Hopfファイブレーション

要点：$|2z\bar w|^2+(|z|^2-|w|^2)^2=(|z|^2+|w|^2)^2$ から $h$ は $S^2$ に値をとる。$h(x)=(u,t)$ から $|z|^2,|w|^2$ と $z\bar w$ が決まるので、同じ値をとる点は $S^1$ 倍しか違わない。2 は $\zeta=z/w$ を代入した計算、3 は $\mathbb{C}\mathrm{P}^1$ が $S^3$ の $S^1$ 作用による商であることと、コンパクト空間から Hausdorff 空間への連続な全単射が同相であることによる。

$\varphi_0$ は連続である。逆写像の候補として、$a(t):=\sqrt{(1+t)/2}$（$U_0$ の上で $a>0$）とおき
$$ \psi_0\bigl((u,t),\lambda\bigr):=\lambda\Bigl(a(t),\ \frac{\bar u}{2a(t)}\Bigr) $$
を定める。これは連続で、prop-hopf-models の 1 の証明の全射性の計算により $S^3$ に値をとり、$h(\psi_0((u,t),\lambda))=(u,t)$、第 1 成分の偏角は $\lambda$ なので $\varphi_0\circ\psi_0=\operatorname{id}$ である。逆に $x=(z,w)$、$z\ne0$ について $(u,t)=h(x)$、$\lambda=z/|z|$ とおくと $a(t)=|z|$ なので $\lambda a(t)=z$、また $\bar u=2\bar zw$ なので $\lambda\bar u/(2a(t))=(z/|z|)\cdot2\bar zw/(2|z|)=w$ であり、$\psi_0\circ\varphi_0=\operatorname{id}$ である。$\varphi_1$ についても、$b(t):=\sqrt{(1-t)/2}$ とおいた $\psi_1((u,t),\lambda):=\lambda(u/(2b(t)),\ b(t))$ が逆写像であることを同様に確かめられる。作用との両立は $h(\lambda x)=h(x)$ と $\lambda z/|\lambda z|=\lambda\cdot z/|z|$ による。
座標変換：$x\in h^{-1}(U_0\cap U_1)$ では $z,w\ne0$ で、$u=2z\bar w$ なので
$$ \frac{z/|z|}{w/|w|}=\frac{z\bar w}{|z\bar w|}=\frac{u}{|u|} $$
である。各局所自明化は作用と両立し、ファイバー $h^{-1}(y)$ は 1 つの自由な $S^1$ 軌道なので（prop-hopf-models の 1）、$h$ は主 $S^1$ 束である（主束 の定義「主 $G$ 束」。滑らかさは上の式がすべて $C^\infty$ 級であることによる）。$\square$

まず $S^3$ と $S^2\times S^1$ が同相でないことを示す。$S^3$ は単連結である（n次元球面 の定理「基本群の値」）。一方 基本群 の命題「直積の基本群」により $\pi_1(S^2\times S^1)\cong\pi_1(S^2)\times\pi_1(S^1)\cong\mathbb{Z}$ である。
切断 $s$ があったとすると、$\Psi(y,\lambda):=\lambda\cdot s(y)$ は連続写像 $S^2\times S^1\to S^3$ である。prop-hopf-models の 1 により各ファイバー $F_y$ は $s(y)$ の自由な軌道 $\{\lambda s(y)\}$ なので（$\lambda s(y)=s(y)$ なら $\lambda=1$）、$\Psi$ は全単射である。$S^2\times S^1$ はコンパクト、$S^3$ は Hausdorff なので $\Psi$ は同相写像となり、前段に反する。ファイバーを保つ同相写像 $S^3\cong S^2\times S^1$ があれば、$S^2\times\{1\}$ の像が切断を与えるので、これも存在しない。$\square$

1. prop-hopf-models の 1 により $F_y=\{\lambda v\mid\lambda\in S^1\}=\mathbb{C}v\cap S^3$ である。$\mathbb{C}v$ は $\mathbb{R}^4$ の 2 次元部分空間なので、これは原点を通る平面と単位球面の交わり、すなわち大円である。ファイバーは写像の逆像なので、異なる点のファイバーは交わらない。2. $h(z,0)=(0,1)$、$h(0,w)=(0,-1)$ による。3. $t=|z|^2-|w|^2$ と $|z|^2+|w|^2=1$ から逆像の式が出る。$u=2z\bar w=2|z||w|e^{i(\alpha-\beta)}$ なので、トーラスの上で $h$ の値は $\alpha-\beta$ だけで決まり、ファイバーは $\alpha-\beta$ が一定の集合である。$\square$

$N_0\in F_{(0,-1)}$ なので、$F_y,F_{y'}$ は $N_0$ を通らず、$\sigma_0$ は $S^3\setminus\{N_0\}$ から $\mathbb{R}^3$ への微分同相写像なので、$K,L$ は交わらない結び目である。
$v=(v_1,v_2)\in F_y$ をとり、$v^\perp:=(-\bar v_2,\bar v_1)$ とおくと、$(v,v^\perp)$ は $\mathbb{C}^2$ の Hermite 内積についての正規直交基底である。$\Theta(\alpha,\beta):=\alpha v+\beta v^\perp$ はユニタリ写像なので $S^3$ を $S^3$ に写し、$\Theta(\lambda x)=\lambda\Theta(x)$ をみたす。したがって $\Theta$ は $S^1$ 軌道（ファイバー）を軌道に写し、$F_y=\Theta(\{\beta=0\})$、$F_{y'}=\{\lambda\Theta(\alpha_0,\beta_0)\mid\lambda\in S^1\}$ と書ける。ここで $\beta_0\ne0$ である（$\beta_0=0$ なら $F_{y'}=F_y$）。
$\beta$ を実数に制限した $\Theta(\mathbb{C}\times\mathbb{R})\cap S^3$ は 2 次元球面で、それを 2 つの閉半球
$$ D_\pm:=\{\Theta(\alpha,s)\mid \alpha\in\mathbb{C},\ s\in\mathbb{R},\ \pm s\ge0,\ |\alpha|^2+s^2=1\} $$
に分けると、$D_+\cap D_-=F_y$ である。$N_0\notin F_y$ なので、$N_0$ は $D_+$ と $D_-$ の少なくとも一方に含まれない。その一方を $D$ とする。$D$ は境界 $F_y$ をもつ滑らかに埋め込まれた閉円板なので、$F:=\sigma_0(D)$ は $\mathbb{R}^3$ のコンパクトで連結な向き付け可能な滑らかな曲面で、境界は $K$ である。$K$ に与えた向きが境界の向きになるように $F$ に向きを付ければ、$F$ は $K$ の Seifert 曲面である（絡み数 の定義「Seifert 曲面と交点数」）。
$D$ と $F_{y'}$ の交点を求める。$\lambda\Theta(\alpha_0,\beta_0)=\Theta(\lambda\alpha_0,\lambda\beta_0)$ が $D$ に入るのは $\lambda\beta_0$ が実数で $D$ の符号の条件をみたすときであり、$\beta_0\ne0$ なので $\lambda=\pm\bar\beta_0/|\beta_0|$ のちょうど一方に限る。よって交点はただ 1 点 $q$ である。$q=\Theta(\alpha_1,s_1)$（$s_1\ne0$）での接空間を比べると、$T_qD$ のベクトルは $\Theta(\delta\alpha,\delta s)$（$\delta s$ は実数）の形であり、$F_{y'}$ の接ベクトル $iq=\Theta(i\alpha_1,is_1)$ の第 2 成分 $is_1$ は $0$ でない純虚数なので、$iq\notin T_qD$ である。$\dim T_qD+\dim T_qF_{y'}=2+1=3=\dim T_qS^3$ なので、$D$ と $F_{y'}$ は $q$ で横断的に交わり、微分同相写像 $\sigma_0$ で写した $F$ と $L$ も横断的に 1 点で交わる。したがって交点数は $F\cdot L=\pm1$ であり、絡み数 の定理「Seifert 曲面による公式」により $\operatorname{lk}(K,L)=F\cdot L=\pm1$ である。最後の主張は次による。平面の上の離れた 2 円の絡み数は $0$ である（絡み数 の例「自明な絡み目・Hopf 絡み目・トーラス絡み目」）。一方、2 つの成分を交わらないまま滑らかに動かすと、定義の Gauss 写像 $(x,y)\mapsto(y-x)/|y-x|$ は $S^1\times S^1$ から $S^2$ への滑らかなホモトピーで動き、写像度は滑らかなホモトピーで変わらない（写像度）。したがって絡み数はこの変形で変わらない。$\square$

$h$ はファイバーの上で一定なので $dh_p(ip)=\frac{d}{d\theta}h(e^{i\theta}p)\big|_{\theta=0}=0$ である。$v=cp^\perp$ とすると、$p$ からの変化は $\delta z=-c\bar w$、$\delta w=c\bar z$ であり、
$$ dh_p(v)=\Bigl(2(\delta z\,\bar w+z\,\overline{\delta w}),\ 2\operatorname{Re}(\bar z\,\delta z)-2\operatorname{Re}(\bar w\,\delta w)\Bigr)=\Bigl(2(\bar cz^2-c\bar w^2),\ -4\operatorname{Re}X\Bigr),\qquad X:=c\bar z\bar w $$
となる。$|\bar cz^2-c\bar w^2|^2=|c|^2(|z|^4+|w|^4)-2\operatorname{Re}(\bar X^2)$ と $\operatorname{Re}(\bar X^2)=(\operatorname{Re}X)^2-(\operatorname{Im}X)^2$ から
$$ |dh_p(v)|^2=4|c|^2(|z|^4+|w|^4)-8(\operatorname{Re}X)^2+8(\operatorname{Im}X)^2+16(\operatorname{Re}X)^2=4|c|^2(|z|^4+|w|^4)+8|X|^2=4|c|^2(|z|^2+|w|^2)^2=4|c|^2 $$
である。一方 $|v|^2=|c|^2(|w|^2+|z|^2)=|c|^2$ なので $|dh_p(v)|=2|v|$ である。
よって $dh_p|_{\mathcal{H}_p}$ は 2 次元空間 $\mathcal{H}_p$ から 2 次元空間 $T_{h(p)}S^2$ への単射線形写像で、同型であり、$h$ は沈め込みである。計量を $\frac14$ 倍すると $dh_p|_{\mathcal{H}_p}$ はノルムを保ち、偏極恒等式により内積を保つ。$\mathcal{H}_p$ は $dh_p$ の核 $\mathbb{R}ip$ の直交補空間なので、これは Riemann 沈め込みの定義（リーマン沈め込み の定義「Riemann沈め込み」）そのものである。$\square$