元の位数

$n\mid m$ とすると $m=nq$ となる整数 $q$ があり、指数法則から $g^m=(g^n)^q=e^q=e$ である。
逆に $g^m=e$ とする。除法の原理により $m=nq+r$、$0\leq r< n$ となる整数 $q,r$ がある。すると
$$ g^r=g^{m-nq}=g^m(g^n)^{-q}=e\cdot e=e $$
である。もし $r>0$ なら、$r$ は $g^r=e$ を満たす $n$ より小さい正整数となり、$n$ の最小性に反する。ゆえに $r=0$、すなわち $n\mid m$ である。
後半は、$g^i=g^j$ が $g^{i-j}=e$ と同値であること（両辺に右から $g^{-j}$ を掛ける）と、前半を $m=i-j$ に適用することから従う。

1. 任意の整数 $k$ を $k=nq+r$、$0\leq r< n$ と割ると $g^k=(g^n)^qg^r=g^r$ なので、$\langle g\rangle\subset\{e,g,\dots,g^{n-1}\}$ である。逆の包含は $\langle g\rangle$ の定義から明らかである。$0\leq i< j\leq n-1$ に対して $g^i=g^j$ とすると、prop-order-of-element-divisibility により $n\mid(j-i)$ となるが、$0< j-i< n$ なのでこれは不可能である。よって $n$ 個の元は相異なる。
2. $i< j$ で $g^i=g^j$ とすると、$g^{j-i}=e$ かつ $j-i>0$ となり、$g$ が無限位数であることに反する。

$d=\gcd(k,n)$ とおき、$k=dk'$、$n=dn'$ と書く。このとき $k'$ と $n'$ は互いに素である。正整数 $m$ について、prop-order-of-element-divisibility により
$$ (g^k)^m=g^{km}=e\iff n\mid km\iff dn'\mid dk'm\iff n'\mid k'm $$
である。$\gcd(n',k')=1$ だから、$n'\mid k'm$ は $n'\mid m$ と同値である。実際、Bézoutの等式により $un'+vk'=1$ となる整数 $u,v$ をとれば $m=un'm+vk'm$ であり、$n'\mid k'm$ なら右辺は $n'$ で割り切れる。逆は明らかである。したがって $(g^k)^m=e$ となる正整数 $m$ は $n'$ の正の倍数全体であり、その最小値は $n'=n/d$ である。

1 は prop-order-of-element-power で $k=-1$ とすれば $\gcd(-1,n)=1$ から従う。2 は $k\mid n$ のとき $\gcd(k,n)=k$ であることから従う。3 について、$\langle g^k\rangle\subset\langle g\rangle$ は常に成り立ち、prop-order-of-element-cyclic-subgroup により両者の元の個数はそれぞれ $\operatorname{ord}(g^k)=n/\gcd(k,n)$ と $n$ である。有限集合の包含 $\langle g^k\rangle\subset\langle g\rangle$ が等号であることは元の個数が等しいことと同値なので、$\langle g^k\rangle=\langle g\rangle$ は $n/\gcd(k,n)=n$、すなわち $\gcd(k,n)=1$ と同値である。生成元 $g^k$ は $k\in\{0,1,\dots,n-1\}$ の範囲で数えれば十分であり（prop-order-of-element-cyclic-subgroup の 1）、その個数は $n$ と互いに素な $k$ の個数 $\varphi(n)$ である。4 は $[a]=a[1]$ と $\operatorname{ord}([1])=n$ に prop-order-of-element-power を適用すればよい。

1. 帰納法により任意の正整数 $m$ で $(xgx^{-1})^m=xg^mx^{-1}$ である。$xg^mx^{-1}=e$ の両辺に左から $x^{-1}$、右から $x$ を掛ければ $g^m=e$ となり、逆も同様なので、$(xgx^{-1})^m=e$ と $g^m=e$ は同値である。よってそれぞれを満たす正整数の集合は一致し、その最小値も、そのような正整数が存在しないことも一致する。
2. $hg=g^{-1}(gh)g$ なので、1 を $x=g^{-1}$ に適用すればよい。
3. 準同型性から任意の正整数 $m$ で $f(g)^m=f(g^m)$ であり、また $f(e_G)=e_H$ である。$f$ が単射なら $f(g^m)=e_H$ と $g^m=e_G$ は同値なので、1 と同じ議論で位数が一致する。一般の準同型では、$n=\operatorname{ord}(g)$ が有限のとき $f(g)^n=f(g^n)=f(e_G)=e_H$ なので、prop-order-of-element-divisibility により $\operatorname{ord}(f(g))$ は $n$ を割る。

$G$ は有限なので冪 $g^0,g^1,g^2,\dots$ がすべて相異なることはなく、$g^i=g^j$ となる整数 $0\leq i< j$ がある。すると $g^{j-i}=e$ かつ $j-i>0$ だから $g$ は有限位数をもつ。prop-order-of-element-cyclic-subgroup により部分群 $\langle g\rangle$ の位数は $\operatorname{ord}(g)$ に等しい。Lagrangeの定理（有限群の部分群の位数は群の位数を割る）を $\langle g\rangle\leq G$ に適用すれば $\operatorname{ord}(g)\mid|G|$ を得る。$|G|=\operatorname{ord}(g)\,q$ と書けば $g^{|G|}=(g^{\operatorname{ord}(g)})^q=e$ である。

$gh=hg$ から、帰納法により任意の正整数 $m$ で $h^mg=gh^m$ が成り立ち、これを用いて再び帰納法により $(gh)^m=g^mh^m$ が成り立つ。実際 $(gh)^{m+1}=(gh)^m(gh)=g^mh^mgh=g^mgh^mh=g^{m+1}h^{m+1}$ である。

1. $\ell=\operatorname{lcm}(a,b)$ とおくと $a\mid\ell$ かつ $b\mid\ell$ なので、prop-order-of-element-divisibility により $g^\ell=h^\ell=e$、よって $(gh)^\ell=g^\ell h^\ell=e$ である。ゆえに $gh$ は有限位数をもち、再び prop-order-of-element-divisibility により $\operatorname{ord}(gh)\mid\ell$ である。
2. $\gcd(a,b)=1$ とし、$m=\operatorname{ord}(gh)$ とおく。互いに素なら $\operatorname{lcm}(a,b)=ab$ なので、1 により $m\mid ab$ である。逆に $ab\mid m$ を示す。$(gh)^m=g^mh^m=e$ から $g^m=h^{-m}$ である。この元を $x$ とおく。$x=g^m$ より $x^a=(g^a)^m=e$、$x=h^{-m}$ より $x^b=(h^b)^{-m}=e$ である。よって $\operatorname{ord}(x)$ は $a$ と $b$ の公約数であり、$\gcd(a,b)=1$ を割るので $\operatorname{ord}(x)=1$、すなわち $x=e$ である。ゆえに $g^m=e$ かつ $h^m=e$ となり、$a\mid m$ かつ $b\mid m$ である。$m=am'$ と書くと $b\mid am'$ であり、$\gcd(a,b)=1$ だから prop-order-of-element-power の証明中と同じ Bézout の議論で $b\mid m'$、したがって $ab\mid m$ である。$m\mid ab$ と合わせて $m=ab$ を得る。

$e\in G_{\mathrm{tor}}$ である。$g,h\in G_{\mathrm{tor}}$ なら、$G$ は可換なので prop-order-of-element-commuting-product の 1 により $gh\in G_{\mathrm{tor}}$ であり、cor-order-of-element-power の 1 により $g^{-1}\in G_{\mathrm{tor}}$ である。よって $G_{\mathrm{tor}}$ は積と逆元で閉じた空でない部分集合であり、部分群である。

任意の置換が互いに素な巡回置換の積に分解されることは DF04 §1.3 による。互いに素な巡回置換 $c_i,c_j$（$i\neq j$）は可換である。実際、任意の点 $x$ について、$c_i,c_j$ の動かす点の集合は交わらないから、$x$ を動かすのはどちらか一方のみか、あるいはどちらも動かさない。$c_i$ が $x$ を動かすなら $c_i(x)$ も $c_i$ の動かす点の集合に属し $c_j$ には動かされないので $c_j(c_i(x))=c_i(x)=c_i(c_j(x))$（$c_j(x)=x$ だから）であり、$c_j$ が $x$ を動かす場合も同様、どちらも動かさなければ両辺とも $x$ である。よって $c_ic_j(x)=c_jc_i(x)$ が任意の $x$ で成り立ち、$c_ic_j=c_jc_i$ である。可換性から任意の正整数 $m$ で $\sigma^m=c_1^mc_2^m\cdots c_r^m$ である。
まず長さ $\ell$ の巡回置換 $c=(a_1\,a_2\,\cdots\,a_\ell)$ の位数が $\ell$ であることを示す。$c$ は $a_j$ を $a_{j+1}$（添字は法 $\ell$ で読み、$a_{\ell+1}=a_1$ とする）へ送り、他の点を固定するので、帰納法により $c^m(a_j)=a_{j+m}$ である。したがって $c^\ell=\mathrm{id}$ であり、$0< m<\ell$ では $c^m(a_1)=a_{1+m}\neq a_1$ なので $c^m\neq\mathrm{id}$ である。ゆえに $\operatorname{ord}(c)=\ell$ であり、prop-order-of-element-divisibility により、$c^m=\mathrm{id}$ と $\ell\mid m$ は同値である。
次に、$\sigma^m=\mathrm{id}$ であることと、すべての $i$ について $c_i^m=\mathrm{id}$ であることが同値であることを示す。後者から前者は $\sigma^m=c_1^m\cdots c_r^m$ から明らかである。前者を仮定し、$i$ を固定して $c_i$ が動かす点 $x$ をとる。$c_i$ は $x$ を $c_i$ の動かす点の集合の中へ送るので、$c_i^m(x)$ もその集合に属する。$j\neq i$ の $c_j$ はこの集合の点をすべて固定するので、$c_j^m$ もそうである。よって $\sigma^m=c_1^m\cdots c_r^m$ を $x$ に施すと、$c_i^m$ 以外の因子はすべて恒等的に働き、$x=\sigma^m(x)=c_i^m(x)$ を得る。$c_i$ が動かさない点は $c_i^m$ も動かさないので、$c_i^m=\mathrm{id}$ である。
以上から、$\sigma^m=\mathrm{id}$ であることと、すべての $i$ について $\ell_i\mid m$ であること、すなわち $\operatorname{lcm}(\ell_1,\dots,\ell_r)\mid m$ であることが同値である。このような正整数 $m$ の最小値は $\operatorname{lcm}(\ell_1,\dots,\ell_r)$ である。