弱近似定理

$(b_1,\dots,b_n)\in\prod_iK_i$ と $\varepsilon>0$ をとる。直積位相の基本近傍は各成分の球の積なので、すべての $i$ で $|x-b_i|_i<\varepsilon$ となる $x\in K$ を見つければよい。$K$ は $K_i$ で稠密なので $|a_i-b_i|_i<\varepsilon/2$ となる $a_i\in K$ があり、thm-wat-main により $|x-a_i|_i<\varepsilon/2$ となる $x\in K$ がある。三角不等式により $|x-b_i|_i<\varepsilon$ である。$\square$

$n=2$ のとき：$|\cdot|_1,|\cdot|_2$ は自明でなく同値でないので、定義のあとの注意により $|a|_1<1$、$|a|_2\ge1$ となる $a$ がある。番号を入れ替えて、$|b|_2<1$、$|b|_1\ge1$ となる $b$ もある。$a\ne0$ なので $z:=b/a$ とおけば、$|z|_1=|b|_1/|a|_1>1$、$|z|_2=|b|_2/|a|_2<1$ である。
$n\ge3$ とし、$n-1$ 個の場合を仮定する。帰納法の仮定により $|w|_1>1$、$|w|_j<1$（$2\le j\le n-1$）となる $w$ があり、$n=2$ の場合を $|\cdot|_1,|\cdot|_n$ に使うと $|y|_1>1$、$|y|_n<1$ となる $y$ がある。$|w|_n$ の大きさで場合を分ける。

• $|w|_n<1$ のとき：$z:=w$ でよい。
• $|w|_n=1$ のとき：$z:=w^my$ とする。$|z|_1=|w|_1^m|y|_1>1$、$|z|_n=|y|_n<1$ であり、$2\le j\le n-1$ では $|z|_j=|w|_j^m|y|_j\to0$（$m\to\infty$）なので、$m$ を大きくとればよい。
• $|w|_n>1$ のとき：$t_m:=w^m/(1+w^m)$ とおく（$|1+w^m|_n\ge|w|_n^m-1>0$ なので $1+w^m\ne0$）。$|w|>1$ となる絶対値では $|t_m-1|=|1+w^m|^{-1}\le(|w|^m-1)^{-1}\to0$、$|w|<1$ となる絶対値では $|t_m|\le|w|^m/(1-|w|^m)\to0$ である。よって $t_m$ は $|\cdot|_1$ と $|\cdot|_n$ について $1$ に、$|\cdot|_j$（$2\le j\le n-1$）について $0$ に収束する。$z:=t_my$ とおけば、$|z|_1\to|y|_1>1$、$|z|_n\to|y|_n<1$、$|z|_j\to0$ なので、$m$ を大きくとればよい。
  どの場合も求める $z$ が得られる。$\square$

prf-wat-separate の第 3 の場合と同じ評価による。$|e_m-1|_1=|1+z^m|_1^{-1}\le(|z|_1^m-1)^{-1}\to0$、$|e_m|_j\le|z|_j^m/(1-|z|_j^m)\to0$ である。$\square$

$n=1$ なら $x:=a_1$ でよい。$n\ge2$ とする。各 $i$ について、番号 $i$ を $1$ の役に置いて lem-wat-separate を使い、$|z_i|_i>1$、$|z_i|_j<1$（$j\ne i$）となる $z_i$ をとる。lem-wat-idempotent の $e_{i,m}:=z_i^m/(1+z_i^m)$ は、$|\cdot|_i$ について $1$ に、ほかの $|\cdot|_j$ について $0$ に収束する。
$$ x_m:=\sum_{k=1}^na_k\,e_{k,m} $$
とおくと、各 $i$ について
$$ |x_m-a_i|_i\le|a_i|_i\,|e_{i,m}-1|_i+\sum_{k\ne i}|a_k|_i\,|e_{k,m}|_i\longrightarrow0\qquad(m\to\infty) $$
である。$n$ 個の $i$ のすべてで右辺が $\varepsilon$ より小さくなるように $m$ を大きくとり、$x:=x_m$ とすればよい。$\square$

1：$\sigma_j(K)$ は $\mathbb{R}$ で稠密である（$\mathbb{Q}\subset\sigma_j(K)$）ので、$|\sigma_j(b_j)-c_j|<\varepsilon/2$ となる $b_j\in K$ がある。$r+s$ 個の絶対値 $|\cdot|_{\mathfrak{p}_i}$、$|\sigma_j(\cdot)|$ は互いに同値でないので、thm-wat-main により、$|x-a_i|_{\mathfrak{p}_i}\le N(\mathfrak{p}_i)^{-m_i}$ かつ $|\sigma_j(x)-\sigma_j(b_j)|<\varepsilon/2$ となる $x$ がある（$\varepsilon$ として $\min_iN(\mathfrak{p}_i)^{-m_i}$ と $\varepsilon/2$ の小さい方をとる）。前者は $v_{\mathfrak{p}_i}(x-a_i)\ge m_i$ を意味する。
2：$\mathcal{O}_{K,\mathfrak{p}_i}$ は離散付値環なので、$v_{\mathfrak{p}_i}(\pi_i)=1$ となる $\pi_i\in K$ がある。$a_i:=\pi_i^{k_i}$、$m_i:=k_i+1$、$c_j:=\epsilon_j$、$\varepsilon:=1$ として 1 を使う。$v_{\mathfrak{p}_i}(x-a_i)>v_{\mathfrak{p}_i}(a_i)$ なので、強三角不等式の等号の場合（$|u|\ne|w|$ なら $|u+w|=\max\{|u|,|w|\}$）を $x=a_i+(x-a_i)$ に使って $v_{\mathfrak{p}_i}(x)=v_{\mathfrak{p}_i}(a_i)=k_i$ である。また $|\sigma_j(x)-\epsilon_j|<1$ から $\sigma_j(x)$ は $\epsilon_j$ と同じ符号である。とくに $x\ne0$ である。$\square$

$i$ を固定する。$|\cdot|_i$ は自明でないので $|c|_i\ne1$ となる $c\in K^\times$ がある。各 $m\ge1$ について、thm-wat-main により $|x_m-c|_i<1/m$、$|x_m-1|_j<1/m$（$j\ne i$）となる $x_m$ をとる。$\bigl||u|-|w|\bigr|\le|u-w|$ なので、$|x_m|_i\to|c|_i>0$、$|x_m|_j\to1$ であり、十分大きい $m$ で $x_m\ne0$ である。仮定の等式を $x=x_m$ に使い $m\to\infty$ とすると $|c|_i^{\,s_i}=1$、すなわち $s_i\log|c|_i=0$ であり、$s_i=0$ である。$\square$