p進付値

$e=v_p(n)$ なら $p^e\mid n$ なので $n=p^em$ と書ける。$p\mid m$ なら $p^{e+1}\mid n$ となり $e$ の最大性に反するので $p\nmid m$ である。
逆に $n=p^em$、$p\nmid m$ とする。$p^e\mid n$ なので $e\le v_p(n)$ である。$e< v_p(n)$ とすると $p^{e+1}\mid n=p^em$ なので $p\mid m$ となり矛盾する。よって $e=v_p(n)$ である。$\square$

lem-padicval-split により $a=p^{v_p(a)}a'$、$b=p^{v_p(b)}b'$、$p\nmid a'$、$p\nmid b'$ と書ける。
4. $e\le v_p(a)$ なら $p^e\mid p^{v_p(a)}\mid a$ である。$e>v_p(a)$ なら $p^{v_p(a)+1}\mid p^e$ であり、$p^e\mid a$ とすると $p^{v_p(a)+1}\mid a$ となって最大性に反する。

1. $ab=p^{v_p(a)+v_p(b)}a'b'$ である。$p$ は $a'$ も $b'$ も割り切らないので、素数 の記事の補題「Euclidの補題」（素数が積を割り切るなら因子のどちらかを割り切る）により $p\nmid a'b'$ である。lem-padicval-split により $v_p(ab)=v_p(a)+v_p(b)$ である。
2. $m:=\min(v_p(a),v_p(b))$ とおくと、4 により $p^m$ は $a$ と $b$ を割り切るので $a+b$ も割り切る。4 により $v_p(a+b)\ge m$ である。
3. $v_p(a)< v_p(b)$ としてよく、$m=v_p(a)$ である。$a+b=0$ なら $v_p(b)=v_p(-a)=v_p(a)$ となるので $a+b\ne0$ である。$a+b=p^m\bigl(a'+p^{v_p(b)-m}b'\bigr)$ で、$v_p(b)-m\ge1$ なので括弧の中は $a'$ と $p$ を法として合同であり、$p$ で割り切れない。lem-padicval-split により $v_p(a+b)=m$ である。$\square$

1. $a/b=c/d$ なら $ad=bc$ なので、prop-padicval-basic の 1 により $v_p(a)+v_p(d)=v_p(b)+v_p(c)$、すなわち $v_p(a)-v_p(b)=v_p(c)-v_p(d)$ である。
2. $r=a/b$ とし、lem-padicval-split により $a=p^{v_p(a)}a'$、$b=p^{v_p(b)}b'$（$p\nmid a'b'$）と書けば $r=p^{v_p(a)-v_p(b)}a'/b'$ である。
3. 分母をそろえて $r=a/c$、$s=b/c$（$a,b,c$ は $0$ でない整数）と書く。$rs=ab/c^2$ なので $v_p(rs)=v_p(a)+v_p(b)-2v_p(c)=v_p(r)+v_p(s)$ である。$r+s=(a+b)/c$ で、$r+s\ne0$ なら $a+b\ne0$ であり、prop-padicval-basic の 2 により
   $$ v_p(r+s)=v_p(a+b)-v_p(c)\ge\min(v_p(a),v_p(b))-v_p(c)=\min(v_p(r),v_p(s)) $$
   である。$v_p(r)\ne v_p(s)$ なら $v_p(a)\ne v_p(b)$ なので、prop-padicval-basic の 3 により $a+b\ne0$ で上の不等号は等号になる。$\square$

素因数分解 の記事の定理「有理数の素因数分解」により、$|r|=\prod_pp^{v_p(|r|)}$ であり、$v_p(r)\ne0$ となる $p$ は有限個である。$v_p(|r|)=v_p(r)$ なので $|r|_p\ne1$ となる $p$ も有限個で、
$$ |r|\cdot\prod_p|r|_p=\prod_pp^{v_p(r)}\cdot\prod_pp^{-v_p(r)}=\prod_pp^{0}=1 $$
である。$\square$

$k=1$ なら明らかである。$k\ge2$ とし、$m:=\min_{i\ge2}v_p(x_i)>v_p(x_1)$、$S:=x_2+\cdots+x_k$ とおく。$S=0$ なら和は $x_1$ で主張は成り立つ。
一般に、付値が $m$ 以上の $0$ でない有理数をいくつか足した和は、$0$ であるか、付値が $m$ 以上である。これは項の個数についての帰納法で分かる。最後の項 $y$ を足す前の和を $T$ とすると、$T=0$ なら和は $y$ そのものであり、$T\ne0$ なら帰納法の仮定により $v_p(T)\ge m$ なので、$T+y\ne0$ のとき prop-padicval-rational の 3 により $v_p(T+y)\ge m$ である。
$S\ne0$ のとき、これを $x_2,\dots,x_k$ に使って $v_p(S)\ge m>v_p(x_1)$ を得る。prop-padicval-rational の 3 により $x_1+S\ne0$、$v_p(x_1+S)=v_p(x_1)$ である。$\square$

$1\le k\le n$ を $k=2^aj$（$j$ は奇数）と書くと $v_2(1/k)=-a$ である。$2^a\le k\le n<2^{m+1}$ なので $a\le m$ である。$a=m$ となるのは $k=2^m$ のときだけである。実際、$a=m$ で $j\ge3$ なら $k\ge3\cdot2^m>2^{m+1}>n$ となって $k\le n$ に反する。したがって $\frac11,\dots,\frac1n$ のうち付値が最小（$-m$）のものは $\frac1{2^m}$ ただ 1 つであり、cor-padicval-unique-min により $v_2(H_n)=-m$ である。$n\ge2$ なら $m\ge1$ なので $v_2(H_n)<0$ であり、整数の付値は $0$ 以上だから $H_n$ は整数でない。$\square$

$r\ge1$ について、$\sum_{i< r}a_ip^i\le(p-1)(1+p+\cdots+p^{r-1})=p^r-1< p^r$ なので、
$$ \frac{n}{p^r}=\sum_{i\ge r}a_ip^{i-r}+\frac{\sum_{i< r}a_ip^i}{p^r} $$
の右辺の第 1 項は整数、第 2 項は $0$ 以上 $1$ 未満である。よって $\lfloor n/p^r\rfloor=\sum_{i\ge r}a_ip^{i-r}$ である。階乗 の記事の定理「Legendre の公式」により
$$ v_p(n!)=\sum_{r\ge1}\sum_{i\ge r}a_ip^{i-r}=\sum_{i\ge1}a_i\bigl(p^{i-1}+p^{i-2}+\cdots+1\bigr)=\sum_{i\ge0}a_i\frac{p^i-1}{p-1}=\frac{n-s_p(n)}{p-1} $$
である（$i=0$ の項は $0$ なので加えてよい）。$\square$

$n!=\binom nk\,k!\,(n-k)!$ に prop-padicval-basic の 1 を使うと $v_p\bigl(\binom nk\bigr)=v_p(n!)-v_p(k!)-v_p((n-k)!)$ であり、prop-padicval-digit-sum を代入すると、分子の $n$、$-k$、$-(n-k)$ が打ち消し合って主張の式になる。$\square$

まず $a^n\ne b^n$ を示す。整数 $a,b$ で $a^n=b^n$ なら $|a|=|b|$ なので、$a\ne b$ から $b=-a$ である。すると $p\mid a-b=2a$ で、$p$ は奇数なので $p\mid a$ となり仮定に反する。$b\equiv a\pmod p$ なので $p\nmid b$ でもある。
段 1（$p\nmid n$ の場合）：$a^n-b^n=(a-b)S$、$S:=\sum_{i=0}^{n-1}a^{n-1-i}b^i$ と書く。$b\equiv a\pmod p$ なので $S\equiv na^{n-1}\pmod p$ であり、$p\nmid n$、$p\nmid a$ と 素数 の記事の補題「Euclidの補題」から $p\nmid S$ である。prop-padicval-basic の 1 により $v_p(a^n-b^n)=v_p(a-b)+0$ である。
段 2（$n=p$ の場合）：$t:=b-a$ とおくと $p\mid t$ である。二項定理により $i\ge1$ で $b^i=(a+t)^i=a^i+ia^{i-1}t+(t^2\text{ の倍数})$ であり、$p^2\mid t^2$ なので、$i=0$ も含めて
$$ a^{p-1-i}b^i\equiv a^{p-1}+ia^{p-2}t\pmod{p^2}\qquad(0\le i\le p-1) $$
である。$i=0,\dots,p-1$ について足すと
$$ S=\sum_{i=0}^{p-1}a^{p-1-i}b^i\equiv pa^{p-1}+\frac{p-1}2\cdot p\,t\,a^{p-2}\pmod{p^2} $$
となる。$p$ は奇数なので $\frac{p-1}2$ は整数であり、第 2 項は $pt$ の倍数、したがって $p^2$ の倍数である。よって $S\equiv pa^{p-1}\pmod{p^2}$ で、$p\nmid a$ なので $v_p(S)=1$ である。$a^p-b^p=(a-b)S$ から $v_p(a^p-b^p)=v_p(a-b)+1$ である。
段 3（一般の場合）：$n=p^km$（$p\nmid m$）と書く。$a^{p^j}\equiv b^{p^j}\pmod p$ かつ $p\nmid a^{p^j}$ で、はじめに示したことから $a^{p^j}\ne b^{p^j}$ なので、段 2 を $a^{p^j},b^{p^j}$ に使うと $v_p(a^{p^{j+1}}-b^{p^{j+1}})=v_p(a^{p^j}-b^{p^j})+1$ である。$j=0,\dots,k-1$ について繰り返すと $v_p(a^{p^k}-b^{p^k})=v_p(a-b)+k$ となる。最後に段 1 を $a^{p^k},b^{p^k}$ と指数 $m$ に使えば、$v_p(a^n-b^n)=v_p(a-b)+k=v_p(a-b)+v_p(n)$ である。$\square$