一致の定理

$h:=f-g$ とおく。$h$ は $U$ 上の正則関数で、条件 1・2・3 はそれぞれ「$h\equiv0$」「$h$ の零点集合が $U$ に集積点を持つ」「ある $p$ で $h^{(k)}(p)=0$（すべての $k$）」に読み替えられる。
$A:=\{z\in U\mid h\text{ は }z\text{ のある近傍上で恒等的に }0\}$ とおく。$A$ は定義から開集合である。
まず「$p\in U$ が $h$ の零点集合の集積点ならば $p\in A$」を示す。$h$ は連続だから $h(p)=0$ である。もし $h$ が $p$ のどの近傍上でも恒等的に $0$ でなければ、零点の位数 の記事の命題（零点の孤立性）により $p$ のある近傍には $p$ 以外の零点がなく、$p$ が集積点であることに反する。ゆえに $p\in A$ である。
次に $A$ が $U$ の 閉集合 であることを示す。$q\in U$ を $A$ の 閉包 の点とする。$q$ の任意の近傍 $V$ は $A$ の点 $a$ を含み、$h$ は $a$ のある近傍上で恒等的に $0$ だから、$V$ は $q$ 以外の $h$ の零点を含む。したがって $q$ は $h$ の零点集合の集積点であり、前段により $q\in A$ である。ゆえに $A$ は閉集合である。
2 ⇒ 1：条件 2 の集積点 $p$ は前段により $A$ に属するので $A\neq\emptyset$ である。$U$ は連結で $A$ は空でない 開かつ閉集合 だから $A=U$、すなわち $h\equiv0$ である。
3 ⇒ 1：$p$ を中心とする $h$ の Taylor展開(複素解析)（正則関数の 冪級数 展開の存在と係数公式 $a_k=h^{(k)}(p)/k!$ は既知とする。出典 Ahl79 Chapter 4 §3）の係数は $h^{(k)}(p)/k!=0$ なので、$h$ は $p$ のある近傍上で恒等的に $0$、すなわち $p\in A$ である。あとは前段と同じである。
1 ⇒ 2、1 ⇒ 3 は明らかである。最後の主張は、収束点列の極限・開集合の点・線分の点がそれぞれ一致集合の集積点であることによる。

$h:=f-g$、$A:=\{x\in X\mid h\text{ は }x\text{ のある近傍上で恒等的に }0\}$ とおく。$A$ は開集合である。
$p\in X$ を $h$ の零点集合の集積点とし、$p$ を中心とする 局所座標 $z\colon V\to D$（$D$ は開円板）をとる。$h\circ z^{-1}$ は $D$ 上の正則関数で、その零点集合は $0$ を集積点に持つ（$z$ は 同相写像 だから集積点は集積点に写る）。thm-identity-theorem-plane を領域 $D$ に適用すると $h\circ z^{-1}\equiv0$、すなわち $h$ は $V$ 上で恒等的に $0$ であり $p\in A$ である。
$A$ が閉であることは prf-identity-theorem-plane と同じ議論による：$A$ の閉包の点 $q$ の任意の近傍は $A$ の点を含み、したがって $q$ 以外の零点を含むから、$q$ は零点集合の集積点で $q\in A$ である。
仮定により $A\neq\emptyset$ であり、$X$ は連結だから $A=X$ である。

$Z(f)$ が $X$ に集積点を持てば thm-identity-theorem-surface（$g=0$）により $f\equiv0$ となり仮定に反する。$Z(f)$ は連続写像による閉集合 $\{0\}$ の逆像として閉である。集積点を持たない集合の各点は孤立点である。コンパクト集合 $K$ に対しては、$Z(f)$ の各点 $x$ に $x$ 以外の零点を含まない開近傍 $V_x$ をとると、これらと開集合 $X\setminus Z(f)$ とで $K$ の開被覆が得られる。その有限部分被覆をとれば、$K\cap Z(f)$ は有限個の $V_x$ に含まれ、各 $V_x$ は零点を 1 個しか含まないから、$K\cap Z(f)$ は有限集合である。

$f\neq0$ とする。cor-identity-theorem-zeros-discrete により $Z(f)$ は閉集合で集積点を持たないから、$X\setminus Z(f)$ は開集合であり、$X$ は無限集合（開円板を含む）なので $X\setminus Z(f)\neq\emptyset$ である。$x\in X\setminus Z(f)$ では $f(x)g(x)=0$ かつ $f(x)\neq0$ より $g(x)=0$ である。ゆえに $g$ は空でない開集合上で $0$ であり、thm-identity-theorem-surface により $g=0$ である。

$F_1,F_2$ を 2 つの拡張とすると、$F_1,F_2$ は空でない開集合 $V$ 上で一致し、$V$ の各点は一致集合の集積点だから、thm-identity-theorem-surface により $F_1=F_2$ である。

$f(z)=\sum_{k\geq0}a_kz^k$ を $\mathbb{C}$ 全体で収束する Taylor 展開とし、$g(z):=\overline{f(\bar z)}=\sum_{k\geq0}\overline{a_k}z^k$ とおく。右辺の冪級数は $\sum|a_k||z|^k$ が収束するので $\mathbb{C}$ 全体で収束し、$g$ は整関数である。実数 $x$ に対し $g(x)=\overline{f(x)}=f(x)$ だから、$f$ と $g$ は実軸上で一致し、thm-identity-theorem-plane により $\mathbb{C}$ 上で $f=g$ である。

$A:=\{x\in X\mid f\text{ と }g\text{ は }x\text{ のある近傍上で一致する}\}$ とおく。$A$ は開集合である。$A$ が空でなく閉であることを示せば、$X$ の連結性から $A=X$ が従う。
$p$ を一致集合の集積点、または $A$ の閉包の点とする。どちらの場合も $p$ に収束する相異なる点列 $(p_n)$ で $f(p_n)=g(p_n)$ となるものがある（後者では $A$ の点の近傍全体で一致するので、$p$ に近づく一致点がとれる）。$Y$ は Hausdorff空間 だから点列の極限は一意で、$f(p)=\lim f(p_n)=\lim g(p_n)=g(p)$ である。$y:=f(p)=g(p)$ を中心とする局所座標 $w\colon W\to\mathbb{C}$ をとり、$p$ を中心とする局所座標 $z\colon V\to D$（$D$ は開円板）を $f(V)\cup g(V)\subset W$ となるように小さくとる。$w\circ f\circ z^{-1}$ と $w\circ g\circ z^{-1}$ は領域 $D$ 上の正則関数で、$0$ に収束する相異なる点列 $z(p_n)$ の上で一致するから、thm-identity-theorem-plane により $D$ 上で一致する。$w$ は単射だから $V$ 上で $f=g$、すなわち $p\in A$ である。したがって $A$ は空でなく、閉である。