3次の対称群

1. $xa=(1\,2)(1\,2\,3)$ は $1\mapsto2\mapsto1$、$2\mapsto3$、$3\mapsto1\mapsto2$ で $(2\,3)$、$ax=(1\,3)$ なので $xa\neq ax$。位数 $6$ の元がないので巡回群でない。位数は、$3$-サイクルが $3$、互換が $2$ である。
2. $xax^{-1}=a^{-1}$ の両辺を $k$ 乗して $xa^kx^{-1}=a^{-k}$、$x^{-1}=x$ なので $xa^k=a^{-k}x$。よって $(a^ix^j)(a^kx^l)=a^ix^ja^kx^l=a^ia^{(-1)^jk}x^jx^l$（$j=0$ なら $x^0a^k=a^k$、$j=1$ なら $xa^k=a^{-k}x$）。$\square$

位数 $1,2,3,5$ の群は、Lagrange の定理により単位元でない元の位数が群の位数に等しいので巡回群であり、アーベル群である。位数 $4$ の群 $G$ は、位数 $4$ の元があれば巡回群である。なければ単位元でない元はすべて位数 $2$ で、任意の $g$ について $g=g^{-1}$ だから $gh=(gh)^{-1}=h^{-1}g^{-1}=hg$ となりアーベル群である。$S_3$ は位数 $6$ の非アーベル群（prop-symmetric-group-s3-basic）なので、位数最小の非アーベル群である。$\square$

$G$ を位数 $6$ の群とする。Lagrange の定理により元の位数は $1,2,3,6$ のいずれかである。位数 $6$ の元があれば $G$ は巡回群である。以下、位数 $6$ の元はないとする。
位数 $3$ の元 $a$ が存在する：もし存在しなければ単位元でない元はすべて位数 $2$ で、任意の $g$ について $g^2=e$、すなわち $g=g^{-1}$ となり、$gh=(gh)^{-1}=h^{-1}g^{-1}=hg$ なので $G$ はアーベル群である。$g\neq e$、$h\notin\{e,g\}$ をとると $\{e,g,h,gh\}$ は積で閉じた（$g^2=h^2=e$、$gh=hg$）部分群で位数 $4$ になり、$4\nmid6$ なので Lagrange の定理に反する。
$A:=\{e,a,a^2\}$ は位数 $3$ の部分群で、指数 $2$ なので正規部分群である（$g\notin A$ なら $gA=G\setminus A=Ag$）。$x\notin A$ をとると $G=A\cup Ax$、すなわち $G=\{a^ix^j\}$ である。$x^2\in A$（$x^2A=(xA)^2=A$）で、$x$ の位数は $2$ か $3$ だが、位数 $3$ なら $x^2=x^{-1}$ が $A$ に属し $x\in A$ となるので、$x^2=e$。正規性から $xax^{-1}\in A$ であり、位数 $3$ なので $xax^{-1}\in\{a,a^2\}$。
$xax^{-1}=a$ なら $a$ と $x$ は交換し、$G$ はアーベル群で、$ax$ の位数は $6$（$(ax)^2=a^2\neq e$、$(ax)^3=x\neq e$）となり仮定に反する。よって $xax^{-1}=a^{-1}$ であり、prop-symmetric-group-s3-basic の 2 と同じ計算で $G$ の積は $(a^ix^j)(a^kx^l)=a^{i+(-1)^jk}x^{j+l}$ で与えられる。したがって $S_3\to G$、$(1\,2\,3)^i(1\,2)^j\mapsto a^ix^j$ は積を保つ全単射、すなわち同型である。$\square$

$(-1)^j$ は $j$ を $2$ を法として見ても定まるので積は well-defined である。結合律は、$(r^is^j)(r^ks^l)(r^ms^n)$ をどちらの順に計算しても第 $1$ 成分が $i+(-1)^jk+(-1)^{j+l}m$、第 $2$ 成分が $j+l+n$ になることから従う。$r^0s^0$ が単位元、$r^is^j$ の逆元は $r^{-(-1)^ji}s^j$ である。よって $D_6$ は位数 $6$ の群である。prop-symmetric-group-s3-basic の 2 により $S_3$ の積は同じ式で与えられるので、$a^ix^j\mapsto r^is^j$ は積を保つ全単射である。$\square$

$\mathbb{F}_2^2$ の零でないベクトルは $v_1=\binom10$、$v_2=\binom01$、$v_3=\binom11$ の三つである。行列 $A\in GL_2(\mathbb{F}_2)$ は可逆なので零でないベクトルを零でないベクトルに写し、単射だから $\{v_1,v_2,v_3\}$ の置換 $\sigma_A$ を定める。$\sigma_{AB}=\sigma_A\sigma_B$ なので $A\mapsto\sigma_A$ は $GL_2(\mathbb{F}_2)\to S_3$ の準同型（$\{v_1,v_2,v_3\}$ の置換群を $S_3$ と同一視する）であり、$\sigma_A$ が恒等なら $A$ は基底 $v_1,v_2$ を固定するので $A=I$、すなわち単射である。可逆行列は第 $1$ 列が零でないベクトル（$3$ 通り）、第 $2$ 列がその倍数でないベクトル（$4-2=2$ 通り）で定まるので $|GL_2(\mathbb{F}_2)|=6$。位数 $6$ の群から $S_3$ への単射準同型は全単射だから、同型である。
$\mathbb{F}_2$ の零でない元は $1$ だけなので、可逆行列の行列式は $1$ であり $SL_2(\mathbb{F}_2)=GL_2(\mathbb{F}_2)$。スカラー行列は単位行列 $I$ だけなので、$PGL_2(\mathbb{F}_2)=GL_2(\mathbb{F}_2)/\{I\}$、$PSL_2(\mathbb{F}_2)=SL_2(\mathbb{F}_2)/\{I\}$ はいずれも $GL_2(\mathbb{F}_2)$ と同型である。$\square$

部分群の位数は $1,2,3,6$ である。位数 $2$ の部分群は位数 $2$ の元 $x,ax,a^2x$ の一つが生成する $\{e,x\}$、$\{e,ax\}$、$\{e,a^2x\}$ の三つ。位数 $3$ の部分群は位数 $3$ の元で生成され、$a$ と $a^2$ はともに $A$ を生成するので $A$ のみ。位数 $1,6$ は $\{e\}$、$S_3$。
正規性：$A$ は指数 $2$ なので正規（prf-symmetric-group-s3-classification と同じ）。$\{e,x\}$ は $axa^{-1}=a(xa^{-1})=a(ax)=a^2x\notin\{e,x\}$ なので正規でない。同様に $a(ax)a^{-1}=a^2(xa^{-1})=a^2\cdot ax=x\notin\{e,ax\}$、$a(a^2x)a^{-1}=a^3(xa^{-1})=xa^{-1}=ax\notin\{e,a^2x\}$ なので他の位数 $2$ の部分群も正規でない。$A\neq\{e\},S_3$ が正規部分群なので $S_3$ は単純群でない。特性部分群：自己同型は部分群の位数を保つので、位数 $3$ の唯一の部分群 $A$ は特性部分群であり、$\{e\}$・$S_3$ も特性部分群である。位数 $2$ の部分群は正規でないので、内部自己同型 $g\mapsto aga^{-1}$（自己同型である）で不変でなく、特性部分群でない。
中心 $Z(S_3)$ は正規部分群で、$a$ は $x$ と交換しないので $A\not\subset Z(S_3)$、$S_3$ はアーベル群でないので $Z(S_3)\neq S_3$、よって $Z(S_3)=\{e\}$。交換子 $[x,a]=xax^{-1}a^{-1}=a^{-1}a^{-1}=a$ なので $A\subset[S_3,S_3]$、一方 $S_3/A$ は位数 $2$ でアーベル群なので任意の交換子は $A$ に属し、$[S_3,S_3]=A$。極大部分群は $A$ と位数 $2$ の三つの部分群（どれも真に含む部分群は $S_3$ のみ）で、共通部分は $\{e\}$。$\square$

自己同型 $f$ は元の位数を保つので、位数 $2$ の元の集合 $T:=\{x,ax,a^2x\}$ を置換する。$x\cdot ax=xax=a^{-1}$ なので $x$ と $ax$ は $S_3$ を生成し、$f$ は $T$ 上の値で決まる。よって $f\mapsto f|_T$ は $\mathrm{Aut}(S_3)$ から $T$ の置換群（位数 $6$）への単射準同型であり、$|\mathrm{Aut}(S_3)|\le6$。一方、$g\mapsto c_g$（$c_g(y)=gyg^{-1}$）は $S_3\to\mathrm{Aut}(S_3)$ の準同型で、その核は中心 $Z(S_3)=\{e\}$（prop-symmetric-group-s3-subgroups）なので単射であり、像（内部自己同型群）は位数 $6$ である。したがって $\mathrm{Aut}(S_3)$ は位数 $6$ で内部自己同型群に等しく、$S_3$ と同型である。$\square$