Lyapunovの安定性定理

$V\colon W\to\mathbb{R}$ を Lyapunov 関数とし、$\overline B(p,r)\subset W$ となる $r>0$ をとる。

1：$0<\varepsilon\le r$ とする。球面 $S_\varepsilon:=\{\lvert x-p\rvert=\varepsilon\}$ はコンパクトで、その上で $V>0$ は連続なので、最小値 $m>0$ をとる。$V(p)=0$ と $V$ の連続性から、$\delta\in(0,\varepsilon)$ があって $B(p,\delta)$ の上で $V< m$ である。$\lvert x_0-p\rvert<\delta$ とし、$x(t):=\varphi(t,x_0)$ の正の側の最大存在区間を $[0,T_+)$ とする。$\lvert x(t)-p\rvert\ge\varepsilon$ となる $t$ があったとすると、連続性からそのような最初の時刻 $t_1>0$ があり、$\lvert x(t_1)-p\rvert=\varepsilon$ である。$[0,t_1]$ で $x(t)\in\overline B(p,\varepsilon)\subset W$ なので、$\frac{d}{dt}V(x(t))=\dot V(x(t))\le0$ から $V(x(t_1))\le V(x_0)< m$ となり、$x(t_1)\in S_\varepsilon$ に反する。よって $[0,T_+)$ の全体で $x(t)\in B(p,\varepsilon)$ であり、解はコンパクト集合 $\overline B(p,\varepsilon)$ にとどまるので、常微分方程式 の定理「爆発の二者択一」により $T_+=\infty$ である。

2：1 を $\varepsilon=r$ に使って得た $\delta$ をとり、$\lvert x_0-p\rvert<\delta$ とする。$h(t):=V(x(t))$ は $t\ge0$ で増えず $0$ 以上なので、極限 $L\ge0$ をもつ。$L>0$ と仮定する。$B(p,\eta)$ の上で $V< L$ となる $\eta\in(0,r)$ をとると、$h(t)\ge L$ なので $x(t)$ はコンパクト集合 $K:=\{\eta\le\lvert x-p\rvert\le r\}$ にとどまる。$K$ の上で $\dot V<0$ は連続なので、$c>0$ があって $K$ の上で $\dot V\le-c$ である。すると $h(t)\le h(0)-ct\to-\infty$ となり矛盾する。よって $L=0$ である。$x(t)\to p$ でないとすると、$\varepsilon'\in(0,r)$ と $t_k\to\infty$ があって $\varepsilon'\le\lvert x(t_k)-p\rvert\le r$ となる。$V$ のコンパクト集合 $\{\varepsilon'\le\lvert x-p\rvert\le r\}$ の上の最小値 $m'>0$ について $h(t_k)\ge m'$ となり、$h(t_k)\to0$ に反する。$\square$

thm-ly-direct の 1 により $p$ は安定である。$\overline B(p,r)\subset W$ となる $r$ をとり、$\varepsilon=r/2$ に対する安定性の $\delta$ をとる。$\lvert x_0-p\rvert<\delta$ とし、$x(t):=\varphi(t,x_0)$ とおくと、すべての $t\ge0$ で $x(t)$ はコンパクト集合 $K:=\overline B(p,r/2)\subset W$ に入る。$h(t):=V(x(t))$ は増えないので極限 $L$ をもつ。

$x(t)\to p$ でないとすると、$\varepsilon'>0$ と $t_k\to\infty$ があって $\lvert x(t_k)-p\rvert\ge\varepsilon'$ となる。$K$ はコンパクトなので部分列をとって $x(t_k)\to q\in K$、$q\ne p$ としてよい。$q$ の正の側の最大存在区間を $[0,S_+)$ とし、$0\le s< S_+$ とする。$\varphi$ の定義域は開集合で $\varphi$ は連続なので、十分大きい $k$ で $\varphi(s,x(t_k))$ が定義されて $\varphi(s,q)$ に収束する。$\varphi(s,x(t_k))=x(t_k+s)\in K$ で $K$ は閉集合なので $\varphi(s,q)\in K$ であり、

$$V(\varphi(s,q))=\lim_{k\to\infty}h(t_k+s)=L$$

である。解が $[0,S_+)$ でコンパクト集合 $K$ にとどまるので、常微分方程式 の定理「爆発の二者択一」により $S_+=\infty$ である。よって $y(s):=\varphi(s,q)$ は $W$ にとどまる解で、$V(y(s))=L$ が一定だから $\dot V(y(s))=\frac{d}{ds}V(y(s))=0$ である。仮定から $y\equiv p$、とくに $q=y(0)=p$ となり矛盾する。$\square$

$p=0$ としてよい。$g(x):=f(x)-Ax$ とおくと、$f$ は $0$ で全微分可能なので、任意の $\eta>0$ に対し $r>0$ があって $\overline B(0,r)\subset U$ かつ $\lvert x\rvert\le r$ で $\lvert g(x)\rvert\le\eta\lvert x\rvert$ である。

1：lem-ly-equation の $P$（$B=A$）をとり、$P$ の最小の固有値を $\lambda>0$、$\Lambda:=\|P\|$ とおくと、$\lambda\lvert x\rvert^2\le V(x):=x^{\mathsf T}Px\le\Lambda\lvert x\rvert^2$ である。$\eta:=1/(4\Lambda)$ に対する $r$ をとると、$\lvert x\rvert\le r$ で

$$\dot V(x)=2x^{\mathsf T}Pf(x)=x^{\mathsf T}(PA+A^{\mathsf T}P)x+2x^{\mathsf T}Pg(x)\le-\lvert x\rvert^2+2\Lambda\eta\lvert x\rvert^2=-\tfrac12\lvert x\rvert^2\le-\frac{V(x)}{2\Lambda}$$

である。$\delta:=r\sqrt{\lambda/\Lambda}$、$\lvert x_0\rvert<\delta$ とすると $V(x_0)<\lambda r^2$ である。解 $x(t)$ が $\overline B(0,r)$ にある間は $V(x(t))$ は増えず、$V<\lambda r^2$ の点は $\lvert x\rvert< r$ を満たすので、解は球面 $\lvert x\rvert=r$ に届かず、常微分方程式 の定理「爆発の二者択一」によりすべての $t\ge0$ で定義される。$h(t):=V(x(t))$ は $h'\le-h/(2\Lambda)$ を満たすので $(e^{t/(2\Lambda)}h)'\le0$、すなわち $h(t)\le e^{-t/(2\Lambda)}h(0)$ であり、

$$\lvert x(t)\rvert\le\sqrt{h(t)/\lambda}\le\sqrt{\Lambda/\lambda}\;e^{-t/(4\Lambda)}\lvert x_0\rvert$$

である。

2：実部の最大値を $\alpha>0$ とし、$0< c<\alpha$ でどの固有値の実部とも等しくない $c$ をとる。$A$ の固有多項式を、実部が $c$ より大きい根の因子の積 $\chi_+$ と残りの積 $\chi_-$ に分ける。共役な根は実部が等しく重複度も等しいので、$\chi_\pm$ は実係数で、互いに素である。Bézout の等式 $a\chi_++b\chi_-=1$（$a,b$ は実係数の多項式）と Cayley–Hamilton の定理 $\chi_+(A)\chi_-(A)=O$ から、$E_\pm:=\ker\chi_\pm(A)$ について $\mathbb{R}^n=E_+\oplus E_-$ である（$x=a(A)\chi_+(A)x+b(A)\chi_-(A)x$ の第 1 項は $E_-$、第 2 項は $E_+$ に入り、$x\in E_+\cap E_-$ なら右辺は $0$）。$E_\pm$ は $A$ で不変で、$A$ を $E_\pm$ に制限した行列 $A_\pm$ の固有値 $\mu$ は $\chi_\pm(\mu)=0$ を満たす（$Av=\mu v$ なら $\chi_\pm(\mu)v=\chi_\pm(A)v=0$）。実部が $\alpha$ の固有値の固有ベクトル $v\in\mathbb{C}^n$ は $\chi_+(A)v=0$ を満たすので $E_+\ne\{0\}$ である。$E_+$ と $E_-$ の基底を並べて座標を替え、$A=\operatorname{diag}(A_+,A_-)$、$x=(x_+,x_-)$ としてよい。

$-(A_+-cI)$ と $A_--cI$ の固有値の実部は負なので、lem-ly-equation により正定値な対称行列 $P_\pm$ で $(A_+-cI)^{\mathsf T}P_++P_+(A_+-cI)=I$、$(A_--cI)^{\mathsf T}P_-+P_-(A_--cI)=-I$ となるものがある。$Q:=\operatorname{diag}(P_+,-P_-)$、$V(x):=x^{\mathsf T}Qx=x_+^{\mathsf T}P_+x_+-x_-^{\mathsf T}P_-x_-$ とおくと

$$x^{\mathsf T}(QA+A^{\mathsf T}Q)x=x_+^{\mathsf T}(I+2cP_+)x_+-x_-^{\mathsf T}(-I+2cP_-)x_-=\lvert x\rvert^2+2cV(x)$$

である。$q:=\|Q\|$ とし、$\eta:=1/(4q)$ に対する $r$ をとると、$\lvert x\rvert\le r$ で $\dot V(x)=\lvert x\rvert^2+2cV(x)+2x^{\mathsf T}Qg(x)\ge\frac12\lvert x\rvert^2+2cV(x)$ であり、$V(x)>0$ の点では $V(x)\le q\lvert x\rvert^2$ から $\dot V(x)\ge V(x)/(2q)$ である。

$\varepsilon:=r$ について、どの $\delta>0$ も安定性の条件を満たさないことを示す。$v\in E_+$ を $0<\lvert v\rvert<\min(\delta,r)$ となるようにとり、$x_0:=(v,0)$ とおくと $V(x_0)=v^{\mathsf T}P_+v>0$ である。$x(t):=\varphi(t,x_0)$ が正の側の最大存在区間のすべてで $\lvert x(t)\rvert< r$ を満たすと仮定すると、常微分方程式 の定理「爆発の二者択一」により $x(t)$ はすべての $t\ge0$ で定義される。$h(t):=V(x(t))$ とし、$T':=\sup\{t\mid[0,t]\text{ で }h>0\}$ とおく。$[0,T')$ で $h'\ge h/(2q)$ なので $h(t)\ge h(0)e^{t/(2q)}$ である。$T'<\infty$ なら連続性から $h(T')\ge h(0)e^{T'/(2q)}>0$ となり、$T'$ の定義に反する。よって $T'=\infty$ で $h(t)\to\infty$ となるが、$\lvert x\rvert< r$ では $V\le qr^2$ なので矛盾する。したがって $\lvert x(t)\rvert\ge r$ となる時刻があり、$p$ は不安定である。$\square$