次元公式

素 $Q\subset S^{-1}R$ の縮約 $P=\{a\in R:a/1\in Q\}$ は素で、$S$ の元は単元なので $S\cap P=\emptyset$。$a/s\in Q$ は $a/1\in Q$ と同値だから $Q=S^{-1}P$ である。逆に $S$ を避ける素 $P$ について、$(a/s)(b/t)\in S^{-1}P$ ならある $u\in S$ で $uab\in P$。素性と $u\notin P$ から $a\in P$ または $b\in P$ となる。さらに $a/1\in S^{-1}P$ なら $ua\in P$ となる $u\in S$ があり、$a\in P$。従って縮約も戻る。
反復局所化の写像は
$$\frac{a/s}{b/t}\longmapsto\frac{at}{sb}$$
で、$b\notin P$ だから右辺の分母は $P$ 外である。逆は $a/b\mapsto(a/1)/(b/1)$。分数の等号は、差の分子がある許された分母で殺されるという条件なので両写像は同値類に依存しない。分数の和と積を保ち、合成は元の分数に戻る。特に $S=R\setminus P$ の素は $P$ 以下の素にちょうど対応し、高さは局所化の次元に等しい。$0\in S$ の場合は局所化は零環で素はなく、対応する $P$ もない。$\square$

整な元 $u$ のモニック関係の次数を $m$ とすれば、その元で生成する代数は $1,u,\ldots,u^{m-1}$ で加群として生成される。有限個の整な元で生成する代数も冪単項式で有限となり、この事実を二段に適用して有限性の推移性を得る。整関係は商と局所化に移る。局所化では $u/s$ の関係は元の関係を $s$ の冪で割ればよい。
整域 $C\subset D$ が整拡大のとき、$C$ が体であることと $D$ が体であることは同値である。$C$ が体なら非零 $u\in D$ の最小次数のモニック関係は非零定数項をもち、それを使って $u^{-1}$ を多項式として書ける。逆に $D$ が体なら $0\ne a\in C$ の逆元が整であり、そのモニック関係に $a^{m-1}$ を掛けると $a^{-1}\in C$ となる。従って一般の整拡大で素イデアル $Q$ が極大であることと $Q\cap C$ が極大であることは、$C/(Q\cap C)\subset D/Q$ へのこの議論から同値である。
$C\subset D$ が整拡大で $P\in\operatorname{Spec}C$ とする。$C_P\subset (C\setminus P)^{-1}D$ は単射で非零の整拡大である。上側の極大イデアルを取ると、その縮約は局所環 $C_P$ の極大イデアルとなる。逆像は $D$ の $P$ の上の素イデアルである。これがlying overである。$Q\subset Q'$ が同じ $P$ へ縮約するなら、この局所化後の両素イデアルは極大になるため等しい。局所化の素対応で戻せば $Q=Q'$。これがincomparabilityである。$P\subset P'$ とその上の $Q$ について、$C/P\subset D/Q$ にlying overを適用して $P'/P$ の上の素を取り逆像に戻すと $Q$ の上へ素鎖を持ち上げられる。これがgoing upである。
従って上側の素鎖の縮約はincomparabilityで真の包含を保ち、下側の任意の有限素鎖はlying overとgoing upで同じ長さに持ち上がる。整拡大では次元が等しい。この議論は無限次元でも有限鎖ごとに成立する。

有限 $R$ 加群である $R$ 代数 $T$ の生成元を $v_1,\ldots,v_m$ とする。$u\in T$ に対し $uv_i=\sum_j a_{ij}v_j$、$a_{ij}\in R$ と書く。行列 $uI-(a_{ij})$ に随伴行列を掛けると、モニック多項式 $\det(XI-(a_{ij}))$ の $u$ での値が全 $v_i$ を零化する。$1\in T$ もそれらの線形結合なので、その値は零である。従って $u$ は整である。
整な元 $x,y$ なら、そのモニック関係で冪を減らして $R[x,y]$ は有限 $R$ 加群となる。$x+y$ と $xy$ はこの有限代数の元だから整である。有限性の推移は、上側の有限生成元と下側の有限生成元の全ての積を生成元に取ることで従う。$T$ の全元が整であるとき有限個の整な元を付けた環は有限であり、この計算を反復できる。$\square$

$A=k[a_1,\ldots,a_n]\ne0$ とし、生成元の個数で帰納する。$n=0$ なら $A=k$ であり空の族を取る。$a_i$ が代数的独立ならその族自身を取る。そうでなければ、非零の関係 $F(a_1,\ldots,a_n)=0$ がある。$F$ の各変数次数より大きい整数 $D$ を取り、$w_i=D^i$（$1\le i< n$）とする。各単項式 $X_1^{e_1}\cdots X_n^{e_n}$ の重み $e_n+\sum_{i< n}D^ie_i$ は、$0\le e_i< D$ の範囲で相異なる。
$X_i=Y_i+X_n^{w_i}$ を $F$ に代入すると、$X_n$ の最高次数は唯一の最大重み単項式から生じ、その係数は $k$ の非零定数である。これで割れば $X_n$ についてモニックとなる。$b_i=a_i-a_n^{w_i}$ と置くと、$a_n$ は $k[b_1,\ldots,b_{n-1}]$ 上整であり、$a_i=b_i+a_n^{w_i}$ なので $A=k[b_1,\ldots,b_{n-1}][a_n]$ はその部分環上有限である。
$n-1$ 個で生成される部分環へ帰納法を適用し、それが代数的独立な $z_1,\ldots,z_d$ の多項式環上有限となるように取る。有限性の推移性によって $A$ もその上有限となる。体が無限であることや、係数を「一般的に」選べることを使わないので、有限体でも全く同じ証明である。
残る $d=\dim A$ のために、多項式環の次元を次の補題で計算する。整拡大の次元不変性を適用すれば、$\dim A=\dim k[z_1,\ldots,z_d]=d$ となる。

まず有限生成 $k$ 整域 $D$ と非零素イデアル $Q$ について、商体の超越次数が厳密に下がることを示す。直前の構成を $D$ に適用して、代数的独立な $z_1,\ldots,z_t$ による部分環 $P=k[z_1,\ldots,z_t]$ の上で $D$ を有限にする。$\operatorname{Frac}D$ は $\operatorname{Frac}P$ 上代数的なので、その超越次数は $t$ である。ここで、代数的拡大は超越基底を変えない。実際、$z_i$ は上側でも独立であり、上側の全元は $k(z_1,\ldots,z_t)$ 上代数的であるためである。
$Q\cap P$ は零でない。もし零なら $D$ の素点 $0\subset Q$ は同じ縮約を持ち、incomparability によって $Q=0$ となるからである。従って $P/(Q\cap P)$ の $t$ 個の生成元には非零多項式関係があり、商体の超越次数は高々 $t-1$ である。この最後の主張は、有限生成体の生成元から極大な代数的独立部分族を選ぶ計算による。選ばれなかった生成元 $u$ との非零関係を $u$ の多項式として書けば、独立部分族に評価した係数は全て零にはならず、$u$ はその部分族の有理関数体上代数的である。全生成元に関係があるので独立部分族の個数は $t$ 未満となる。
$D/Q$ は $P/(Q\cap P)$ 上整なので、その商体も下側の商体上代数的であり、超越次数は高々 $t-1$。これは次元の主張を前提にしていない。
今 $k[X_1,\ldots,X_r]$ の厳密な素鎖 $P_0\subsetneq\cdots\subsetneq P_n$ を取る。各隣接包含に上の計算を $D=k[X_1,\ldots,X_r]/P_i$、$Q=P_{i+1}/P_i\ne0$ として適用すれば、非負整数である商体の超越次数は各段で少なくとも一つ下がる。最初の次数は高々 $r$ なので $n\le r$。従って次元は高々 $r$ である。他方
$$ (0)\subsetneq(X_1)\subsetneq(X_1,X_2)\subsetneq\cdots\subsetneq(X_1,\ldots,X_r) $$
は長さ $r$ の素鎖である。各剰余環は残りの変数の多項式環という整域であり、次の変数の像は非零なので包含は厳密である。$r=0$ では体の唯一の素イデアルが零で、次元は零。この下界と上界で主張を得る。

有限生成 $k$ 整域 $A$ の正規化で、$P=k[z_1,\ldots,z_t]\subset A$ を有限拡大とする。上の素鎖比較と多項式環の次元から $\dim A=t$。一方、商体は $k(z_1,\ldots,z_t)$ 上代数的で、$z_i$ は独立だから $\operatorname{trdeg}_k\operatorname{Frac}(A)=t$。従って有限型体整域の次元は商体の超越次数に等しい。全素点の高さ公式を次に証明する。

代数生成元から極大な代数的独立部分族 $y_1,\ldots,y_t$ を選ぶ。残りの有限個の生成元は $K=k(y_1,\ldots,y_t)$ 上代数的である。そのモニック関係の係数の分母を一つの非零多項式 $h$ にまとめると、$L$ は $R=k[y_1,\ldots,y_t,1/h]$ 上整である。実際 $L$ の元は元の代数生成元の多項式なので、それらの整性から従う。
整域の整拡大で上側が体なら下側も体であることは、先の整拡大の補題で証明した。従って $R$ は体となる。$t>0$ なら $g=1+h y_1$ は非定数多項式であり、$k[y_1,\ldots,y_t]$ の非単元である。もし $R$ で単元なら $g u=h^N$ となる多項式 $u$ がある。多項式環が一意分解整域であることを次の補題で証明する。その中で $g$ の任意の素因子は $h$ を割れない。共通因子があれば $g-hy_1=1$ も割るからである。従って $gu=h^N$ は不可能。$R$ が体であることに矛盾するので $t=0$。有限個の代数的生成元を順に付ければ有限体拡大となる。$\square$

一意分解整域 $R$ の商体を $K$ とする。多項式の係数の最大公約因子を内容と呼び、それで割った多項式を原始多項式と呼ぶ。二つの原始多項式の積は原始である。もし素元 $p$ が積の全係数を割るなら、整域 $(R/(p))[T]$ で二つの非零多項式の積が零となり矛盾する。従って内容は積に関して、単元倍を除いて乗法的である。
$K[T]$ は次数による除法をもつため、既約多項式への分解が存在し、既約元は素である。$K[T]$ の各因子は分母を払って内容を除けば $R[T]$ の原始多項式に比例する。原始多項式 $f$ の $K[T]$ での因子分解にこの操作をすると、$f=c\prod_i g_i$、$c\in K^\times$、$g_i$ 原始となる。$c=a/b$ を既約分数で書けば $bf=a\prod_i g_i$ の内容比較から $a,b$ は同伴であり、$c$ は $R$ の単元である。よって分解は $R[T]$ 内にある。一般の多項式は内容を先に素元分解すればよい。原始既約因子の素性は $K[T]$ での素性と同じ内容比較により $R[T]$ に戻り、係数環の素元も $(R/(p))[T]$ が整域なので素である。これで $R[T]$ の一意分解性を得る。体から変数ごとに帰納すれば主張の前半となる。
一意分解整域の商体の既約分数 $a/b$ が整であるとする。モニック式に $b^n$ を掛けると $b\mid a^n$。$a,b$ は共通素因子を持たないため $b$ は単元となり、$a/b\in R$。従って整閉である。変数が零個の場合は体そのものなので両主張は直ちに成立する。$\square$

$P/\mathfrak m$ は有限型の体なので、直前の体の補題により $k$ 上有限代数的である。$P_0=k[T_1,\ldots,T_{d-1}]$ への縮約 $\mathfrak m_0$ について、$P_0/\mathfrak m_0$ はこの有限代数拡大の部分環である。代数的な元で生成される整域は体となる。非零元の最小多項式の非零定数項から逆元を多項式で書けるからである。従って $\mathfrak m_0$ は極大である。
帰納法で $\mathfrak m_0$ へ至る長さ $d-1$ の素鎖を選ぶ。各素イデアルを $P_0[T_d]$ へ延長すると剰余環が整域の多項式環なので素であり、縮約により真の包含も保たれる。その終端 $\mathfrak m_0P$ は $\mathfrak m$ に真に含まれる。もし等しければ $P/\mathfrak m=(P_0/\mathfrak m_0)[T_d]$ が体でないことに反する。従って高さは少なくとも $d$。lem-df-polynomial-dimension の多項式次元計算から $\dim P=d$ なので高さは高々 $d$。$d=0$ では体の零素のみであり高さ零である。$\square$

代数閉包内で、有限代数拡大の埋め込みは生成元を一つずつ付けて延長できる。埋め込み済みの体の係数で最小多項式を書き、その係数を移した多項式の根を選べば、評価により単純拡大の単射が得られる。有限個の生成元を反復する。$L/K$ が正規なら各元の $K$ 上の最小多項式の全根は $L$ 内にあるので、得られた $K$ 埋め込みは $L$ を $L$ 内へ移す。有限 $K$ 次元の単射だから全射であり自己同型である。
$a\in L$ の最小多項式を $f$ とする。標数零では既約多項式の導関数は非零で、$\gcd(f,f')=1$ より根は相異なる。標数 $p$ では $f'=0$ なら $f(X)=g(X^p)$ と書ける。指数を反復して $f(X)=h(X^{p^e})$、$h'\ne0$ とする。$h$ は既約で、$a^{p^e}$ の最小多項式である。実際、$h$ の非自明な因子やより低次数の関係があれば $f$ にも因子やより低次数の関係が出る。$h$ は分離的である。
$a$ が全自己同型で固定されるなら $b=a^{p^e}$ も固定される。$b$ の任意の共役への $K(b)$ の埋め込みを前の計算で $L$ へ延長できるため、その共役は $b$ 自身である。分離多項式が根を一つしか持たないので次数は1、従って $b\in K$ である。標数零では $e=0$ とする。この証明は非分離拡大をGalois拡大と同一視していない。$\square$

$G=\operatorname{Aut}_K L$ とする。$P$ がどの $\sigma Q$ とも等しくないと仮定する。同じ縮約を持つ素点は incomparability によって互いに包含されない。従って有限素イデアル回避から $x\in P$ で全ての $\sigma Q$ を避けるものを取れる。ここで用いる回避は次の短い計算で足りる。重複・包含される素を除き、$P_i$ が互いに包含されない有限族に対して、$z_i\in P\setminus P_i$、$y_{ij}\in P_j\setminus P_i$ を取り、$w_i=z_i\prod_{j\ne i}y_{ij}$ と置く。$\sum_iw_i$ は各 $P_i$ で $w_i$ だけが非零となり、全てを避ける。
$n=\prod_{\sigma\in G}\sigma(x)$ は $G$ 不変で、$A$ 上整である。直前の不変元の補題を適用する。従って標数零では $n\in K$、標数 $p>0$ ではある $e$ で $n^{p^e}\in K$ となる。整閉性から、この元 $a$ は $A$ に属する。積の一因子が $x$ なので $a\in P\cap A=\mathfrak p$。一方、各 $\sigma(x)$ は $Q$ 外なので $a\notin Q$。これは $a\in\mathfrak p\subset Q$ と矛盾する。ゆえに $P=\sigma Q$ となる $\sigma$ がある。

$\operatorname{Frac}B$ を含む $K=\operatorname{Frac}R$ の有限正規拡大 $L$ を取る。有限拡大の有限個の生成元の最小多項式の全根を付ければ、有限正規拡大を得られる。$C$ を $L$ における $R$ の整閉包とすると、$B\subset C$、$C$ は $B$ 上も整である。lying overにより $Q$ の上の素 $\widetilde Q\subset C$ を取る。
$\mathfrak p'$ の上の素 $P'\subset C$ を取り、going upで $P'\subset P$、$P\cap R=\mathfrak p$ とする。有限正規拡大の共役性により、ある $K$ 自己同型 $\sigma$ で $\sigma(P)=\widetilde Q$ となる。従って $\sigma(P')\subset\widetilde Q$ の $B$ への縮約が求める $Q'$ である。$\sigma$ は $R$ を固定するので縮約は $\mathfrak p'$ に等しい。ここでは $C$ が有限加群であることを必要としない。$\square$

上の重み付き正規化（prf-df-noether-normalization-direct）により $P=k[z_1,\ldots,z_d]\subset A$ を取り、$A$ を $P$ 上有限にする。$d=\dim A$ であり、$P$ は整閉整域で、商体拡大は有限である。$\mathfrak n=\mathfrak m\cap P$ は整拡大で極大の縮約なので極大である。直前の多項式の補題により高さ $d$ の素鎖が $\mathfrak n$ へ至る。この鎖を $\mathfrak m$ の下へ有限 going downで一段ずつ持ち上げる。縮約が異なるので包含は全て真であり、$\operatorname{ht}\mathfrak m\ge d$。反対の不等式は全環の次元が $d$ であることから従う。$\square$

$A$ を体 $k$ 上有限生成の整域、$\mathfrak p$ をその素イデアルとする。$A/\mathfrak p$ の代数生成元から、商体の超越基底となる最大の代数的独立部分族を選び、$\bar y_1,\ldots,\bar y_t$ と書く。最大性から残りの有限個の生成元は $k(\bar y)$ 上代数的であり、$t=\operatorname{trdeg}_k\operatorname{Frac}(A/\mathfrak p)$ である。これらを $y_i\in A$ へ持ち上げる。持上げも代数的独立で、$k[y]\cap\mathfrak p=0$。
$S=k[y_1,\ldots,y_t]\setminus\{0\}$、$K=k(y_1,\ldots,y_t)$ とすると、$A_S$ は有限型 $K$ 整域である。商 $(A/\mathfrak p)_S$ は有限個の $K$ 上代数的な元で生成される整域なので有限体拡大、従って体である。よって $\mathfrak p_S$ は $A_S$ の極大イデアルとなる。
$\mathfrak p$ 以下の全ての素イデアルは $S$ と交わらない。従って局所化の素対応はこの下方集合の包含を全て保ち、逆像で戻せるため $\operatorname{ht}_A\mathfrak p=\operatorname{ht}_{A_S}\mathfrak p_S$。直前の極大高さの命題を基礎体 $K$ で適用すれば、この値は $\operatorname{trdeg}_K\operatorname{Frac}A$ となる。
有限生成体の超越次数は塔に沿って加法的である。実際、$\operatorname{Frac}A/K$ の超越基底 $u$ を選べば $y,u$ は $k$ 上独立である。$u$ の独立性を $K$ 上で使い、残る $y$ の係数関係を独立性で消せばよい。上側は $K(u)$ 上代数的なので $y,u$ は全体の超越基底となる。従って $s=\operatorname{trdeg}_k\operatorname{Frac}A$ に対して $\operatorname{ht}\mathfrak p=s-t$。上で示した有限型体整域の次元（prf-df-domain-transcendence）を $A$ と $A/\mathfrak p$ へ適用して
$$\operatorname{ht}\mathfrak p+\dim A/\mathfrak p=\dim A$$
を得る。
最後に極大な素鎖の長さを確かめる。有限次元なので全ての有限飽和鎖は有限であり、包含に関して極大な鎖は整域の零素から始まり極大イデアルで終わる。隣り合う素 $P\subsetneq Q$ の間に素がないなら、$(A/P)_{Q/P}$ の素は零と極大だけなので高さは一である。今の高さ公式を有限型整域 $A/P$ の素 $Q/P$ に適用して、$\dim A/P-\dim A/Q=1$ を得る。終端の極大イデアルによる商は体で次元零である。差を鎖に沿って足すと全鎖の長さは $\dim A$ に等しい。これで高さ公式と有限型整域の極大素鎖の等長性が証明された。

有限個の生成元から代数的独立な極大部分族を選べば、$K/k$ の超越基底 $y_1,\ldots,y_t$ と $L/K$ の超越基底 $u_1,\ldots,u_r$ が得られる。$y,u$ の間に $k$ 係数の多項式関係があると仮定する。$u$ の単項式ごとに整理し、各係数を $k[y]$ の元と見れば、$u$ の $K$ 上の独立性から全係数が零となる。$y$ の $k$ 上の独立性から元の多項式も零であり、矛盾する。従って $y,u$ は独立である。
$K/k(y)$ は有限代数拡大である。有限個の代数的生成元を順に付ければ有限次元となるからである。同じモニック関係を $k(y,u)$ 上でも使えるので $K(u)/k(y,u)$ は代数的である。$L/K(u)$ も代数的だから、代数性の推移により $L/k(y,u)$ は代数的である。ここで推移性は、上側の一元の関係に現れる下側の有限個の代数的係数を付けた有限次元の体上で計算すれば得られる。従って $y,u$ は $L/k$ の超越基底であり、個数を数えると公式となる。空の超越基底もこの議論に含まれる。$\square$

$K=\operatorname{Frac}A$、$L=\operatorname{Frac}B$ とし、
$$s=\operatorname{trdeg}_kK,\quad t=\operatorname{trdeg}_kL,\quad \nu=\operatorname{trdeg}_k\kappa(\mathfrak p),\quad v=\operatorname{trdeg}_k\kappa(\mathfrak q)$$
と置く。全て有限である。商体や剰余体は、有限個の代数生成元の像を体として生成したものだからである。$B$ は有限型 $A$ 代数でもある。同じ有限個の $k$ 代数生成元が $A$ の上でも生成する。$K\subset L$ と $\kappa(\mathfrak p)\subset\kappa(\mathfrak q)$ に塔の加法を使うと
$$t=s+r,\qquad v=\nu+w,$$
ただし $r=\operatorname{trdeg}_K L$、$w=\operatorname{trdeg}_{\kappa(\mathfrak p)}\kappa(\mathfrak q)$ である。
高さ公式（prop-df-height）から $\operatorname{ht}_A\mathfrak p=s-\nu$、$\operatorname{ht}_B\mathfrak q=t-v$。従って
$$\operatorname{ht}_B\mathfrak q+w=t-v+w=s+r-\nu =\operatorname{ht}_A\mathfrak p+r.$$
これが主定理である。$A$ または $B$ が体の場合、零素の高さは0であり同じ計算が成立する。基礎体 $k$ が有限であることも、完全でないことも証明を変えない。零環は整域ではなく、本定理の対象に含まれない。$\square$