ブレイド群

二つのブレイドを同値なものへ変形したとき、その変形を時間区間の前半と後半へ縮めれば、積み重ねたブレイドの変形になる。したがって積は代表元によらない。
三つのブレイドについて、二通りの括弧付けは各ブレイドへ割り当てる時間区間の長さだけが異なる。区分的線形で単調な時間の取り直しにより両者は同値なので、同値類上で結合律が成り立つ。垂直な紐を積み重ねても時間の取り直しで元のブレイドへ戻る。さらに $\beta_i(t)=(z_i(t),t)$ の進行方向を逆にし、始点の番号を付け直したブレイドを積み重ねると、各紐を往復する道が縮まり、垂直なブレイドへ変形できる。よってこれは逆元である。この議論に選択公理は使わない。$\square$

同値変形では各紐の始点と終点を固定するので、終点の置換は変わらない。恒等置換どうしを合成しても恒等置換であり、恒等置換の逆も恒等置換である。したがって純ブレイドであることは代表元によらず、その同値類は部分群をなす。$\square$

端点を固定する変形では終点の対応が変わらないので、$\rho$ は同値類上でwell-definedである。積を「先に $\gamma$、続いて $\beta$」と定めたから、終点の対応は $\rho(\beta)\circ\rho(\gamma)$ となり、$\rho$ は準同型である。
隣り合う二点だけを半回転で交換するブレイド $\sigma_i$ は隣接互換 $(i\ i+1)$ へ写る。隣接互換は $S_n$ を生成するので $\rho$ は全射である。また $\rho([\beta])=1$ であることは、全ての紐が元の基準点へ戻ること、すなわち $[\beta]\in P_n$ であることと同値である。よって $\ker\rho=P_n$ であり、完全性が従う。選択公理は使わない。$\square$

時刻 $t$ における $n$ 点 $\{z_1(t),\ldots,z_n(t)\}$ を記録すると、幾何学的ブレイドは無順序配置空間のループになる。端点を固定するブレイドの変形はループのホモトピーになり、逆に配置のループを時刻とともに描けば互いに交わらない紐を得る。順序を保つループは、各点が元の場所へ戻る純ブレイドにちょうど対応する。この同一視と標準表示の導出は Fox–Neuwirth FN62 §1・§7に外部依存する。
$K(\pi,1)$ 性は Fadell–Neuwirth FaN62 Theorem 1 の配置空間のファイバー列から帰納的に従う。最後の点を忘れる写像のファイバーは $n-1$ 点を除いた平面であり、これは円の有限な楔と同じホモトピー型をもつ。基底 $\operatorname{Conf}_1(\mathbb{R}^2)=\mathbb{R}^2$ から長完全列を帰納的に用いると、順序付き配置空間の二次以上のホモトピー群は消える。無順序配置空間はその有限次被覆空間の底空間なので、同じ高次ホモトピー群をもつ。本記事では Fadell–Neuwirth の局所自明性自体は証明しない。$\square$

遠く離れた二つの半ひねりは互いに影響しないので遠可換関係を満たし、三本の紐を描く二通りの半ひねりは変形で一致するのでブレイド関係を満たす。これらが全ての定義関係であることは外部定理であり、本記事では Fox–Neuwirth FN62 §7 に依る。一般の表示という概念は 群の表示 に譲る。$\square$

Fadell–Neuwirth FaN62 Theorem 1 を、最後の点を忘れる写像
$$ \operatorname{Conf}_n(\mathbb{R}^2)\longrightarrow\operatorname{Conf}_{n-1}(\mathbb{R}^2) $$
に適用する。ファイバーは $\mathbb{R}^2\setminus\{q_1,\ldots,q_{n-1}\}$ で、その基本群は各穴を一周するループが自由生成する $F_{n-1}$ である。前節で確認した基底の $\pi_2$ の消滅とファイバーの連結性を長完全列へ入れると
$$ 1\to\pi_1(\mathbb{R}^2\setminus\{q_1,\ldots,q_{n-1}\})\to P_n\to P_{n-1}\to1 $$
を得る。よって核は $F_{n-1}$ である。自由アーベル群 $\mathbb{Z}^{n-1}$ ではなく、$n-1$ 個の無限巡回群の自由積 $\mathbb{Z}^{*(n-1)}$ と同型である。局所自明ファイバー列の構成は外部依存である。$\square$