Poincaré予想

段 1（連続性）．$\lvert v\rvert=1$ では $\sigma(v)=(0,1)=N$ なので、$q$ は閉集合 $B$ と閉集合 $\overline{M\setminus B}$ の上でそれぞれ連続で、共通部分 $\partial B$ の上で一致する。よって $q$ は連続である。$\sigma$ は $D^3$ の内部を $S^3\setminus\{N\}$ へ同相に移す（$\lvert v\rvert$ が $0$ から $1$ へ動くと高さ $-\cos(\pi\lvert v\rvert)$ が $-1$ から $1$ へ単調に増え、各高さの切り口の球面に $v/\lvert v\rvert$ の方向で全単射に写る）。
段 2（局所ホモロジーの図式）．$x:=\beta(0)$、$y:=q(x)$（南極）とおく。次の図式は可換である（縦は包含から来る写像、横は $q$ の誘導する写像）。
$$ \xymatrix{ H_3(M) \ar[r]^{q_*} \ar[d] & H_3(S^3) \ar[d] \\ H_3(M,M\setminus\{x\}) \ar[r]^{q_*} & H_3(S^3,S^3\setminus\{y\}) } $$
$q^{-1}(y)=\{x\}$ なので、下の横の写像は対の写像 $(M,M\setminus\{x\})\to(S^3,S^3\setminus\{y\})$ から来る。可換性は、包含と $q$ の合成が 2 通りの順で同じ対の写像 $M\to(S^3,S^3\setminus\{y\})$ になることによる。
段 3（縦は同型）．$M$ と $S^3$ は連結で向き付けられた閉多様体なので、Poincaré双対 の定理「基本類の存在と一意性」の 1 により、縦の写像はどちらも同型で、$H_3\cong\mathbb{Z}$ である。
段 4（下の横は同型）．$U:=\beta(\{\lvert v\rvert<1\})$ は $x$ の開近傍で、$q|_U$ は $U$ から $S^3\setminus\{N\}$ への同相写像である（段 1）。切除により $H_3(U,U\setminus\{x\})\to H_3(M,M\setminus\{x\})$ と $H_3(S^3\setminus\{N\},S^3\setminus\{N,y\})\to H_3(S^3,S^3\setminus\{y\})$ は同型であり（$M\setminus U$ は開集合 $M\setminus\{x\}$ に含まれる閉集合、$\{N\}$ も同様）、$q|_U$ は同相写像なので左の対から右の対への同型を誘導する。図式の可換性から、下の横の写像は同型である。
段 5（結論）．段 3・4 と図式の可換性から、上の横の写像 $q_*\colon H_3(M)\to H_3(S^3)$ も同型である。$\square$

2 ⇒ 1：ホモトピー同値は基本群の同型を引き起こし（ホモトピー同値 の命題「基本群・ホモロジーへの帰結」）、$S^3$ は単連結なので $M$ も単連結である。
1 ⇒ 2 を示す。$M$ を単連結とする。
段 1（向き）．単連結な多様体は向き付け可能である（向き付け可能 の定理「向きの 2 重被覆による判定」の 2）。$M$ に向きを 1 つ入れる。
段 2（ホモロジー）．$M$ は弧状連結なので $H_0(M)\cong\mathbb{Z}$ である。Hurewiczの定理 の定理「1 次元の Hurewicz の定理」により $H_1(M)\cong\pi_1(M)^{\mathrm{ab}}=0$ である。Poincaré双対 の定理「閉多様体の Poincaré 双対」により $H_2(M)\cong H^1(M)$ であり、普遍係数定理 の定理「特異コホモロジーの普遍係数定理」により
$$ H^1(M)\cong\operatorname{Hom}(H_1(M),\mathbb{Z})\oplus\operatorname{Ext}(H_0(M),\mathbb{Z})=0\oplus\operatorname{Ext}(\mathbb{Z},\mathbb{Z})=0 $$
である（自由加群 $\mathbb{Z}$ の Ext は $0$）。$H_3(M)\cong\mathbb{Z}$ で、$i>3$ では $H_i(M)=0$ である（Poincaré双対 の定理「基本類の存在と一意性」の 1・3）。よって $M$ のホモロジーは $S^3$ のホモロジーと同型である。
段 3（つぶす写像）．$M$ の点の座標近傍の中に閉球体 $B$ をとり、lem-pc-collapse の写像 $q\colon M\to S^3$ を作る。$q_*$ は $H_3$ で同型であり、$H_0$ では連結な空間どうしなので同型、$i=1,2$ と $i\ge4$ では両辺とも $0$ なので同型である。よって $q$ はすべての次数でホモロジーの同型を誘導する。
段 4（CW 複体）．Moiseの定理 の定理「Moiseの定理」により $M$ は三角形分割でき、単体複体の多面体は CW 複体である（単体複体 の定理「多面体の CW 構造」）。$M$ を同相写像でこの CW 複体と同一視する。$S^3$ も CW 複体である。
段 5（Whitehead の定理）．$M$ と $S^3$ は単連結な CW 複体で、$q$ はすべての次数でホモロジーの同型を誘導するので、Hurewiczの定理 の系「ホモロジーによる Whitehead の定理」により $q$ はホモトピー同値である。$\square$

1 ⇒ 2：ホモトピー 3 球面は thm-pc-homotopy の 2 ⇒ 1 により単連結なので、1 により $S^3$ と同相である。2 ⇒ 1：単連結な 3 次元の閉多様体は thm-pc-homotopy の 1 ⇒ 2 によりホモトピー 3 球面なので、2 により $S^3$ と同相である。$\square$

$M$ は多様体なので局所的に単連結で、普遍被覆 $p\colon\widetilde M\to M$ がある（普遍被覆空間 の定理「普遍被覆の存在」）。$\widetilde M$ は単連結で、各点のファイバーは $\pi_1(M)$ と同じ個数 $d<\infty$ の点からなる。$p$ は局所同相なので、$\widetilde M$ は局所的に $\mathbb{R}^3$ と同相で、Hausdorff である（同じファイバーの 2 点は互いに交わらない持ち上げで分けられ、ファイバーの違う 2 点は下の互いに交わらない近傍の逆像で分けられる）。$M$ の各点に、閉包が均等に被覆される近傍に含まれるコンパクトな近傍をとり、有限個 $K_1,\dots,K_s$ で $M$ を覆う。$p^{-1}(K_j)$ は $K_j$ と同相な $d$ 個のコンパクト集合の和なので、$\widetilde M=\bigcup_jp^{-1}(K_j)$ はコンパクトであり、とくに第 2 可算である（コンパクトで局所的に第 2 可算）。よって $\widetilde M$ は単連結な 3 次元の閉多様体で、thm-pc-main により $S^3$ と同相である。$\square$

閉曲面の分類定理 の定理「閉曲面の分類定理」により、閉曲面は $S^2$、$T_n$（$n\ge1$）、$P_m$（$m\ge1$）のどれかと同相である。同記事の命題「標準形の曲面の基本群とアーベル化」により、$T_n$ の基本群のアーベル化は $\mathbb{Z}^{2n}\neq0$、$P_m$ のアーベル化は $\mathbb{Z}^{m-1}\oplus\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\neq0$ なので、これらは単連結でない。同相写像は基本群の同型を引き起こすので、単連結な閉曲面は $S^2$ と同相である。$\square$