を使うと $\partial_A\subset M(A)\setminus V$ となる。境界を含む閉集合は境界なので、$M(A)\setminus V$ は境界であり、矛盾する。よって $\chi_0\in\partial_A$ である。$\square$