分数イデアル
概要
分数イデアル（fractional ideal）とは、整域 $A$ の商体 $K$ の非零 $A$ 部分加群 $I$ で、ある非零元 $d\in A$ について $dI\subset A$ となるものである。非零の有限生成部分加群は分数イデアルだが逆は一般に成り立たず、$A$ がNoether整域ならすべての分数イデアルが有限生成となる。分数イデアルの和・積・交叉や商体内のcolon $(I:J)$ は再び分数イデアルである。$I$ が可逆、すなわち $II^{-1}=A$ となることは、$I$ が有限生成で各極大イデアルで単項であることと同値であり、$k[X,Y]$ の $(X,Y)$ のように逆イデアルを作れても可逆でない場合がある。
分数イデアル（fractional ideal）とは、整域の商体の中に置かれた加群で、すべての元の分母を一つの非零元で同時に払えるものである。たとえば $\mathbb Z$ の中の $(2)$ だけでなく、商体 $\mathbb Q$ の中の $\frac23\mathbb Z$ も分数イデアルとなる。「分数」は各元が分数であるというだけの意味ではなく、加群全体に共通する分母があるという条件を含む。
分数イデアルの和や積は再び分数イデアルであり、通常のイデアルを商体の中で拡大した計算ができる。ただし、逆と書く集合を作れることと、積について本当に逆元になることは別である。すべての分数イデアルが群をなすのは Dedekind 整域など特別な環での結論である。本記事は任意の整域における定義と演算を扱い、可逆性の構造論は 可逆イデアル、有限生成イデアルがすべて可逆になる環は Prüfer整域、代数体の整数環における類群と類数は イデアル類群 で扱う。
共通分母による定義
以下、$A$ は単位元をもつ可換整域、$K=\operatorname{Frac}(A)$ はその商体である。$A$ が Noether 環であることも、商体が代数体であることも仮定しない。加群として有限生成であることは、有限型代数であることとは区別する。
非零の $A$ 部分加群 $I\subset K$ について、ある $0\ne d\in A$ が存在して $dI\subset A$ となるとき、$I$ を $A$ の分数イデアルという。この $d$ を共通分母と呼ぶ。$I\subset A$ の場合は、通常の非零イデアル、または整イデアルという。$0\ne x\in K$ に対する $xA$ を単項分数イデアルという。
部分加群という条件は、加法と $A$ の元による乗法について閉じていることを意味する。ここでは零加群を分数イデアルから除く規約を採用する。零を許す文献でも、可逆性を論じる際には非零条件が必要である。体 $A=K$ の場合、非零 $A$ 部分加群は $A$ 自身しかなく、分数イデアルは一つとなる。
定義は「$I=d^{-1}J$ と書ける非零イデアル $J\subset A$」と同値である。実際、共通分母 $d$ に対して $J=dI$ は通常のイデアルとなり、$I=d^{-1}J$ である。逆にその形の加群は $dI=J\subset A$ を満たす。$d$ 倍の写像 $I\to J$ は加群の同型だが、商体内の部分集合としては置き場所を変えている。たとえば $\frac23\mathbb Z$ は $\mathbb Z$ と抽象的に同型でも、$\mathbb Q$ の中で等しい部分集合ではない。
共通分母は一意ではない。$d$ が使えれば、任意の非零 $a\in A$ に対して $ad$ も使える。一方、各 $x\in I$ に個別の分母があることは、$I\subset K$ から自動的に成り立つ。それらが全体で一つにまとまるかどうかが定義の追加条件である。
商体の非零有限生成 $A$ 部分加群は分数イデアルである。逆向きは一般には成り立たない。$A$ が Noether 整域であれば、すべての分数イデアルは有限生成である。
$I=Ax_1+\cdots+Ax_n$ と書き、$x_i=a_i/b_i$、$a_i,b_i\in A$、$b_i\ne0$ とする。積 $d=b_1\cdots b_n$ は整域なので非零であり、各 $dx_i$ が $A$ に入る。したがって $dI\subset A$ となる。逆に $A$ が Noether で $dI\subset A$ なら、イデアル $dI$ は有限生成である。その生成元を $d$ で割った有限個の元が $I$ を生成する。一般の環で逆向きが失敗する具体例は、後の無限変数多項式環の反例で計算する。$\square$
有限生成性が分母を払うための十分条件であることと、すでに分母を払えた加群が有限生成であることを混同してはいけない。Noether 性は後者を保証する。非 Noether 整域では、分母を一切必要としない通常のイデアルでさえ無限生成になる。
和・積・交叉
二つの分数イデアル $I,J$ の和は加群の和 $I+J=\{x+y:x\in I,y\in J\}$、交叉は商体内の集合の交叉である。積は一つの積の集合ではなく、有限和
$$
IJ=\left\{\sum_{i=1}^n x_i y_i\mid n\ge1,\ x_i\in I,\ y_i\in J\right\}
$$
の全体と定める。積の定義に有限和を入れることで加法について閉じる。有限生成 $I=(x_1,\ldots,x_r)$ と $J=(y_1,\ldots,y_s)$ なら、$IJ$ は $rs$ 個の積 $x_i y_j$ で生成される。
非零分数イデアル $I,J$ に対して $I+J$、$IJ$、$I\cap J$ は非零分数イデアルである。積は結合的かつ可換で、単位元は $A$ である。また積は有限和に対して分配的である。
$dI\subset A$、$eJ\subset A$ となる非零 $d,e\in A$ を選ぶ。$de(I+J)\subset A$、$deIJ\subset A$ であり、$d(I\cap J)\subset A$ でもある。和は非零の $I$ を含むので非零、積は非零の $x\in I,y\in J$ の積を含み、整域なので非零である。
交叉の非零性も確かめる。$0\ne x\in I$、$0\ne y\in J$ を取り、$x/y=a/b$、$a,b\in A\setminus\{0\}$ と書く。すると $bx=ay\ne0$ が両方の加群に入る。よって交叉も非零である。
結合律について、$(IJ)H$ の元を展開すれば有限和 $\sum x_i y_i z_i$ の形になり、これは $I(JH)$ に入る。逆も同じ展開で得る。可換律は環の乗法の可換性、$AI=I$ は部分加群の条件と $1\in A$ による。$I(J+H)=IJ+IH$ は有限和を分配して得る包含と、$J,H\subset J+H$ から得る逆包含を合わせたものである。$\square$
したがって分数イデアル全体は積について可換モノイドをなす。ここでまだ群とは言っていない。和と交叉はそれぞれ包含順序における上限と下限で、積とは違う演算である。とくに $IJ\subset I\cap J$ は通常のイデアルなら成り立つが、分数イデアルでは一般に成り立たない。たとえば $I=J=\frac12\mathbb Z$ なら、積は $\frac14\mathbb Z$、交叉は $\frac12\mathbb Z$ であり、積のほうが大きい。
整数の例では $I=\frac23\mathbb Z$、$J=\frac35\mathbb Z$ とすると、共通分母 $15$ で $I=\frac1{15}(10)\mathbb Z$、$J=\frac1{15}(9)\mathbb Z$ となる。$10$ と $9$ の整数係数の和で $1$ を作れるので、$I+J=\frac1{15}\mathbb Z$ である。交叉は $\frac1{15}(90)\mathbb Z=6\mathbb Z$、積は $\frac25\mathbb Z$ となる。和は最大公約数、交叉は最小公倍数に対応するが、共通分母を合わせてから計算する必要がある。
有限族に関する閉性は、無限族にそのまま移せない。$\sum_{n\ge1}2^{-n}\mathbb Z$ はすべての $2$ の冪を分母に許す $\mathbb Z[1/2]$ となり、共通の整数分母がない。逆に $\bigcap_{n\ge1}2^n\mathbb Z=0$ なので、非零を要求する本記事の定義では分数イデアルでない。前者は共通分母、後者は非零条件が失われる例である。
colon と逆イデアル
非零分数イデアル $I,J$ について
$$
(I:J)=\{x\in K\mid xJ\subset I\},\qquad I^{-1}=(A:I)
$$
と定める。$I^{-1}$ を逆イデアルと呼ぶ。環内の colon は $(I:_A J)=(I:J)\cap A$ であり、商体内の colon とは区別する。
colon は「$J$ を掛けたときに $I$ に入る係数全体」である。逆イデアルという名前でも、必ず $II^{-1}=A$ になるわけではない。定義から保証されるのは $II^{-1}\subset A$ だけである。
$(I:J)$ は非零分数イデアルであり、$H$ をもう一つの非零分数イデアルとすると、次が成り立つ。
$$
(I:J+H)=(I:J)\cap(I:H),\qquad
(I\cap J:H)=(I:H)\cap(J:H),
$$
$$
(I:JH)=((I:J):H).
$$
また $a,b\in K^\times$ に対して $(aI:bJ)=(a/b)(I:J)$ である。
colon が部分加群になることは、条件 $xJ\subset I$ に和と $A$ の倍を適用すれば分かる。$0\ne u\in I$ を選び、$eJ\subset A$ となる $e\ne0$ を取ると、$euJ\subset Au\subset I$ であり、$eu\ne0$ は colon に入る。
共通分母を求めるため $0\ne y\in J$ と $dI\subset A$ を選ぶ。任意の $x\in(I:J)$ に対して $dxy\in A$ である。$dy=a/b$、$a,b\in A\setminus\{0\}$ と書くと、$ax=b(dxy)\in A$ となる。したがって $a(I:J)\subset A$ である。
第一の等式では、$x(J+H)\subset I$ が $xJ\subset I$ と $xH\subset I$ の両方と同値である。第二も包含を交叉の二条件に分ければよい。第三は $xJH\subset I$ と、すべての $h\in H$ に対して $xh\in(I:J)$ であることが同値なので成立する。有限和の定義から、単純な積の全体を検査すれば積加群全体の包含も得られる。最後は $xbJ\subset aI$ を $(b/a)xJ\subset I$ と書き直す。$\square$
特に $(aI)^{-1}=a^{-1}I^{-1}$ である。$I\subset J$ なら $J^{-1}\subset I^{-1}$ となり、逆を取る操作は包含を反転する。また $I\subset I^{--}:=(I^{-1})^{-1}$ が成り立つ。実際、$x\in I$ と $y\in I^{-1}$ の積は $A$ に入るので、$xI^{-1}\subset A$ である。二度逆を取った集合が元の集合と常に等しいとは限らない。
三度逆を取ると $I^{---}=I^{-1}$ となる。前の包含を $I^{-1}$ に適用すると $I^{-1}\subset I^{---}$、$I\subset I^{--}$ に逆を取ると $I^{---}\subset I^{-1}$ となるからである。この計算は有限生成性も整閉性も要求しないが、二重逆を使う一般的なイデアル類群の理論は本記事では扱わない。
局所化で何が交換できるか
乗法的集合 $S\subset A\setminus\{0\}$ に対して $S^{-1}I$ は $K$ の中で $x/s$ の全体とみなせる。元の共通分母 $d$ は局所化後にも有効なので、これは $S^{-1}A$ の分数イデアルである。有限生成性は要求しない。
分数イデアル $I,J$ に対して、和・積・有限交叉は局所化と交換する。さらに $J$ が有限生成なら
$$
S^{-1}(I:J)=(S^{-1}I:S^{-1}J)
$$
が商体 $K$ の中で成り立つ。右辺の colon は $S^{-1}A$ 加群についてのものとする。
和と積は有限和の分母を掛け合わせて一つにすれば、両方向の包含が得られる。交叉の非自明な包含を示す。$z\in S^{-1}I\cap S^{-1}J$ なら $sz\in I$、$tz\in J$ となる $s,t\in S$ がある。すると $stz\in I\cap J$ なので $z\in S^{-1}(I\cap J)$ である。逆包含は直接である。
colon について左辺から右辺への包含は定義から従う。逆に $J=(y_1,\ldots,y_n)$ とし、$zS^{-1}J\subset S^{-1}I$ とする。各 $i$ について $s_i z y_i\in I$ となる $s_i\in S$ がある。積 $s=\prod_i s_i$ を取れば、すべての $szy_i$ が $I$ に入り、生成元から $szJ\subset I$ となる。よって $sz\in(I:J)$、したがって $z\in S^{-1}(I:J)$ である。有限個の生成元を一つの分母で処理したことが、有限生成性を使った箇所である。$\square$
たとえば $I$ が有限生成なら $(I^{-1})_{\mathfrak m}=(I_{\mathfrak m})^{-1}$ である。ここで有限生成とするのは colon の右側、すなわち掛けられる加群である。colon の左側について有限生成性を仮定しただけでは、この分母を一つにする証明は使えない。
また無限交叉と局所化は交換しない。$\mathbb Z$ で $I_n=2^n\mathbb Z$、$S=\{1,2,4,\ldots\}$ とすると、$S^{-1}(\bigcap_n I_n)=0$ だが、各 $S^{-1}I_n$ は $\mathbb Z[1/2]$ 全体なので、その交叉も環全体である。有限交叉の証明に現れた有限個の分母の積を、無限個に置き換えることはできない。
可逆性と有限生成・局所単項性
非零分数イデアル $I$ が可逆であるとは、$II^{-1}=A$ であることをいう。
もし別の分数イデアル $J$ によって $IJ=A$ となるなら、$J=I^{-1}$ である。$IJ\subset A$ から $J\subset I^{-1}$、逆に $1=\sum a_i b_i$、$a_i\in I,b_i\in J$ と書けば、$x\in I^{-1}$ に対して $x=\sum(xa_i)b_i\in J$ となる。したがって定義の逆イデアルを使っても、モノイドの逆元という意味と一致する。
任意の整域 $A$ の非零分数イデアル $I$ について、次は同値である。
- $I$ は可逆である。
- $I$ は有限生成で、各極大イデアル $\mathfrak m$ に対して $I_{\mathfrak m}$ は $A_{\mathfrak m}$ 上単項である。
まず $II^{-1}=A$ とすると、有限和 $1=\sum_{i=1}^n a_i b_i$、$a_i\in I,b_i\in I^{-1}$ がある。任意の $x\in I$ は $x=\sum a_i(b_ix)$ と書け、係数 $b_ix$ は $A$ に入る。よって $a_i$ が $I$ を生成する。
局所環 $A_{\mathfrak m}$ ではこの有限和の少なくとも一項 $a_jb_j$ が単元である。すべての項が極大イデアルに入れば和の $1$ も入って矛盾するからである。$x\in I_{\mathfrak m}$ に対して $b_jx\in A_{\mathfrak m}$ なので、$x/a_j=(b_jx)/(a_jb_j)\in A_{\mathfrak m}$ となる。したがって $I_{\mathfrak m}=a_jA_{\mathfrak m}$ である。
逆に条件 2 を仮定する。有限生成性による前の colon の局所化から $(I^{-1})_{\mathfrak m}=(I_{\mathfrak m})^{-1}$ である。$I_{\mathfrak m}=aA_{\mathfrak m}$、$a\ne0$ なら逆は $a^{-1}A_{\mathfrak m}$ なので、$(II^{-1})_{\mathfrak m}=A_{\mathfrak m}$ となる。$II^{-1}\subset A$ が真のイデアルなら、それを含む極大イデアル $\mathfrak m$ を取れる。しかしその局所化が環全体なら、$1=j/s$、$j\in II^{-1},s\notin\mathfrak m$ と書ける。整域内で $j=s$ となり $s\in\mathfrak m$ という矛盾を得る。よって $II^{-1}=A$ である。$\square$
この判定は 可逆イデアル の中心定理と同じ内容である。ここでは分数イデアルの colon 計算とのつながりが分かる短い証明を与えた。射影加群との同値、双対加群、テンソル積による同型は 可逆イデアル で扱う。環の Noether 性はこの定理の仮定でなく、有限生成性を局所化の分母処理に直接用いている。
可逆なら約分もできる。$IH=IJ$ に $I^{-1}$ を掛ければ $H=J$ である。しかし一般の分数イデアルでの約分は保証されない。逆に単項分数イデアルはいつでも可逆であり、$(xA)^{-1}=x^{-1}A$ である。共通分母を払う操作はこの単項可逆イデアルとの積なので、$I$ と $dI$ の可逆性は同値となる。
条件を外した反例
$A$ が体でない整域なら、$K$ 全体は $A$ の分数イデアルではない。もし $0\ne d\in A$ で $dK\subset A$ なら、体内の非零元の乗法は全単射なので $dK=K$、したがって $K\subset A$ となり $A=K$ で矛盾する。具体的に $\mathbb Q$ は $\mathbb Z$ 加群だが、どの非零整数 $d$ でも $d\mathbb Q=\mathbb Q$ となり、整数環内には入らない。
$k$ を任意の体、$A=k[X_1,X_2,\ldots]$ を可算無限個の変数の多項式環とする。各多項式は有限個の変数だけを含む。非零イデアル $I=(X_1,X_2,\ldots)$ は $I\subset A$ なので共通分母 $1$ をもち、分数イデアルである。
もし有限個の多項式 $f_1,\ldots,f_r\in I$ が生成するとする。それらに現れる変数の添字の有限集合を $F$ とし、$j\notin F$ を選ぶ。$F$ の変数をすべて零にする環準同型を考える。各 $f_i$ は定数項が零で、$F$ の変数だけを含むので像が零になる。したがって生成されたイデアルのすべての元の像は零である。一方 $X_j$ の像は $X_j\ne0$ であるから、$X_j$ はそのイデアルに入らない。矛盾により $I$ は有限生成でない。可逆なら有限生成となる前の定理から、この $I$ は可逆でもない。
$k$ を体とし、$A=k[X,Y]$、$I=(X,Y)$ とする。この場合 $I^{-1}=A$ である。$z\in I^{-1}$ なら $u=zX$、$v=zY$ が $A$ に入り、$Yu=Xv$ となる。$X=0$ を代入すると $Yu(0,Y)=0$ なので $u(0,Y)=0$、したがって $u=Xw$ と書ける。商体で $z=u/X=w\in A$ となる。逆包含は定義から明らかである。
よって $II^{-1}=I\ne A$ であり、$I$ は可逆でない。また $I^{--}=A^{-1}=A$ となり、$I\subsetneq I^{--}$ である。非零・有限生成・共通分母という三条件をすべて満たしても、逆イデアルによる割り算や二重逆での復元は自動ではない。
Dedekind整域での専門的な結論
一般の分数イデアルはモノイドをなすが、そのうち可逆なものだけは群をなす。$I,J$ が可逆なら $(IJ)(I^{-1}J^{-1})=A$ であり、前に証明した逆元の一意性から $(IJ)^{-1}=I^{-1}J^{-1}$ となる。$A$ と単項分数イデアルもこの群に入る。単項分数イデアルで割るという操作は、この可逆群に対して定義する限り一般整域でも意味をもつ。
Dedekind 整域ではすべての非零分数イデアルが可逆である。ここでは、体も含めて Noether かつ整閉で次元が高々一の整域という規約を用いる。この特徴づけと非零イデアルの一意な素イデアル積分解の証明は Dedekind整域 で扱う。すでにその条件を満たすことが分かった環では、本記事の演算を群の演算として使える。
たとえば代数体の整数環は Dedekind 整域なので、分数イデアルの群を単項分数イデアルの部分群で割ってイデアル類群を作れる。類群の有限性はさらに代数体の整数環という仮定を使う定理であり、任意の Dedekind 整域に自動的に移す結論ではない。この算術的な段階と、格子やノルムを使う計算は イデアル類群 で扱う。
Prüfer 整域ではすべての非零有限生成イデアルが可逆であるが、すべての分数イデアルが可逆とは限らない。通常のイデアルが無限生成であれば共通分母は $1$ でも、可逆性の判定で必要な有限生成条件を満たさない。したがって「整域」「Prüfer」「Dedekind」という環の条件と、「分数」「有限生成」「可逆」という個々のイデアルの条件を、それぞれ別に読む必要がある。
計算するときの確認事項
具体的な部分加群を扱う際には、まず非零であること、$A$ の作用で閉じていること、共通分母があることを確かめる。有限個の生成元がすでに与えられていれば、分母の積で最後の条件を保証できる。しかし無限族から定めた加群では、一つずつ分母を書けても全体の共通分母は得られない。
次に、積を単なる集合の積と取り違えないようにする。$IJ$ の元は有限和であり、$II^{-1}=A$ の証明も $1$ を有限和の積で表すことに帰着する。その有限表示が、可逆イデアルの有限生成性を同時に与える。逆イデアルは商体の中の係数の集合なので、環内の colon と同じ記号を使う場合にも、どちらの集合を意味するか確認する。
局所計算から大域計算へ戻す際には、加群が有限生成である段を明示する。有限交叉は有限個の分母を掛け合わせればよいので有限生成を要求しない。一方、colon の局所化は掛けられる加群の生成元すべての分母を処理するため、その有限生成性を用いた。この違いを保つと、非 Noether 整域でも有効な結論を正確に使える。
中心となる可逆性の判定は MatCRT §11, Theorem 11.3 に対応する。この判定に Noether 性は要らない。本記事の計算は任意の整域における分数イデアルに関するものであり、一般の因子類群を構成するにはさらに条件が要る。
関連項目
参考文献
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