内部Hom

同義語：internal Hom内部Hom対象

概要

前提知識: モノイダル圏, テンソル積, 随伴, 加群, 層

射を同じ圏の対象として集める

内部Hom（internal Hom）は、二つの対象の間の射を、単なる集合ではなく、もとの圏の対象として表す構成である。例えば可換環 $R$ 上の加群 $M,N$ について、$R$ 線形写像全体 $\operatorname{Hom}_R(M,N)$ は集合であるだけでなく、写像を点ごとに足したり $R$ の元で倍したりできる $R$ 加群でもある。この加群が、$R$ 加群のテンソル積に対する内部Homになる。
「射の集合に構造を足す」という直感だけでは定義に足りない。内部Homを特徴付けるのは、テンソル積との自然な対応である。対象 $T$ から内部Hom $[M,N]$ への射は、$T\otimes M$ から $N$ への射と自然に一対一になる。この対応があるため、写像の評価、合成、層上での局所的な写像の貼り合わせが同じ枠組みで記述できる。本記事は一般の定義を述べた後、集合、加群、環付き空間上の加群層の例を詳しく計算し、通常の Hom 集合や豊穣圏の Hom 対象との違いを整理する。

テンソル積との随伴による定義

$\mathcal C$ を局所小なモノイダル圏とし、テンソル積を $\otimes$、単位対象を $I$ と書く。局所小とは、二対象間の射の集まりが集合になることをいう。ここでは式を読みやすくするため対称モノイダル圏を主に想定するが、定義そのものは右側に固定した対象を掛ける形で一般のモノイダル圏にも述べられる。

内部Hom

$U,V\in\mathcal C$ に対して対象 $[U,V]\in\mathcal C$ があり、すべての $T\in\mathcal C$ について
$$ \operatorname{Hom}_{\mathcal C}(T,[U,V]) \cong\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(T\otimes U,V) $$
が $T,U,V$ に関して自然に成り立つとき、$[U,V]$ を $U$ から $V$ への内部Homという。すべての組 $(U,V)$ に対して内部Homがある圏を、この向きについて閉なモノイダル圏という。

固定した $U$ について見ると、関手 $-\otimes U$ が右随伴 $[U,-]$ を持つ、という意味である（StacksCatHom Remark 4.43.16）。対称性があれば $T\otimes U$ と $U\otimes T$ を入れ替えられるが、一般の非対称なモノイダル圏では左から掛けるか右から掛けるかで二種類の閉性を区別する。以後の加群と層の例ではテンソル積が対称なので、この向きの混乱は生じない。
定義式の左辺は依然として通常の Hom 集合である。$[U,V]$ はその集合そのものではなく、$\mathcal C$ の対象である。この違いは層の例で決定的になる。内部Hom層は各開集合で使える射を組織するが、全空間上の射集合はその層の大域切断だけである。

評価写像と通常の射集合

内部Hom $[U,V]$ があるとき、自然な評価写像
$$ \operatorname{ev}_{U,V}\colon[U,V]\otimes U\longrightarrow V $$
が定まる。また単位対象を使うと
$$ \operatorname{Hom}_{\mathcal C}(U,V) \cong\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(I,[U,V]) $$
となる。

評価写像の構成

定義の自然な対応で $T=[U,V]$ とする。左辺の恒等射 $\operatorname{id}_{[U,V]}$ に対応する右辺の射を $\operatorname{ev}_{U,V}$ と定める。次に $T=I$ とすると $I\otimes U\cong U$ だから、定義の対応は $\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(I,[U,V])\cong\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(U,V)$ になる。いずれも与えられた自然な対応から作っているので、対象の射を変えても対応が保たれる。

例えば $R$ 加群の圏では $I=R$ である。加群 $H$ に対し $R$ 線形写像 $R\to H$ は $1$ の行き先で一意に決まるので、$\operatorname{Hom}_R(R,H)$ は $H$ の元の集合と対応する。従って内部Hom加群の「大域的な元」が通常の線形写像に当たる。この説明を一般の圏で「内部Homの元はすべて射」と言い換えると危険である。元を表す単位対象からの射の性質は圏ごとに異なる。

集合と加群の具体例

集合の圏ではテンソル積の役を直積 $\times$、単位対象の役を一元集合 $\{*\}$ が担う。集合 $U,V$ に対して関数全体の集合 $V^U$ を置くと、写像 $T\to V^U$ は各 $t\in T$ に関数 $U\to V$ を割り当てることと同じであり、同値に写像 $T\times U\to V$ を与える。よって集合の圏の内部Homは指数集合 $[U,V]=V^U$ である。ここでは内部Homはたまたま通常の関数集合と同じ集合になるが、圏が集合を対象とするためである。
可換環 $R$ 上の加群の圏では $[M,N]=\operatorname{Hom}_R(M,N)$ と置ける。右辺を加群として見ると、$(f+g)(m)=f(m)+g(m)$、$(rf)(m)=r f(m)$ である。任意の $R$ 加群 $T$ に対し
$$ \operatorname{Hom}_R(T,\operatorname{Hom}_R(M,N)) \cong\operatorname{Hom}_R(T\otimes_R M,N) $$
が成り立つ（StacksModuleHom Lemma 10.12.8）。$T$ から Hom 加群への写像 $\phi$ は、$t\otimes m\mapsto\phi(t)(m)$ という写像を与える。逆向きは $T\otimes_RM\to N$ で与えられた写像 $F$ に対し、$t\mapsto(m\mapsto F(t\otimes m))$ とすればよい。

加群のテンソルと Hom の随伴

$R$ を可換環、$T,M,N$ を $R$ 加群とする。上の二つの対応は互いに逆であり、三つの加群すべてについて自然な $R$ 加群同型
$$ \operatorname{Hom}_R(T\otimes_RM,N) \simeq\operatorname{Hom}_R(T,\operatorname{Hom}_R(M,N)) $$
を与える。

加群の随伴

$F\colon T\otimes_RM\to N$ に対し $\Phi_F(t)(m)=F(t\otimes m)$ と定める。$F$ の線形性から $m\mapsto\Phi_F(t)(m)$ は線形である。また $(t+t')\otimes m=t\otimes m+t'\otimes m$、$(rt)\otimes m=t\otimes(rm)$ なので、$t\mapsto\Phi_F(t)$ も $R$ 線形である。逆に $\Phi\colon T\to\operatorname{Hom}_R(M,N)$ から $(t,m)\mapsto\Phi(t)(m)$ を作ると、各変数について線形で、$R$ 平衡条件を満たす。テンソル積の普遍性により、これは一意の $R$ 線形写像 $F_\Phi\colon T\otimes_RM\to N$ を与える。定義を純テンソル $t\otimes m$ と元 $t$ に代入すれば $\Phi_{F_\Phi}=\Phi$、$F_{\Phi_F}=F$ と分かる。構成は各変数の準同型との合成と両立するから自然である。

有限自由加群なら内部Homは行列で見える。$M=R^m$、$N=R^n$ とすると、線形写像は標準基底の像 $m$ 個で決まり、各像は $R^n$ の元だから
$$ [R^m,R^n]\cong R^{nm} $$
である。これは内部Homが対象として存在することを、抽象的な随伴の式なしにも実感させる。$m=n=1$ では $\operatorname{Hom}_R(R,R)\cong R$ で、評価写像 $R\otimes_RR\to R$ は積に対応する。
一方、$M=R/I$ とすると、$R$ 線形写像 $R/I\to N$ は $1+I$ の像 $x\in N$ で決まり、$ax=0$ がすべての $a\in I$ に対して必要十分である。従って
$$ [R/I,N]\cong\{x\in N\mid Ix=0\} $$
である。例えば $R=\mathbb Z$、$I=(2)$、$N=\mathbb Z$ なら内部Homは零加群だが、$N=\mathbb Z/4\mathbb Z$ なら $\{0,2\}$ という二元の部分加群になる。固定した第一変数に対する内部Homの値は、第二変数の構造を細かく反映する。

評価と合成の内部化

通常の関数は $U\to V$、$V\to W$ を順に合成できる。内部Homでも合成は単なる集合上の演算にとどまらず、$\mathcal C$ の射として
$$ [V,W]\otimes[U,V]\longrightarrow[U,W] $$
になる（StacksCatHom）。これは $[V,W]\otimes[U,V]\otimes U$ から二度の評価で $W$ へ写し、随伴によって右端の内部Homへ移したものである。対称モノイダル圏ではテンソル因子を交換して同値の式も書ける。

内部合成の結合性

内部Homの評価から作った合成は結合的である。単位対象から内部Homへの射 $I\to[U,U]$ で表される恒等射が左右の単位になる。

内部合成の結合性

$[W,Z]\otimes[V,W]\otimes[U,V]$ から $[U,Z]$ への二通りの合成を比べる。内部Homの定義により、それぞれをさらに $U$ とテンソルして $Z$ へ評価した射が等しければ元の射も等しい。一方、どちらの順に内部合成しても、テンソル因子と $U$ に対して順次 $[U,V]\otimes U\to V$、$[V,W]\otimes V\to W$、$[W,Z]\otimes W\to Z$ を施す同じ射になる。従って二通りの合成は等しい。$I\to[U,U]$ は $I\otimes U\cong U$ の恒等射に対応する。これを合成の左または右に入れて評価すれば、評価だけが残るので単位律も従う。

これは豊穣圏と接続するが、内部Homと任意の豊穣圏の Hom 対象は同義ではない。閉モノイダル圏 $\mathcal C$ は、自身の二対象 $U,V$ の間を $[U,V]$ として自己を豊穣化できる。しかし、別の $\mathcal C$ 豊穣圏 $\mathcal A$ の Hom 対象 $\mathcal A(x,y)$ は、基礎圏 $\mathcal C$ のある二対象の内部Homとして与えられるとは限らない。前者はテンソル積との随伴で特徴付けられる構成、後者は合成と単位を備える構造の一部である。

層の内部Hom

$(X,\mathcal O_X)$ を環付き空間とし、$\mathcal F,\mathcal G$ を $\mathcal O_X$ 加群の層とする。各開集合 $U\subseteq X$ に
$$ \mathcal H om_{\mathcal O_X}(\mathcal F,\mathcal G)(U) =\operatorname{Hom}_{\mathcal O_U}(\mathcal F|_U,\mathcal G|_U) $$
を対応させる。右辺は $U$ 上で定義された層の射全体であり、単に $\mathcal F(U)$ から $\mathcal G(U)$ への $\mathcal O_X(U)$ 線形写像全体ではない。層の射は $U$ のすべての開部分集合への制限と両立する。こうして得られるものは $\mathcal O_X$ 加群の層で、$\mathcal F$ から $\mathcal G$ への内部Hom層という（StacksSheafHom Section 17.22）。
この定義では大域切断を取ると
$$ \Gamma(X,\mathcal H om_{\mathcal O_X}(\mathcal F,\mathcal G)) =\operatorname{Hom}_{\mathcal O_X}(\mathcal F,\mathcal G) $$
になる。従って普通の Hom 集合は内部Hom層の全体ではなく、その大域的な切断として現れる。さらに層のテンソル積について
$$ \operatorname{Hom}_{\mathcal O_X}(\mathcal T\otimes_{\mathcal O_X}\mathcal F,\mathcal G) \cong\operatorname{Hom}_{\mathcal O_X} (\mathcal T,\mathcal H om_{\mathcal O_X}(\mathcal F,\mathcal G)) $$
が成り立つ（StacksSheafHom Lemma 17.22.1）。これは一般定義の随伴を層の圏で実現したものである。

層の内部Homと評価

層の内部Homには自然な評価写像
$$ \mathcal H om_{\mathcal O_X}(\mathcal F,\mathcal G) \otimes_{\mathcal O_X}\mathcal F\longrightarrow\mathcal G $$
がある。$\mathcal F=\mathcal O_X$ のとき $\mathcal H om_{\mathcal O_X}(\mathcal O_X,\mathcal G)\cong\mathcal G$ となる。

層の評価と単位

開集合 $U$ 上の層の射 $\varphi\colon\mathcal F|_U\to\mathcal G|_U$ と局所切断 $s\in\mathcal F(U)$ に対し、評価を $\varphi(s)\in\mathcal G(U)$ とする。この操作は $\mathcal O_X(U)$ 双線形で、開集合を狭めても変わらない。テンソル積の普遍性と貼り合わせにより、層の射としての評価写像が得られる。$\mathcal F=\mathcal O_X$ の場合、任意の $\mathcal O_U$ 線形射 $\mathcal O_U\to\mathcal G|_U$ は $1$ の像で決まる。逆に $\mathcal G(U)$ の切断 $g$ は $a\mapsto ag$ という射を与える。この二つは各 $U$ で互いに逆で、制限とも両立するから層の同型を与える。

茎と Hom を交換できる範囲

層を点 $x$ の近くで調べると、内部Hom層の茎から茎の Hom への自然な写像
$$ \mathcal H om_{\mathcal O_X}(\mathcal F,\mathcal G)_x \longrightarrow \operatorname{Hom}_{\mathcal O_{X,x}}(\mathcal F_x,\mathcal G_x) $$
がある。左辺は「ある近傍上で定義された層の射」を縮小して同一視したもので、右辺は二つの茎という加群の間のすべての線形写像である。無限個の生成元を持つと、各生成元について必要な近傍を同時に一つにできない場合がある。従ってこの写像を常に同型とみなしてはいけない（StacksSheafHom Lemma 17.22.4）。

有限表示なら茎で Hom と交換する

$\mathcal F$ が $x$ の近傍で有限表示なら、上の自然な写像は同型である。$\mathcal F$ が有限生成なら少なくとも単射である。

有限表示の場合

まず $\mathcal F$ が近傍上で $r$ 個の切断により生成されるとする。近傍上の射が $x$ の茎で零なら、各生成元の像は $x$ の周りのどこかで零である。生成元は有限個なので、それらの近傍の共通部分を取り、射全体が零になる。従って自然写像は単射である。
さらに有限表示なら、近傍を縮めて有限個の生成元と有限個の関係式による表示 $\mathcal O_X^s\to\mathcal O_X^r\to\mathcal F\to0$ を取れる。$\mathcal H om(\mathcal F,\mathcal G)$ は $\mathcal G^r\to\mathcal G^s$ の核として書ける。茎を取る操作は有限直和と核に両立するから、その茎は $\mathcal G_x^r\to\mathcal G_x^s$ の核である。一方 $\mathcal F_x$ の表示に加群の Hom を適用しても $\operatorname{Hom}_{\mathcal O_{X,x}}(\mathcal F_x,\mathcal G_x)$ は同じ核になる。両者の同型が自然写像そのものなので、結論が従う。

有限表示条件を外すと全射性は失われうる。$X=\operatorname{Spec}\mathbb Z$、$x=(2)$ とし、$\mathcal F=\bigoplus_{n\ge1}\mathcal O_X$、$\mathcal G=\mathcal O_X$ を考える。茎では $\mathcal F_x=\bigoplus_{n\ge1}\mathbb Z_{(2)}$ なので、右辺の Hom は $\prod_{n\ge1}\mathbb Z_{(2)}$ である。互いに異なる奇素数 $q_n$ を選ぶと、各座標が $1/q_n$ の列は右辺の元である。
しかし、左辺の元は $x$ を含む一つの基本開集合 $D(f)$（$f$ は奇数）上の層の射から来る。そこでの射は各自由生成元の像を $\mathbb Z_f$ の元として指定するので、対応する列の全座標は一つの $\mathbb Z_f$ に入らなければならない。$1/q_n\in\mathbb Z_f$ には $q_n$ が $f$ の素因数であることが必要だが、一つの整数 $f$ は無限個の異なる $q_n$ を含めない。従ってこの茎の Hom は近傍上の一つの射から来ず、自然写像は全射ではない。有限表示という仮定が、単なる技術的飾りでないことが分かる。

完全性と導来内部Hom

固定した加群 $M$ に対する $\operatorname{Hom}_R(M,-)$ は左完全である。実際、$0\to N'\to N\to N''$ が完全なら、$M\to N$ の写像で $N''$ への合成が零になるものは、像が $N'$ に含まれるため、一意に $M\to N'$ を通る。同様に層の内部Homも第二変数について左完全である（StacksSheafHom Lemma 17.22.2）。
ただし一般には右完全ではない。$\mathbb Z$ 加群の短完全列 $0\to\mathbb Z\xrightarrow{2}\mathbb Z\to\mathbb Z/2\mathbb Z\to0$ に $\operatorname{Hom}_{\mathbb Z}(\mathbb Z/2\mathbb Z,-)$ を施すと、最初の二つの Hom は零だが、最後の $\operatorname{Hom}_{\mathbb Z}(\mathbb Z/2,\mathbb Z/2)\cong\mathbb Z/2$ は非零である。従って最後の写像は全射でない。内部Homを適用したら短完全列がそのまま残る、という推論はできない。
導来圏では、この失われる完全性を記録するために導来内部Hom $R\mathcal H om$ を考える。導来テンソル積との随伴
$$ \operatorname{Hom}_{D(\mathcal O_X)} (\mathcal T^\bullet\otimes_{\mathcal O_X}^{\mathbf L}\mathcal F^\bullet, \mathcal G^\bullet) \cong \operatorname{Hom}_{D(\mathcal O_X)} (\mathcal T^\bullet,R\mathcal H om(\mathcal F^\bullet,\mathcal G^\bullet)) $$
は、通常の層の随伴を導来圏に移した形である（StacksDerivedHom Section 20.42）。これが六演算や層コホモロジーに内部Homが現れる理由の一つである。ただし通常の $\mathcal H om$ と $R\mathcal H om$ は異なる対象であり、導来記号を消して同一視してよいとは限らない。

用語を見分けるための確認

内部Homという語に出会ったら、まずどの圏の対象かを確認する。集合の圏では $V^U$、$R$ 加群の圏では Hom 加群、環付き空間上の層の圏では Hom 層が答えになる。次にどのテンソル積に対する右随伴かを確認する。直積、環上のテンソル積、層のテンソル積、導来テンソル積では、対応する内部Homも違う。
また、対象 $[U,V]$ と射集合 $\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(U,V)$ を区別する。単位対象からの射を取ってはじめて後者を回収できる。層ではこれは大域切断を取ることに当たり、各点の茎の Hom に置き換えるには有限表示などの追加条件が要る。豊穣圏の Hom 対象は内部Homを使って構成できる場合があるが、概念上は別の役割を持つ。この三つの確認をしてから式を書くと、局所的な射と大域的な射、通常の Hom と導来 Hom を混同しにくい。

条件を外したときの反例

内部Homの存在、茎との交換、完全性の主張は、どれも条件付きである。条件を外すと成り立たなくなる例を表にする。

外す条件	反例	成り立たなくなること
$-\otimes U$ が右随伴を持つ（閉性）	集合の圏に非交和 $\sqcup$ をテンソル積、$\emptyset$ を単位として入れたモノイダル圏	内部Hom $[U,V]$ が存在する
$\mathcal F$ が有限表示	$\operatorname{Spec}\mathbb Z$ 上の $\mathcal F=\bigoplus_{n\ge1}\mathcal O_X$、$\mathcal G=\mathcal O_X$、$x=(2)$	茎の自然写像 $\mathcal H om(\mathcal F,\mathcal G)_x\to\operatorname{Hom}(\mathcal F_x,\mathcal G_x)$ が全射
第二変数の完全列が分裂する	$0\to\mathbb Z\xrightarrow{2}\mathbb Z\to\mathbb Z/2\to0$ に $\operatorname{Hom}_{\mathbb Z}(\mathbb Z/2,-)$	内部Homが短完全列を短完全列に写す
第一変数の完全列が分裂する	同じ列に $\operatorname{Hom}_{\mathbb Z}(-,\mathbb Z)$	内部Homが（反変に）短完全列を短完全列に写す

有限表示の行と第二変数の行は本文で確かめた。残りを確かめる。

閉でないモノイダル圏と第一変数の完全性

非交和によるモノイダル構造。 集合の圏で $\sqcup$ は結合的・対称で、$\emptyset\sqcup U\cong U$ だから $\emptyset$ を単位とするモノイダル圏になる。$U\ne\emptyset$ を固定し、内部Hom $[U,V]$ があったとする。$T=\emptyset$ とすると定義の対応は
$$ \operatorname{Hom}(\emptyset,[U,V])\cong\operatorname{Hom}(\emptyset\sqcup U,V)=\operatorname{Hom}(U,V) $$
である。左辺は空写像ただ一つの一元集合である。$V=\emptyset$ とすると、右辺は空でない $U$ から空集合への写像の集合で、空集合である。一元集合と空集合は全単射でないので矛盾し、$[U,\emptyset]$ は存在しない。同じ集合の圏でも、直積をテンソル積にすれば $[U,V]=V^U$ があるので、閉性はテンソル積の選び方に依存する。
第一変数の完全性。 $0\to\mathbb Z\xrightarrow{2}\mathbb Z\to\mathbb Z/2\to0$ に $\operatorname{Hom}_{\mathbb Z}(-,\mathbb Z)$ を施すと
$$ 0\to\operatorname{Hom}(\mathbb Z/2,\mathbb Z)\to\operatorname{Hom}(\mathbb Z,\mathbb Z)\xrightarrow{\,2\,}\operatorname{Hom}(\mathbb Z,\mathbb Z) $$
となる。$\operatorname{Hom}(\mathbb Z/2,\mathbb Z)=0$（$\mathbb Z$ に位数 $2$ の元がない）、$\operatorname{Hom}(\mathbb Z,\mathbb Z)\cong\mathbb Z$ で、最後の写像は $2$ 倍である。像は $2\mathbb Z$ で、$\mathbb Z$ 全体ではない。従って右端で全射でなく、短完全列は保たれない。

参照箇所

原典

モノイダル圏の内部Homの随伴による特徴付け、評価と内部合成は StacksCatHom Remark 4.43.16 に従った。加群のテンソル積と Hom の随伴は StacksModuleHom Lemma 10.12.8 にある。層の内部Hom、評価、有限表示の下での茎との交換と左完全性は StacksSheafHom Section 17.22、導来内部Homは StacksDerivedHom Section 20.42 を参照した。