半正多面体

4 点 $(3,3,3)$、$(3,-3,-3)$、$(-3,3,-3)$、$(-3,-3,3)$ を頂点とする正四面体を考える。どの 2 点の距離も $\sqrt{0^2+6^2+6^2}=6\sqrt2$ である。
各頂点で、そこから出る 3 本の辺を、頂点から $\frac13$ のところで結ぶ平面で角を切り落とす。たとえば頂点 $(3,3,3)$ から $(3,-3,-3)$ へ向かう辺の $\frac13$ の点は
$$ (3,3,3)+\frac13\bigl((3,-3,-3)-(3,3,3)\bigr)=(3,1,1) $$
である。同じ計算で、切り口の点は 12 個あり、座標は $(3,1,1)$ の成分を並べかえて、負の符号を偶数個（$0$ 個か $2$ 個）つけたもの
$$ (3,1,1),\ (1,3,1),\ (1,1,3),\ (3,-1,-1),\ (-1,3,-1),\ (-1,-1,3),\ \dots $$
になる。
(1) 切り口は 4 つの正三角形である。たとえば頂点 $(3,3,3)$ の切り口 $(3,1,1)$、$(1,3,1)$、$(1,1,3)$ は、どの 2 点の距離も $\sqrt{4+4+0}=2\sqrt2$ である。
(2) もとの 4 枚の正三角形の面は、3 つの角を切られて六角形になる。1 本の辺 $6\sqrt2$ から両端の $\frac13$ ずつ $2\sqrt2$ を除くと、真ん中に $2\sqrt2$ が残る。切り口の辺も $2\sqrt2$ なので、六角形の 6 辺はどれも $2\sqrt2$ で、切り取られた面の角の部分は、2 辺が $2\sqrt2$ で間の角が $60^\circ$ の三角形、つまり正三角形なので、六角形の内角はどれも $180^\circ-60^\circ=120^\circ$ である。よって正六角形である。
(3) 新しい頂点 12 個のどれにも、正三角形 1 枚と正六角形 2 枚が集まる。面は $F=4+4=8$ 枚、辺は面ごとに数えて $\dfrac{3\cdot4+6\cdot4}2=18$ 本で、$V-E+F=12-18+8=2$ である。
この立体を 切頂四面体 という（図 1）。

立方体 $-1\le x,y,z\le1$ の各頂点で、そこから出る 3 本の辺の中点を結ぶ平面で角を切り落とす。辺の中点は $(\pm1,\pm1,0)$、$(\pm1,0,\pm1)$、$(0,\pm1,\pm1)$ の 12 個で、これが新しい頂点になる。切り口は 1 辺 $\sqrt2$ の正三角形 8 枚、もとの正方形の面は各辺の中点を結んだ 1 辺 $\sqrt2$ の正方形 6 枚になる（図 2）。どの頂点にも正三角形・正方形・正三角形・正方形の順に 4 枚が集まる。
この立体は 立方八面体 で、正多面体の分類 の反例「立方八面体」で、面が 2 種類になると正多面体の分類が成り立たなくなる例として出てくる。

1. 立方体の頂点は $4.4.4$、正二十面体の頂点は $3.3.3.3.3$ である。
2. 切頂四面体（ex-ars-tt）の頂点は $3.6.6$、立方八面体（ex-ars-co）の頂点は $3.4.3.4$ である。立方八面体の頂点を $3.3.4.4$ と書くのは誤りである。正三角形 2 枚は隣り合わず、正方形をはさんで向かい合っている。
3. 3 枚の面が集まる頂点では、並び方は 3 つの数の組だけで決まる。$3.6.6$ を巡回させると $6.6.3$、$6.3.6$ になり、3 つの数をどの順に並べても、巡回か逆順で互いに移り合うからである。

1. 正五角柱（2 枚の正五角形と 5 枚の正方形。辺の長さはすべて同じ）の頂点は、どれも $4.4.5$ である。面は 2 種類の正多角形で、条件 (i)〜(iii) を満たすが、角柱なので半正多面体に数えない。$n=4$ の正四角柱は立方体である。
   反角柱の例を開く

   (2) 正方形 2 枚を $45^\circ$ ずらして平行に置き、側面を 8 枚の正三角形で囲むと、正四角反角柱になる。どの頂点も $3.3.3.4$ である。

1. $3.6.6$：角の和は $60^\circ+120^\circ+120^\circ=300^\circ<360^\circ$、$\dfrac13+\dfrac16+\dfrac16=\dfrac23>\dfrac12$ である。
2. $4.6.12$：角の和は $90^\circ+120^\circ+150^\circ=360^\circ$ で、$\dfrac14+\dfrac16+\dfrac1{12}=\dfrac12$ と等号になる。平らに並んでしまい、凸多面体の頂点にはならない。$4.6.12$ は 正多角形の敷き詰め の平面の敷き詰めの頂点の形である。
3. $3.7.7$：角の和は $60^\circ+2\times\dfrac{900^\circ}7=\dfrac{2220^\circ}7\approx317.1^\circ<360^\circ$ で、補題 1 は満たす。それでも $3.7.7$ の凸多面体はない。これを除くのが次の補題 2 である。

1. $3.7.7$：$a=7$ とすると、残りは $3$ と $7$ で等しくない。よって $3.7.7$ の多面体はない。図 3 は、七角形の面 $P$ の辺のとなりが三角形・七角形・三角形・…と交互に決まっていき、7 本めの辺で三角形どうしが隣り合う様子である。
2. $3.6.6$：奇数は $3$ だけで、$a=3$ とすると残りは $6$ と $6$ で等しい。補題 2 の条件を満たす。
   ほかの例を開く

   (3) $3.4.4$：$a=3$ の残りは $4$ と $4$ で等しい（正三角柱）。$3.3.4$ は、$a=3$（1 つめの $3$）の残りが $3$ と $4$ で等しくないので、ない。

1. $3.10.10$（切頂十二面体）：$S=60^\circ+144^\circ+144^\circ=348^\circ$ で、$V=\dfrac{720^\circ}{12^\circ}=60$、$E=90$、$F=60\left(\dfrac13+\dfrac1{10}+\dfrac1{10}\right)=20+12=32$ である。$5.6.6$（切頂二十面体、サッカーボールの形）でも $S=348^\circ$ なので同じ計算で $V=60$ になり、Eulerの多面体定理（高校数学） の例「サッカーボールの形」と Descartesの角欠損定理 の例「頂点の数を角から求める」の値と一致する。
2. $4.6.8$：$S=90^\circ+120^\circ+135^\circ=345^\circ$ で、$V=\dfrac{720^\circ}{15^\circ}=48$、$E=72$、$F=48\left(\dfrac14+\dfrac16+\dfrac18\right)=12+8+6=26$ である。$V-E+F=48-72+26=2$ になる。

斜方立方八面体（頂点の形 $3.4.4.4$）は、$a=1+\sqrt2$ として $(1,1,a)$ の成分を並べかえて符号をつけた 24 点を頂点とする。高さ $z=1$ と $z=-1$ の水平な正八角形の間に正方形 8 枚が帯のように並び、その上と下に、正方形 1 枚・正方形 4 枚・正三角形 4 枚でできた「ふた」がのっている（図 6）。
下のふた（$z\le-1$ の部分）だけを $z$ 軸のまわりに $45^\circ$ 回してから付け直す。$z=-1$ の正八角形は $45^\circ$ 回しても重なるので、付け直せる。いちばん下の正方形の頂点は $(\pm\sqrt2,0,-a)$、$(0,\pm\sqrt2,-a)$ に移る（図 7）。こうしてできた立体も凸多面体で（Wei26b）、面は正三角形 8 枚と正方形 18 枚で、どの頂点のまわりも正三角形 1 枚と正方形 3 枚が並び、頂点の形はどれも $3.4.4.4$ である（Wei26b の elongated square gyrobicupola）。
しかし、この立体は条件 (iii) を満たさない。頂点 $u$ から最も遠い頂点までの距離を $d(u)$ とする。立体を自分自身に重ねる回転・鏡映は頂点を頂点に移し、距離を変えないので、$u$ を $w$ に移すものがあれば $d(u)=d(w)$ である。ところが、上のふたの頂点 $u=(1,1,a)$ では、最も遠いのは下の $(-\sqrt2,0,-a)$ で
$$ d(u)^2=(1+\sqrt2)^2+1^2+(2a)^2=16+10\sqrt2\approx30.14 $$
であり、帯の頂点 $w=(1,a,1)$ では、最も遠いのは $(-1,-a,-1)$ で
$$ d(w)^2=2^2+(2a)^2+2^2=20+8\sqrt2\approx31.31 $$
である（$a^2=3+2\sqrt2$ を使った。ほかの頂点までの距離の 2 乗が、これ以下であることは下の「詳細」）。$d(u)\ne d(w)$ なので、$u$ を $w$ に移す回転・鏡映はない。Wei26a は、この立体を、赤道の近くの頂点と極の近くの頂点が区別できるという理由で半正多面体から除いている。

1. 正五角柱は、面が 2 種類の正多角形で、どの頂点も $4.4.5$ で、頂点どうしも回転・鏡映で移り合う。条件 (i)〜(iii) を満たすが、正 $n$ 角柱は $n=3,5,6,7,\dots$ といくらでもある。条件 (iv) がなければ、半正多面体は 13 個で尽きない。
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   (2) 平面の敷き詰めの頂点の形 $4.8.8$ は、lem-ars-odd の条件を満たす（奇数がない）が、$\dfrac14+\dfrac18+\dfrac18=\dfrac12$ で lem-ars-angle の不等式を満たさない。閉じた立体でないと、角の和の不等式が成り立たなくなる（正多角形の敷き詰め）。

   (3) 立方八面体は半正多面体だが、頂点に 4 枚の面が集まるので、頂点の形 $3.4.3.4$ は thm-ars-main の一覧にない。thm-ars-main は、頂点に 3 枚の面が集まる場合だけの定理である。