Ponceletの閉形定理

中心 $O$ が共通で、外側の半径が $R$、内側の半径が $r$ とする。$\gamma$ に接する $\Gamma$ の弦は、$O$ からの距離が $r$ である。弦の両端と $O$ でできる二等辺三角形で、頂角（中心角）を $\theta$ とすると、$O$ から弦に下ろした垂線が頂角を二等分するので $\cos\dfrac\theta2=\dfrac rR$ である。どの弦も中心角が同じ $\theta$ なので、1 回進むごとに点は $O$ のまわりを同じ向きに角 $\theta$ だけ回る。
(1) $R=2$、$r=1$。$\cos\dfrac\theta2=\dfrac12$ より $\dfrac\theta2=60^\circ$、$\theta=120^\circ$ である。3 回で $3\cdot120^\circ=360^\circ$ 回るので、どの点から始めても 3 回で閉じて正三角形になる。
(2) $R=2$、$r=\sqrt2$。$\cos\dfrac\theta2=\dfrac1{\sqrt2}$ より $\theta=90^\circ$ で、どの点から始めても 4 回で閉じて正方形になる。
(3) $R=5$、$r=3$。$\cos\dfrac\theta2=\dfrac35$ より $\dfrac\theta2\approx53.13^\circ$、$\theta\approx106.26^\circ$ である。3 回で約 $318.78^\circ$、4 回で約 $425.04^\circ$ 回り、3 回でも 4 回でも閉じない。

3 辺が $5,5,6$ の二等辺三角形 $A(0,4)$、$B(-3,0)$、$C(3,0)$ の外接円と内接円を使う。
(1) 外接円 $\Gamma$。中心は $y$ 軸の上の点 $(0,k)$ で、$A$、$C$ から等距離という条件 $(4-k)^2=9+k^2$ から $16-8k=9$、$k=\dfrac78$ である。中心 $O\left(0,\dfrac78\right)$、半径 $R=4-\dfrac78=\dfrac{25}8$ である。
(2) 内接円 $\gamma$。面積は $\dfrac{6\cdot4}2=12$、周の長さの半分は $8$ なので、半径は $r=\dfrac{12}8=\dfrac32$（三角形の内心と傍心）、中心は $J\left(0,\dfrac32\right)$ である。中心間の距離は $d=\dfrac32-\dfrac78=\dfrac58$ である。
(3) $A$ から始めると、2 本の接線は辺 $AB$、$AC$ で、$\Gamma$ と $B$、$C$ で交わり、$BC$ も $\gamma$ に接する。三角形 $ABC$ そのものである。
(4) 別の点 $P\left(0,-\dfrac94\right)$ から始める。$P$ は $\Gamma$ の一番下の点である（$\dfrac78-\dfrac{25}8=-\dfrac94$）。$PJ=\dfrac32+\dfrac94=\dfrac{15}4$ で、$P$ から $\gamma$ に引いた接線が直線 $PJ$（$y$ 軸）となす角を $\alpha$ とすると、接点を頂点とする直角三角形で $\sin\alpha=\dfrac{r}{PJ}=\dfrac32\cdot\dfrac4{15}=\dfrac25$ である。$\cos\alpha=\dfrac{\sqrt{21}}5$ なので、接線の向きは $\left(\pm\dfrac25,\dfrac{\sqrt{21}}5\right)$、つまり $(\pm2,\sqrt{21})$ である。$\Gamma$ の上の点 $Q\left(\dfrac{\sqrt{21}}2,3\right)$ について、$\overrightarrow{PQ}=\left(\dfrac{\sqrt{21}}2,\dfrac{21}4\right)=\dfrac{\sqrt{21}}4(2,\sqrt{21})$ で、$Q$ はこの接線の上にある。実際に $\Gamma$ の上にあることは
$$ \left(\frac{\sqrt{21}}2\right)^2+\left(3-\frac78\right)^2=\frac{21}4+\frac{289}{64}=\frac{336+289}{64}=\frac{625}{64}=R^2 $$
で確かめられる。もう 1 本の接線は $\Gamma$ と $Q'\left(-\dfrac{\sqrt{21}}2,3\right)$ で交わる。
(5) $Q$ と $Q'$ を結ぶ直線は $y=3$ で、$J\left(0,\dfrac32\right)$ からの距離は $3-\dfrac32=\dfrac32=r$ である。つまり $QQ'$ も $\gamma$ に接し、$P$ から始めても 3 回で閉じる。

ex-pon-start の 2 円で、$P_0=A(0,4)$、$P_1=B(-3,0)$ とすると、条件 (ii) で $B$ から引く接線は直線 $BA$ でない方、つまり直線 $BC$ で、$P_2=C(3,0)$ である。次に $C$ から引く接線は直線 $CB$ でない方の直線 $CA$ で、$P_3=A=P_0$ となり、3 回で閉じる。

ex-pon-start の $R=\dfrac{25}8$、$r=\dfrac32$、$d=\dfrac58$ では、$R^2-2Rr=\dfrac{625}{64}-\dfrac{75}8=\dfrac{625-600}{64}=\dfrac{25}{64}=d^2$ で、thm-pon-triangle の仮定が成り立つ。$P\left(0,-\dfrac94\right)$ で証明を追う。
(1) 段 2。$\sin\alpha=\dfrac25$、$PJ=\dfrac{15}4=\dfrac{3/2}{2/5}$ である。直線 $PJ$ は $y$ 軸で、$\Gamma$ と $P$ 以外に $M(0,4)$ で交わる（$M$ は $A$ と同じ点）。
(2) 段 3。$JM=4-\dfrac32=\dfrac52$、$PJ\cdot JM=\dfrac{15}4\cdot\dfrac52=\dfrac{75}8$ で、$2Rr=2\cdot\dfrac{25}8\cdot\dfrac32=\dfrac{75}8$、$R^2-d^2=\dfrac{625-25}{64}=\dfrac{75}8$ と一致する。$2R\sin\alpha=\dfrac{25}4\cdot\dfrac25=\dfrac52=JM$ である。
(3) 段 4。$MQ=\sqrt{\left(\dfrac{\sqrt{21}}2\right)^2+(4-3)^2}=\sqrt{\dfrac{25}4}=\dfrac52$ で、$MQ=MJ$ である（図 4 の緑の線分）。

$R=3$、$d=1$ とすると、Fuss の関係は $\dfrac1{r^2}=\dfrac14+\dfrac1{16}=\dfrac5{16}$ で、$r=\dfrac4{\sqrt5}\approx1.789$ である。$\Gamma$ を原点中心、$J=(1,0)$ として、始点を $\Gamma$ の上で角 $0.5$、$1.7$、$2.9$（ラジアン）の点にとると、4 回進んだ点と始点の距離は $10^{-14}$ 以下（計算の丸めの誤差）で、閉じた四角形の辺の長さはおよそ
(1) $2.245$、$3.590$、$5.763$、$4.419$
(2) $3.807$、$2.218$、$4.194$、$5.783$
(3) $5.187$、$2.535$、$2.859$、$5.512$
である（図 5）。どれも向かい合う辺の和が等しい。たとえば (1) では、小数第 4 位まで計算すると $2.2450+5.7633=8.0083$、$3.5895+4.4188=8.0083$ である。これは Pitotの定理 と合っている。

$\Gamma$ を原点中心・半径 $3$、$\gamma$ を中心 $J(1,0)$・半径 $1$ とする。$d=1$ で、$d^2=1$、$R^2-2Rr=9-6=3$ なので、thm-pon-triangle の仮定が成り立たない。$d+r=2<3$ なので $\gamma$ は $\Gamma$ の内部にある。
(1) $P_0=(3,0)$ から始める。$P_0J=2$ なので、接線が直線 $P_0J$（$x$ 軸）となす角 $\alpha$ は $\sin\alpha=\dfrac12$、$\alpha=30^\circ$ である。$x$ 軸と $30^\circ$ をなす弦の、$O$ から見た中心角は $180^\circ-2\cdot30^\circ=120^\circ$ なので、$P_1=\left(-\dfrac32,-\dfrac{3\sqrt3}2\right)$（$P_0$ から $240^\circ$ 回った点）である。
(2) 数値で続けると、$P_2\approx(1.2959,\ 2.7057)$、$P_3\approx(2.4936,\ -1.6679)$ で、$P_3$ と $P_0$ の距離は約 $1.743$ である。3 回では閉じない（図 6）。
cor-pon-triangle により、この 2 円ではどの点から始めても 3 回では閉じない。実際、始点を $(-3,0)$ にとると $P_3$ と始点の距離は約 $3.370$ である。

$\Gamma$ を原点中心・半径 $3$、$\gamma$ を中心 $(2,0)$・半径 $2$ とする。$d+r=4>3$ で、$\gamma$ は $\Gamma$ からはみ出している。$\Gamma$ の点 $(3,0)$ は $\gamma$ の中心からの距離が $1<2$ なので $\gamma$ の内部にあり、そこから $\gamma$ に接線は引けない。一般に $\Gamma$ の点 $(x,y)$ が $\gamma$ の内部にあるのは $(x-2)^2+y^2<4$ のときで、$x^2+y^2=9$ を使うと $13-4x<4$、つまり $x>\dfrac94$ のときである。$\Gamma$ のこの部分の点からは折れ線を始められない。

ex-pon-concentric (3) の $R=5$、$r=3$、$d=0$ では、$\dfrac1{25}+\dfrac1{25}=\dfrac2{25}\ne\dfrac19$ で Fuss の関係が成り立たない。1 回ごとに約 $106.26^\circ$ 回るので、4 回で約 $425.04^\circ$ となり、4 回では閉じない（図 2）。