アフィンスキーム

1：どの素イデアルも $0$ を含み、$A$ を含まない（素イデアルは真のイデアル）。
2：$\mathfrak{p}$ がすべての $I_\lambda$ を含むことと、$I_\lambda$ たちが生成するイデアル $\sum_\lambda I_\lambda$ を含むことは同値である。
3：$IJ\subset I\cap J\subset I,J$ なので $V(I)\cup V(J)\subset V(I\cap J)\subset V(IJ)$ である。逆に $\mathfrak{p}\supset IJ$ で $\mathfrak{p}\not\supset I$ とすると、$a\in I\setminus\mathfrak{p}$ がとれ、任意の $b\in J$ について $ab\in IJ\subset\mathfrak{p}$ かつ $a\notin\mathfrak{p}$ だから $b\in\mathfrak{p}$ である。よって $J\subset\mathfrak{p}$ となり $V(IJ)\subset V(I)\cup V(J)$ である。
4：$J\subset\sqrt{I}$ なら、$\mathfrak{p}\supset I$ に対し $\mathfrak{p}\supset\sqrt{I}\supset J$（$a^n\in I\subset\mathfrak{p}$ なら $a\in\mathfrak{p}$）なので $V(I)\subset V(J)$ である。逆に $V(I)\subset V(J)$ なら、$I$ を含むすべての素イデアルが $J$ を含むので $J\subset\bigcap_{\mathfrak{p}\supset I}\mathfrak{p}=\sqrt{I}$ である。$I=A$ なら $V(I)=\emptyset$ は 1 による。$V(I)=\emptyset$ なら $V(I)\subset V(A)$ だから $A\subset\sqrt{I}$、すなわち $1\in\sqrt{I}$ となり $1\in I$ である。
5：$fg\notin\mathfrak{p}$ ⟺ $f\notin\mathfrak{p}$ かつ $g\notin\mathfrak{p}$ は素イデアルの定義そのものである。$D(f)=\emptyset$ ⟺ $V((f))=X=V(0)$ ⟺ $f\in\sqrt{0}$（4 による）。$D(f)=X$ ⟺ $V((f))=\emptyset$ ⟺ $(f)=A$（4 による）⟺ $f$ が単元。
6：各 $D(f)$ は閉集合 $V((f))$ の補集合なので開集合である。開集合 $U=X\setminus V(I)$ と $\mathfrak{p}\in U$ に対し、$I\not\subset\mathfrak{p}$ だから $f\in I\setminus\mathfrak{p}$ がとれ、$\mathfrak{p}\in D(f)$ である。$\mathfrak{q}\in D(f)$ なら $f\in I\setminus\mathfrak{q}$ より $I\not\subset\mathfrak{q}$、すなわち $\mathfrak{q}\in U$ なので $D(f)\subset U$ である。よって $U$ は基本開集合の和集合であり、$\{D(f)\}$ は開基である。
7：補集合をとると $D(f)\subset\bigcup_iD(g_i)$ ⟺ $\bigcap_iV((g_i))\subset V((f))$ ⟺ $V((g_i)_i)\subset V((f))$（2 による）⟺ $(f)\subset\sqrt{(g_i)_i}$（4 による）⟺ $f\in\sqrt{(g_i)_i}$。最後の同値は、$f^n\in(g)$ が $f^n=cg$ と書けることである。$\square$

開基の元による被覆について示せば十分である（任意の開被覆の各元を基本開集合の和集合に置き換え、有限個の基本開集合を選んだあと、それぞれを含む元の開集合を選べばよい）。$D(f)\subset\bigcup_{i\in I}D(g_i)$ とすると、prop-affine-scheme-zariski の 7 により $f\in\sqrt{(g_i)_{i\in I}}$ であり、$f^n=\sum_{i\in I_0}a_ig_i$（$I_0\subset I$ は有限集合、$a_i\in A$）と書ける。すると $f\in\sqrt{(g_i)_{i\in I_0}}$ なので、再び 7 により $D(f)\subset\bigcup_{i\in I_0}D(g_i)$ である。$\square$

$\mathcal{O}_X(U)$ が環であること：$s,t\in\mathcal{O}_X(U)$ が $\mathfrak{p}\in U$ の近傍 $W_1$ で $s=a/g$、$W_2$ で $t=b/h$ と書けていれば、$W_1\cap W_2$ 上で $s+t=(ah+bg)/(gh)$、$st=(ab)/(gh)$ であり、$gh$ は $W_1\cap W_2$ の各点で素イデアルに属さない。よって $s+t$、$st$ も局所的に分数で書ける。定数関数 $\mathfrak{p}\mapsto0/1$、$\mathfrak{p}\mapsto1/1$ が零元・単位元である。関数の制限は局所的に分数で書ける性質を保つ環準同型で、制限の合成則を満たすので、$\mathcal{O}_X$ は前層である。
層の条件：開被覆 $U=\bigcup_iU_i$ と $s_i\in\mathcal{O}_X(U_i)$ で $s_i|_{U_i\cap U_j}=s_j|_{U_i\cap U_j}$ を満たすものをとる。$\mathfrak{p}\in U_i$ となる $i$ を選び $s(\mathfrak{p}):=s_i(\mathfrak{p})$ とおくと、両立条件からこれは $i$ の選び方によらず、関数 $s\colon U\to\coprod A_{\mathfrak{p}}$ が定まる。$s$ は各 $U_i$ 上で $s_i$ に一致するので局所的に分数で書け、$s\in\mathcal{O}_X(U)$ である。また $s\in\mathcal{O}_X(U)$ が各 $U_i$ で $0$ なら関数として $0$ である。よって貼り合わせの存在と一意性が成り立つ。$\square$

同じ芽をもつ切断は $\mathfrak{p}$ のある開近傍で一致するので $\mathfrak{p}$ での値も等しく、写像は代表の取り方によらず定まり、各点ごとの演算から環準同型である。
全射性：$A_{\mathfrak{p}}$ の任意の元は $a/g$（$a,g\in A$、$g\notin\mathfrak{p}$）と書ける。開集合 $D(g)\ni\mathfrak{p}$ の上で $\mathfrak{q}\mapsto a/g\in A_{\mathfrak{q}}$ と定めた関数 $s$ は $\mathcal{O}_X(D(g))$ の元であり、$s(\mathfrak{p})=a/g$ である。
単射性：$s\in\mathcal{O}_X(U)$、$t\in\mathcal{O}_X(U')$ が $s(\mathfrak{p})=t(\mathfrak{p})$ を満たすとする。定義により $\mathfrak{p}$ の開近傍 $W\subset U\cap U'$ と $a,g,b,h\in A$ で、すべての $\mathfrak{q}\in W$ について $g,h\notin\mathfrak{q}$、$s(\mathfrak{q})=a/g$、$t(\mathfrak{q})=b/h$ となるものがある。$A_{\mathfrak{p}}$ で $a/g=b/h$ なので、局所化の定義により $c\in A\setminus\mathfrak{p}$ で $c(ah-bg)=0$ となるものがある。開集合 $W':=W\cap D(c)$ は $\mathfrak{p}$ を含み、その各点 $\mathfrak{q}$ で $c\notin\mathfrak{q}$ なので $A_{\mathfrak{q}}$ において $a/g=b/h$、すなわち $s(\mathfrak{q})=t(\mathfrak{q})$ である。よって $s|_{W'}=t|_{W'}$ となり、$s$ と $t$ は $\mathfrak{p}$ で同じ芽をもつ。$\square$

$\mathfrak{p}\in D(f)$ では $f\notin\mathfrak{p}$ なので $a/f^n\in A_{\mathfrak{p}}$ は意味をもち、$\psi(a/f^n)$ は $D(f)$ 全体で 1 つの分数で書けているから $\mathcal{O}_X(D(f))$ の元である。$\psi$ が well-defined な環準同型であることは局所化の普遍性による。
単射性：$\psi(a/f^n)=\psi(b/f^m)$ とする。各 $\mathfrak{p}\in D(f)$ で $a/f^n=b/f^m$ が $A_{\mathfrak{p}}$ で成り立つので、$h\notin\mathfrak{p}$ で $h(f^ma-f^nb)=0$ となるものがある。イデアル $J:=\operatorname{Ann}(f^ma-f^nb)=\{c\in A\mid c(f^ma-f^nb)=0\}$ について、いま示したことは「$D(f)$ のどの点も $J$ を含まない」、すなわち $V(J)\subset V((f))$ を意味する。prop-affine-scheme-zariski の 4 により $f\in\sqrt{J}$、つまり $f^l(f^ma-f^nb)=0$ となる $l$ があり、これは $A_f$ で $a/f^n=b/f^m$ であることである。
全射性：$s\in\mathcal{O}_X(D(f))$ をとる。定義により $D(f)$ は開集合 $V_i$ で覆われ、各 $V_i$ 上で $s=a_i/g_i$（$V_i\subset D(g_i)$）と書ける。基本開集合は開基なので、$V_i$ を細分して初めから $V_i=D(h_i)$ としてよい。$D(h_i)\subset D(g_i)$ から prop-affine-scheme-zariski の 7 により $h_i^{n}=c_ig_i$ となる $n\ge1$、$c_i\in A$ があり、$D(h_i)$ の各点で $a_i/g_i=c_ia_i/h_i^{n}$ である。$D(h_i^n)=D(h_i)$ なので、$h_i$ を $h_i^n$、$a_i$ を $c_ia_i$ で置き換えて、初めから $D(h_i)$ 上で $s=a_i/h_i$ としてよい。prop-affine-scheme-quasi-compact により有限個の $D(h_1),\dots,D(h_r)$ で $D(f)$ が覆われる。
$D(h_i)\cap D(h_j)=D(h_ih_j)$ の上で $a_i/h_i=a_ih_j/(h_ih_j)$ と $a_j/h_j=a_jh_i/(h_ih_j)$ はともに $s$ に等しいので、$f$ を $h_ih_j$ に置き換えた $\psi$ の単射性により $A_{h_ih_j}$ で $a_ih_j=a_jh_i$、すなわち $(h_ih_j)^{N}(h_ja_i-h_ia_j)=0$ となる $N$ がある。$i,j$ は有限個なので $N$ は共通にとれる。$h_i$ を $h_i^{N+1}$、$a_i$ を $h_i^Na_i$ で置き換えると（$D(h_i)$ も $D(h_i)$ 上の $a_i/h_i$ も変わらない）、すべての $i,j$ について
$$ h_ja_i=h_ia_j $$
が $A$ で成り立つ。$D(f)\subset\bigcup_{i=1}^rD(h_i)$ なので prop-affine-scheme-zariski の 7 により $f^m=\sum_{i=1}^rb_ih_i$（$b_i\in A$）と書ける。$a:=\sum_ib_ia_i$ とおくと、各 $j$ について
$$ h_ja=\sum_ib_ia_ih_j=\sum_ib_ia_jh_i=f^ma_j $$
となる。よって $D(h_j)$ 上で $a/f^m=a_j/h_j=s$ であり、$D(h_j)$ たちが $D(f)$ を覆うので $s=\psi(a/f^m)$ である。$\square$

$A_f$ の素イデアルは $\mathfrak{p}A_f$（$\mathfrak{p}\in D(f)$）の形にちょうど一度ずつ書け、$\iota^{-1}(\mathfrak{p}A_f)=\mathfrak{p}$ である（AM69 Proposition 3.11）。よって $\mathfrak{q}\mapsto\iota^{-1}(\mathfrak{q})$ は $\operatorname{Spec}A_f$ から $D(f)$ への全単射である。$a/f^n\in A_f$ について $D(a/f^n)=D(a/1)$ であり、$\mathfrak{p}A_f\in D(a/1)$ ⟺ $a\notin\mathfrak{p}$ なので、この全単射のもとで $\operatorname{Spec}A_f$ の基本開集合 $D(a/1)$ は $D(a)\cap D(f)=D(af)$ に対応する。両側で基本開集合は開基をなすので同相である。
構造層について。$\mathfrak{p}\in D(f)$ では prop-affine-scheme-stalk により両側の茎は $A_{\mathfrak{p}}$ と $(A_f)_{\mathfrak{p}A_f}$ で、$f$ は $A_{\mathfrak{p}}$ で既に単元なので自然な準同型 $A_{\mathfrak{p}}\to(A_f)_{\mathfrak{p}A_f}$ は同型である。開集合 $U\subset D(f)$ と $s\in\mathcal{O}_{\operatorname{Spec}A}(U)$ に対し $\mathfrak{p}A_f\mapsto$（$s(\mathfrak{p})$ の像）と定めれば環の層の射 $\mathcal{O}_{\operatorname{Spec}A}|_{D(f)}\to\mathcal{O}_{\operatorname{Spec}A_f}$ が得られ（局所的な分数表示 $a/g$ は $(a/1)/(g/1)$ に移る）、各茎で上の同型を誘導する。茎ですべて同型な層の射は同型である（層）。$\square$

1：$\varphi^{-1}(\mathfrak{q})$ は $1$ を含まず（$\varphi(1)=1\notin\mathfrak{q}$）、$ab\in\varphi^{-1}(\mathfrak{q})$ なら $\varphi(a)\varphi(b)\in\mathfrak{q}$ から $\varphi(a)\in\mathfrak{q}$ または $\varphi(b)\in\mathfrak{q}$ なので、素イデアルである。$a\notin\varphi^{-1}(\mathfrak{q})$ ⟺ $\varphi(a)\notin\mathfrak{q}$ が $f^{-1}(D(a))=D(\varphi(a))$ であり、基本開集合が開基をなす（prop-affine-scheme-zariski の 6）ので $f$ は連続である。
2：$g\notin\mathfrak{p}=\varphi^{-1}(\mathfrak{q})$ なら $\varphi(g)\notin\mathfrak{q}$ なので、局所化の普遍性により $\varphi_{\mathfrak{q}}$ は well-defined な環準同型である。$a\in\mathfrak{p}$ なら $\varphi(a)\in\mathfrak{q}$ なので $\varphi_{\mathfrak{q}}(\mathfrak{p}A_{\mathfrak{p}})\subset\mathfrak{q}B_{\mathfrak{q}}$、すなわち局所準同型である。
3：$s$ が $\mathfrak{p}$ の開近傍 $W\subset V$ 上で $a/g$ と書けていれば、$f^\sharp_V(s)$ は開集合 $f^{-1}(W)$ の上で $\varphi(a)/\varphi(g)$ と書け、$\varphi(g)$ は $f^{-1}(W)$ の各点 $\mathfrak{q}$ に属さない（$g\notin f(\mathfrak{q})$ だから）。よって $f^\sharp_V(s)\in\mathcal{O}_{\operatorname{Spec}B}(f^{-1}(V))$ である。$f^\sharp_V$ は各点ごとの演算から環準同型で、制限と両立するので層の射である。茎の写像 $f^\sharp_{\mathfrak{q}}\colon\mathcal{O}_{\operatorname{Spec}A,\mathfrak{p}}\to\mathcal{O}_{\operatorname{Spec}B,\mathfrak{q}}$ は、prop-affine-scheme-stalk の同型（芽を値に送る）のもとで $s(\mathfrak{p})\mapsto\varphi_{\mathfrak{q}}(s(\mathfrak{p}))$、すなわち $\varphi_{\mathfrak{q}}$ であり、2 により局所準同型である。
4：thm-affine-scheme-basic-sections により $a\in A$ に対応する大域切断は $\mathfrak{p}\mapsto a/1$ であり、$f^\sharp$ はそれを $\mathfrak{q}\mapsto\varphi(a)/1$、すなわち $\varphi(a)\in B$ に対応する大域切断に送る。よって $f^\sharp_{\operatorname{Spec}A}=\varphi$ である。合成と恒等射の式は、位相写像については $(\psi\circ\varphi)^{-1}(\mathfrak{r})=\varphi^{-1}(\psi^{-1}(\mathfrak{r}))$、層の射については各点での $\varphi_{\mathfrak{q}}$ の合成が $(\psi\circ\varphi)_{\mathfrak{r}}$ であることから従う。$\square$

$\operatorname{Spec}$ が関手であることは prop-affine-scheme-morphism-from-ring-hom の 4 による。充満忠実関手であることは、直前に述べた全単射 $\operatorname{Hom}_{\mathbf{Ring}}(A,B)\cong\operatorname{Hom}(\operatorname{Spec}B,\operatorname{Spec}A)$ である。本質的全射性は $\mathbf{AffSch}$ の定義（$\operatorname{Spec}A$ に同型な対象の全体）そのものである。充満忠実かつ本質的全射な関手は圏同値であり（圏同値）、thm-affine-scheme-basic-sections の $\Gamma(\operatorname{Spec}A,\mathcal{O})\cong A$ により $\Gamma\circ\operatorname{Spec}\cong\mathrm{id}$ なので $\Gamma$ が準逆である。
標準射について。同型 $\psi\colon X\to\operatorname{Spec}B$ をとると $\psi^\sharp\colon B\to\Gamma(X,\mathcal{O}_X)$ は環の同型である。thm-affine-scheme-hom の自然性により、$\psi$ は $c_X$ と $\operatorname{Spec}(\psi^\sharp)\colon\operatorname{Spec}\Gamma(X,\mathcal{O}_X)\to\operatorname{Spec}B$ の合成に等しい（両者とも $B\to\Gamma(X,\mathcal{O}_X)$ として $\psi^\sharp$ に対応するから）。$\psi$ と $\operatorname{Spec}(\psi^\sharp)$ が同型なので $c_X$ も同型である。$\square$

1：$V(\mathfrak{p})$ は $\mathfrak{p}$ を含む閉集合である。閉集合 $V(I)$ が $\mathfrak{p}$ を含めば $I\subset\mathfrak{p}$ なので $V(\mathfrak{p})\subset V(I)$ である。よって $V(\mathfrak{p})$ は $\mathfrak{p}$ を含む最小の閉集合、すなわち閉包である。
2：$\mathfrak{p}\ne\mathfrak{q}$ なら $\mathfrak{p}\not\subset\mathfrak{q}$ または $\mathfrak{q}\not\subset\mathfrak{p}$ である。前者なら $f\in\mathfrak{p}\setminus\mathfrak{q}$ がとれ、$D(f)$ は $\mathfrak{q}$ を含み $\mathfrak{p}$ を含まない。後者も同様。
3：1 により $\{\mathfrak{p}\}$ が閉 ⟺ $V(\mathfrak{p})=\{\mathfrak{p}\}$ ⟺ $\mathfrak{p}$ を含む素イデアルは $\mathfrak{p}$ だけ。$\mathfrak{p}$ が極大ならこれは成り立つ。$\mathfrak{p}$ が極大でなければ、$\mathfrak{p}$ を含む極大イデアル $\mathfrak{m}\ne\mathfrak{p}$ が存在し（任意の真のイデアルは極大イデアルに含まれる。AM69 Corollary 1.4、Zornの補題による）、$\mathfrak{m}\in V(\mathfrak{p})\setminus\{\mathfrak{p}\}$ である。
4：$Y$ を空でない既約閉集合とし、$I:=\bigcap_{\mathfrak{q}\in Y}\mathfrak{q}$ とおく。$Y=V(J)$ と書くと $J\subset I$ だから $V(I)\subset V(J)=Y$、また $Y$ の各点は $I$ を含むので $Y\subset V(I)$、よって $Y=V(I)$ である。$I$ が素イデアルであることを示す。$Y\ne\emptyset$ から $I\ne A$。$fg\in I$ とすると、$Y$ の各点 $\mathfrak{q}$ で $fg\in\mathfrak{q}$ なので $Y\subset V((f))\cup V((g))$、すなわち $Y=(Y\cap V((f)))\cup(Y\cap V((g)))$ は 2 つの閉集合の和である。$Y$ は既約なので $Y=Y\cap V((f))$ または $Y=Y\cap V((g))$、たとえば前者なら $f$ は $Y$ のすべての点に属し、$f\in I$ である。よって $I$ は素イデアルで $Y=V(I)=\overline{\{I\}}$ である。逆に任意の $\mathfrak{p}$ について $V(\mathfrak{p})=\overline{\{\mathfrak{p}\}}$ は一点の閉包なので既約である（一点集合は既約であり、既約集合の閉包は既約である。既約空間）。一意性：$V(\mathfrak{p})=V(\mathfrak{p}')$ なら、1 により $\mathfrak{p}'\in V(\mathfrak{p})$ かつ $\mathfrak{p}\in V(\mathfrak{p}')$、すなわち $\mathfrak{p}\subset\mathfrak{p}'\subset\mathfrak{p}$ である。
5：1 により $V(\mathfrak{p})\subset V(\mathfrak{p}')$ ⟺ $\mathfrak{p}'\subset\mathfrak{p}$ なので、4 の対応は包含を逆にする。よって極大な既約閉集合は極小素イデアルに対応する。$A$ の任意の素イデアルは極小素イデアルを含み（AM69 第 1 章演習 8、Zorn の補題による）、これは任意の既約閉集合が既約成分に含まれることに当たる。最後の主張：$X$ が既約 ⟺ $X=V(0)$ が $V(\mathfrak{p})$ の形 ⟺ $\sqrt{0}=\bigcap_{\mathfrak{q}\in X}\mathfrak{q}$ が素イデアル（4 の証明の $I$ が $Y=X$ のとき $\sqrt{0}$ になる）。$\square$