折り紙による作図

要点：公理 (1)〜(6) の操作は O1〜O7 と交点をとる操作に含まれるので、$K$ の点は O1〜O7 でも折れる。反対に、O1〜O7 で折れる点が $K$ に入ることは、折った回数についての帰納法で示す。O4・O7・平行な場合の O3 の折り目は定規とコンパスで引け、定規とコンパスの作図は $K$ の外に出ない（Alp00 Theorem 5.2 から分かる）ので、その折り目は $K$ の 2 点を通り、公理 (1) で折れる。

方針：折り目は線分 $PR$ の垂直二等分線なので、その式を求め、微分で求めた接線の式と比べる。
段 1（折り目の式）。$PR$ の中点は $\left(\dfrac t2,0\right)$、$\overrightarrow{PR}=(t,-2)$ である。垂直二等分線は中点を通り $\overrightarrow{PR}$ に垂直なので
$$ t\left(x-\frac t2\right)-2(y-0)=0,\qquad y=\frac t2x-\frac{t^2}4 $$
である。
段 2（接線の式）。$y=\dfrac{x^2}4$ を微分すると $y'=\dfrac x2$ なので、点 $\left(t,\dfrac{t^2}4\right)$ における接線は $y-\dfrac{t^2}4=\dfrac t2(x-t)$、すなわち $y=\dfrac t2x-\dfrac{t^2}4$ で、段 1 と一致する（接線・法線と曲線の凹凸）。
段 3（逆）。放物線の点 $\left(s,\dfrac{s^2}4\right)$ での接線は、段 2 で $t=s$ としたものなので、$R=(s,-1)$ に $P$ を重ねる折り目である。$m=\dfrac t2$ とおけば $\dfrac{t^2}4=m^2$ である。$\square$

方針：平行移動と、$x$ と $y$ の入れかえで lem-ori-parabola と同じ計算に直す。
段 1（接すること）。$X=x-q$、$Y=y-r$ とおくと、放物線は $Y^2=4pX$、直線は $Y=mX+\dfrac pm$ である。代入すると $\left(mX+\dfrac pm\right)^2=4pX$、展開して $m^2X^2+2pX+\dfrac{p^2}{m^2}-4pX=0$、つまり
$$ m^2X^2-2pX+\frac{p^2}{m^2}=\left(mX-\frac pm\right)^2=0 $$
となり、重解 $X=\dfrac p{m^2}$ をもつ。よって直線は放物線に接する。
段 2（折り目であること）。焦点 $F=(p,0)$（$XY$ 座標）を準線 $X=-p$ の上の点 $R=(-p,u)$ に重ねる折り目は、$FR$ の中点 $\left(0,\dfrac u2\right)$ を通り $\overrightarrow{FR}=(-2p,u)$ に垂直な直線 $-2pX+u\left(Y-\dfrac u2\right)=0$ である。$u\ne0$ なら $Y=\dfrac{2p}uX+\dfrac u2$ で、$m=\dfrac{2p}u$ とおくと $\dfrac u2=\dfrac pm$ となり、段 1 の直線に一致する。$u$ が $0$ でない実数全体を動くと $m$ も $0$ でない実数全体を動くので、傾き $m\ne0$ の直線はどれもこの形で得られる。$u=0$ のときの折り目は $X=0$（縦の直線）で、傾きをもたない。$\square$

方針：lem-ori-parabola と lem-ori-second-parabola で、2 つの条件をそれぞれ「放物線の接線である」に言いかえ、切片を比べる。
段 1（1 つ目の条件）。$P_1$ を $\ell_1$ に重ねる折り目は、lem-ori-parabola により $y=mx-m^2$ の形の直線（縦でない直線）である。
段 2（2 つ目の条件）。$q=-a$、$r=b$、$p=c$ とおくと、放物線 $(y-r)^2=4p(x-q)$ の焦点は $(q+p,r)=(c-a,b)=P_2$、準線は $x=q-p=-a-c$ で $\ell_2$ である。段 1 の折り目は傾きをもつので、lem-ori-second-parabola により、$P_2$ を $\ell_2$ に重ねる折り目でもあるのは、$m\ne0$ で、$y=m(x-q)+r+\dfrac pm$ の形のときである。
段 3（切片を比べる）。同じ傾き $m$ の 2 直線 $y=mx-m^2$ と $y=mx-mq+r+\dfrac pm$ が一致するのは、切片が等しいとき、すなわち
$$ -m^2=-mq+r+\frac pm $$
のときである。両辺に $m$ を掛けて整理すると $m^3-qm^2+rm+p=0$ で、$q=-a$、$r=b$、$p=c$ を戻すと $m^3+am^2+bm+c=0$ となる。$c\ne0$ なので $m=0$ はこの方程式の解でなく、段 2 の $m\ne0$ は自動的に満たされる。逆向きも同じ式をたどればよい。これで 1 と 2 が示せた。
段 4（作図できる数であること）。ここでは Alp00 の Theorem 5.2 を証明せずに使う。Theorem 5.2 と prop-ori-alperin から次の 2 つが分かる。
(R1) 折り紙で作図できる数の全体は、足し算・引き算・掛け算・割り算（$0$ で割る以外）で閉じている。
(R1) 点 $(x,y)$ が折り紙で作図できることと、$x$ と $y$ がともに折り紙で作図できる数であることは同じである。
$a$、$b$、$c$ が折り紙で作図できる数なら、(i) により $c-a$、$-a-c$ も折り紙で作図できる数で、(ii) により点 $P_2=(c-a,b)$、$(0,-1)$、$(-a-c,0)$ が折れる。$\ell_1\colon y=-1$ は点 $(0,-1)$ を通り $y$ 軸に垂直な直線、$\ell_2\colon x=-a-c$ は点 $(-a-c,0)$ を通り $x$ 軸に垂直な直線なので、O4 で折れる（$x$ 軸は $O$ と $E$ を通る直線、$y$ 軸は $O$ を通り $x$ 軸に垂直な直線）。こうして O6 で折り目が得られる。折り目と直線 $x=0$（$y$ 軸）、$x=1$（$E$ を通り $x$ 軸に垂直な直線）の交点 $(0,-m^2)$、$(1,m-m^2)$ が折れるので、(ii) により $-m^2$ と $m-m^2$ は折り紙で作図できる数で、(i) により差 $m=(m-m^2)-(-m^2)$ も折り紙で作図できる数である。$\square$

方針：折り返し $\sigma$（折り目 $f$ についての線対称移動）は長さを保ち、2 回続けると元に戻る。これを使って、三角形 $OO'P'$ が二等辺三角形であることと、2 つの直角三角形が合同であることを示し、$x$ 軸から測った半直線 $OO'$ の角を $\alpha$ とすると、半直線 $OA'$、$OP'$ の角がそれぞれ $2\alpha$、$3\alpha$ になることを導く。
段 1（$OP'=OO'$）。$\sigma(O)=O'$、$\sigma(O')=O$、$\sigma(P)=P'$ である。$\sigma$ は長さを保つので $OP'=\sigma(O)\sigma(P')$ の長さ、つまり $O'P$ に等しい。$O'=(u,a)$（$u>0$）とおくと
$$ O'P=\sqrt{u^2+(2a-a)^2}=\sqrt{u^2+a^2}=OO' $$
である。よって $OP'=OO'$ で、三角形 $OO'P'$ は二等辺三角形である。
段 2（$A'$ は $O'P'$ の中点で、$O'A'=a$）。$A$ は線分 $OP$ の中点で、$\sigma$ は長さを保つので、$O'A'=OA=a$、$A'P'=AP=a$ である。$O'P'=OP=2a$ なので $O'A'+A'P'=O'P'$ となり、$A'$ は線分 $O'P'$ の上にあってその中点である。また $OO'=\sqrt{u^2+a^2}>a=O'A'$ なので $A'\ne O$ である。
段 3（$OA'$ は $O'P'$ に垂直で、角 $O'OP'$ を 2 等分する）。二等辺三角形 $OO'P'$ で、頂点 $O$ と底辺の中点 $A'$ を結ぶ線分は、三角形 $OO'A'$ と $OP'A'$ が 3 辺相等で合同になることから、底辺に垂直で頂角を 2 等分する。とくに $\angle OA'O'=90^\circ$ で、$P'$ は直線 $OA'$ について $O'$ と対称な点である。
段 4（$A'$ の位置）。$B=(u,0)$ とおくと、$O'B=a$ で $\angle OBO'=90^\circ$ である。段 2・3 により、$A'$ も $O'A'=a$、$\angle OA'O'=90^\circ$ を満たす。この 2 つの条件を満たす点 $X$ は、円 $(O';\,a)$ の上にあり、$OO'$ を直径とする円の上にもある（直径を見込む角が直角）。相異なる 2 円の交点は高々 2 つで、2 円の中心はどちらも直線 $OO'$ の上にあるので、交点は直線 $OO'$ について対称な 2 点である。$B$ はその 1 つなので、$A'$ は $B$ か、$B$ の直線 $OO'$ についての対称点 $B^*$ である。
段 5（角を求める）。$x$ 軸から測った半直線 $OO'$ の角を $\alpha$ とする（$u>0$、$a>0$ なので $0^\circ<\alpha<90^\circ$）。$A'=B$ とすると、直線 $OA'$ は $x$ 軸で、段 3 により $P'$ は $O'=(u,a)$ の $x$ 軸についての対称点 $(u,-a)$ となり、$y$ 座標が負なので $\ell$ の上にない。よって $A'=B^*$ で、半直線 $OA'$ の角は $2\alpha$ である。段 3 により $P'$ は直線 $OA'$ について $O'$ と対称なので、半直線 $OP'$ の角は $2\cdot2\alpha-\alpha=3\alpha$ である。$P'$ は $\ell$ の上にあるので $3\alpha=\theta$（$0^\circ<3\alpha<270^\circ$ と $0^\circ<\theta<90^\circ$ から、$360^\circ$ ずれることはない）。したがって $\alpha=\dfrac\theta3$ で、$OA'$ の角は $\dfrac{2\theta}3$ である。$\square$

方針：$2\cos\dfrac{2\pi}7$ が満たす 3 次方程式に thm-ori-cubic を使う。
段 1（3 次方程式）。正多角形の作図可能性 の例「正七角形の余弦が満たす 3 次方程式」により、$y=2\cos\dfrac{2\pi}7$ は $y^3+y^2-2y-1=0$ の根である。
段 2（折り方）。これは $a=1$、$b=-2$、$c=-1$ の場合で、$c\ne0$ である。thm-ori-cubic により、$P_1=(0,1)$ を $y=-1$ に、$P_2=(c-a,b)=(-2,-2)$ を直線 $x=-a-c=0$（$y$ 軸）に同時に重ねる折り目が 3 本あり、その傾きが 3 つの根 $1.2469\ldots$、$-0.4450\ldots$、$-1.8019\ldots$ である。傾き $1.2469\ldots$ の折り目 $y=1.2469\ldots x-1.5549\ldots$ で折り返すと、$P_1$ は $(2.4939\ldots,-1)$ に、$P_2$ は $(0,-3.6038\ldots)$ に移り、条件を満たしている。
段 3（正七角形）。段 2 の傾き $2\cos\dfrac{2\pi}7$ は、thm-ori-cubic により折り紙で作図できる数である。Alp00 Theorem 5.2 により、折り紙で作図できる数の全体は四則と正の数の平方根で閉じていて、点 $(x,y)$ が折れることは $x$、$y$ がともに折り紙で作図できる数であることと同じである。よって $\cos\dfrac{2\pi}7$ も折り紙で作図できる数で、正多角形の作図可能性 の補題「正多角形と余弦」と同じ議論（使うのは四則と平方根だけ）で、頂点 $\left(\cos\dfrac{2\pi k}7,\sin\dfrac{2\pi k}7\right)$ がすべて折れる。よって正七角形は折り紙で作図できる。$\square$