弱Hausdorff空間

1：Hausdorff 空間ではコンパクト集合 $u(K)$ は閉集合である（Hausdorff空間 の命題「コンパクト部分集合の閉性」）。弱 Hausdorff 空間の点 $x$ は 1 点空間からの試験写像の像なので、$\{x\}$ は閉集合である。
2：$C:=u(K)$ とおき、$u$ を全射 $u\colon K\to C$ とみる。$K$ の閉集合 $L$ はコンパクト Hausdorff なので、$u|_L$ も試験写像で、$u(L)$ は $X$ の閉集合、したがって $C$ の閉集合である。よって $u\colon K\to C$ は閉写像である。$C$ の相異なる 2 点 $a,b$ をとる。1 により $\{a\},\{b\}$ は閉なので、ファイバー $u^{-1}(a)$、$u^{-1}(b)$ は $K$ の交わらない閉集合であり、コンパクト Hausdorff 空間は正規空間なので、それぞれを含む交わらない開集合 $U,V\subset K$ がある。$O:=C\setminus u(K\setminus U)$、$P:=C\setminus u(K\setminus V)$ は閉写像性により $C$ の開集合で、$u^{-1}(a)\subset U$ から $a\in O$、同様に $b\in P$ である。$c\in O\cap P$ なら $u^{-1}(c)\subset U\cap V=\emptyset$ となり、$u$ が $C$ への全射であることに反する。よって $C$ は Hausdorff であり、連続像としてコンパクトである。閉集合であることは定義による。
3：$A\subset X$ を部分空間とし、$u\colon K\to A$ を試験写像とする。包含との合成は $X$ への試験写像なので $u(K)$ は $X$ の閉集合であり、$u(K)=u(K)\cap A$ は $A$ の閉集合である。
4：$P:=\prod_iX_i$、射影を $p_i$ とし、試験写像 $u\colon K\to P$ をとる。$p_i\circ u$ は $X_i$ への試験写像なので、2 により $C_i:=p_i(u(K))$ は $X_i$ の閉集合でコンパクト Hausdorff である。$Q:=\prod_iC_i=\bigcap_ip_i^{-1}(C_i)$ は $P$ の閉集合であり、Hausdorff 空間の直積として Hausdorff である。$u(K)$ は $Q$ に含まれるコンパクト集合なので $Q$ の閉集合であり、したがって $P$ の閉集合である。この議論は無限個の因子でも Tychonoffの定理 を使わない。
5：$kX$ への試験写像は $X$ への試験写像でもあるので（コンパクト生成空間 の命題「$k$ 化」の 1）、像は $X$ の閉集合であり、$kX$ の位相は $X$ の位相より細かいので $kX$ でも閉集合である。$\square$

($\Rightarrow$) $X$ を弱 Hausdorff とする。$\Delta_X$ が $k(X\times X)$ の閉集合であることは、$X\times X$ のすべての試験写像 $w\colon K\to X\times X$ について $w^{-1}(\Delta_X)$ が閉集合であることと同じである。$w=(u,v)$ と成分に分ける。$K\sqcup K$ はコンパクト Hausdorff で、$u$ と $v$ を並べた写像 $K\sqcup K\to X$ は試験写像なので、prop-wh-basic の 2 によりその像 $C:=u(K)\cup v(K)$ はコンパクト Hausdorff な部分空間である。$w$ は $C\times C$ への連続写像とみなせ、$C$ は Hausdorff なので $\Delta_C=\Delta_X\cap(C\times C)$ は $C\times C$ の閉集合である。よって $w^{-1}(\Delta_X)=w^{-1}(\Delta_C)$ は閉集合である。この向きでは $X$ が $k$-空間であることを使わない。
($\Leftarrow$) $\Delta_X$ が $k(X\times X)$ の閉集合であるとし、試験写像 $u\colon K\to X$ をとる。$u(K)$ が $k$-閉集合であることを示せば、$X$ は $k$-空間なので $u(K)$ は閉集合である。別の試験写像 $v\colon L\to X$ をとる。$K\times L$ はコンパクト Hausdorff であり（Tychonoffの定理）、$u\times v\colon K\times L\to X\times X$ は試験写像なので $k(X\times X)$ への連続写像でもある。よって
$$ E:=(u\times v)^{-1}(\Delta_X)=\{(a,b)\in K\times L\mid u(a)=v(b)\} $$
は $K\times L$ の閉集合、したがってコンパクトである。第 2 射影 $K\times L\to L$ による $E$ の像は $v^{-1}(u(K))$ に等しく、コンパクト集合の連続像として Hausdorff 空間 $L$ のコンパクト集合なので、閉集合である。$v$ は任意だったので、$u(K)$ は $k$-閉集合である。$\square$

$Y:=X/R$ とおく。まず $Y$ は $k$-空間である。実際、$A\subset Y$ が $k$-閉集合なら、$X$ への試験写像 $v$ について $q\circ v$ は $Y$ への試験写像なので $v^{-1}(q^{-1}(A))$ は閉であり、$X$ は $k$-空間なので $q^{-1}(A)$ は閉、商位相の定義により $A$ は閉集合である。
$q\times q\colon X\times X\to Y\times Y$ は連続なので、$X\times_kX\to Y\times Y$ も連続であり、$X\times_kX$ は $k$-空間なので $X\times_kX\to Y\times_kY$ も連続である（コンパクト生成空間 の命題「$k$ 化」の 4）。$R=(q\times q)^{-1}(\Delta_Y)$ である。
($\Rightarrow$) $Y$ が弱 Hausdorff なら、thm-wh-diagonal により $\Delta_Y$ は $Y\times_kY$ の閉集合であり、その逆像 $R$ は $X\times_kX$ の閉集合である。
($\Leftarrow$) $q\times q\colon X\times_kX\to Y\times_kY$ は、$q\times\mathrm{id}_X\colon X\times_kX\to Y\times_kX$ と $\mathrm{id}_Y\times q\colon Y\times_kX\to Y\times_kY$ の合成である。$k$-空間の商写像に $k$-空間を $k$ 化した積で掛けたものは商写像である（写像空間の指数法則(位相空間) の系「$k$ 化した積と商写像」）。$X$ と $Y$ は $k$-空間なので、2 つの写像はどちらも商写像であり、合成 $q\times q$ も商写像である。$R$ が閉集合なら、$\Delta_Y$ の逆像が閉なので $\Delta_Y$ は $Y\times_kY$ の閉集合であり、$Y$ は $k$-空間なので thm-wh-diagonal により弱 Hausdorff である。
最後の主張は、$Y$ が $k$-空間であることと前半による。$\square$