分割数

1：$j\leq j'$ なら $\{i\mid\lambda_i\geq j'\}\subset\{i\mid\lambda_i\geq j\}$ なので $\lambda'_j\geq\lambda'_{j'}$ であり、$j\leq\lambda_1$ なら $\lambda_1\geq j$ より $\lambda'_j\geq1$ である。よって $\lambda'$ は正の整数の非増加列で、部分の個数は $\lambda_1$ である。組 $(i,j)$ で $1\leq i\leq\ell$、$1\leq j\leq\lambda_i$ を満たすもの（Ferrers 図形の点）の個数を、$i$ ごとに数えると $\sum_i\lambda_i=n$、$j$ ごとに数えると $\sum_j\lambda'_j$ なので、$\sum_j\lambda'_j=n$ である。最大の部分は $\lambda'_1=\#\{i\mid\lambda_i\geq1\}=\ell$ である。
2：$(\lambda')'_i=\#\{j\mid\lambda'_j\geq i\}$ である。$\lambda'_j\geq i$ は「$\lambda_1,\dots,\lambda_i$ がすべて $j$ 以上」と同値であり（$\lambda$ が非増加なので、$j$ 以上の部分が $i$ 個以上あることは $\lambda_i\geq j$ と同値）、よって $\lambda_i\geq j$ と同値である。したがって $(\lambda')'_i=\#\{j\mid 1\leq j\leq\lambda_i\}=\lambda_i$ である。

prop-partition-function-conjugate の 2 により、共役 $\lambda\mapsto\lambda'$ は $n$ の分割全体の集合からそれ自身への全単射（自分自身が逆写像）である。1 により、部分の個数が $k$ の分割は最大の部分が $k$ の分割に移り、逆も同じである。これで 1 が示された。1 を $k$ 以下のすべての値について足し合わせると 2 を得る。

$n\geq0$ を固定する。$\dfrac1{1-x^k}=\sum_{j=0}^{\infty}x^{kj}$ なので、$\prod_{k=1}^{n}\dfrac1{1-x^k}$ の $x^n$ の係数は、$\sum_{k=1}^{n}k\,j_k=n$ を満たす $0$ 以上の整数の組 $(j_1,\dots,j_n)$ の個数である。このような組に、$k$ をちょうど $j_k$ 個含む分割（部分を大きい順に並べたもの）を対応させる。$n$ の分割の部分はすべて $n$ 以下なので、$n$ の分割 $\lambda$ に「$\lambda$ に含まれる $k$ の個数を $j_k$ とする組」を対応させる写像が逆写像になり、この対応は全単射である。よって $x^n$ の係数は $p(n)$ である。$k>n$ の因子は $x^n$ の係数を変えないので、無限積の $x^n$ の係数も $p(n)$ である。

$\mathbb{Z}[\![x]\!]$ で $D(x):=\prod_{k\geq1}(1+x^k)$、$O(x):=\prod_{k\geq1}(1-x^{2k-1})^{-1}$ とおく。これらがそれぞれ相異なる部分への分割、奇数の部分への分割の母関数であることは prf-partition-function-generating と同じ議論で分かる。$D(x)=O(x)$ を示せばよい。
以下の無限積は、どれも $k$ 番目の因子が $1$ と $x^k$ 以上の次数の項の和であり、$x^n$ の係数は有限個の因子で決まるので、有限積と同じように因子を並べ替えたりまとめたりしてよい。$(1+x^k)(1-x^k)=1-x^{2k}$ なので
$$ D(x)\prod_{k\geq1}(1-x^k)=\prod_{k\geq1}(1-x^{2k}) $$
である。左辺の $\prod_{k\geq1}(1-x^k)$ を $k$ の偶奇で分けると $\prod_{k\geq1}(1-x^{2k})\cdot\prod_{k\geq1}(1-x^{2k-1})$ となる。$\prod_{k\geq1}(1-x^{2k})$ は定数項が $1$ なので $\mathbb{Z}[\![x]\!]$ で可逆であり、両辺をこれで割ると
$$ D(x)\prod_{k\geq1}(1-x^{2k-1})=1 $$
を得る。よって $D(x)=\prod_{k\geq1}(1-x^{2k-1})^{-1}=O(x)$ であり、両辺の $x^n$ の係数を比べると主張が従う。

すべての正の整数は、奇数 $m$ と $0$ 以上の整数 $e$ によって $m\cdot2^{e}$ とただ一通りに書ける（$2$ で割れるだけ割る）。また $0$ 以上の整数 $c$ は、相異なる $2$ の冪の和としてただ一通りに書ける（2 進展開）。
奇数の部分への分割 $\mu$ から相異なる部分への分割 $\Phi(\mu)$ を次のように作る。$\mu$ に奇数 $m$ がちょうど $c_m$ 個含まれるとし、$c_m=2^{e_1}+\cdots+2^{e_r}$（$e_1>\cdots>e_r\geq0$）と 2 進展開する。$c_m$ 個の $m$ を、$r$ 個の部分 $m\cdot2^{e_1},\dots,m\cdot2^{e_r}$ に置き換える。これをすべての $m$ について行い、大きい順に並べたものを $\Phi(\mu)$ とする。部分の和は $\sum_m m\,c_m$ のまま変わらない。$\Phi(\mu)$ の部分はすべて相異なる：部分 $m\cdot2^{e}$ から $m$（奇数部分）と $e$ が一意に決まり、同じ $m$ について $e$ は相異なるからである。
逆に、相異なる部分への分割 $\nu$ から、$\nu$ の各部分を $m\cdot2^{e}$（$m$ 奇数）と書き、奇数 $m$ ごとに現れる $e$ の集合 $E_m$ を集め、$c_m:=\sum_{e\in E_m}2^{e}$ 個の $m$ からなる奇数の部分への分割 $\Psi(\nu)$ を作る。$\nu$ の部分は相異なるので、同じ $m$ について同じ $e$ が 2 回現れることはなく、$c_m$ の 2 進展開はちょうど $E_m$ を与える。したがって $\Psi\circ\Phi$ と $\Phi\circ\Psi$ はどちらも恒等写像であり、$\Phi$ は $n$ の奇数の部分への分割全体から $n$ の相異なる部分への分割全体への全単射である。

実数 $0< x<1$ を固定する。各 $k$ について $\dfrac1{1-x^k}=\sum_{j\geq0}x^{kj}$ は正項の収束級数であり、有限個の正項収束級数の積は項ごとに展開して並べ替えてよいので、prf-partition-function-generating と同じ数え上げにより
$$ \prod_{k=1}^{n}\frac1{1-x^k}=\sum_{m=0}^{\infty}p_n(m)\,x^m $$
である。ここで $p_n(m)$ はすべての部分が $n$ 以下である $m$ の分割の個数であり、$p_n(n)=p(n)$ である。右辺の各項は正なので
$$ p(n)\,x^n\leq\prod_{k=1}^{n}\frac1{1-x^k} $$
である。両辺の対数（対数関数）をとり、$-\log(1-u)=\sum_{j\geq1}u^j/j$（$0< u<1$）を使うと
$$ \log p(n)+n\log x\leq\sum_{k=1}^{n}\sum_{j=1}^{\infty}\frac{x^{kj}}{j}\leq\sum_{j=1}^{\infty}\frac1j\sum_{k=1}^{\infty}x^{kj}=\sum_{j=1}^{\infty}\frac1j\cdot\frac{x^j}{1-x^j} $$
である（正項の二重級数なので和の順序を変えてよい）。$1-x^j=(1-x)(1+x+\cdots+x^{j-1})\geq(1-x)\,j\,x^{j-1}$ なので $\dfrac{x^j}{1-x^j}\leq\dfrac{x}{j(1-x)}$ であり、$\sum_{j\geq1}1/j^2=\pi^2/6$ を使うと
$$ \log p(n)\leq\frac{\pi^2}{6}\cdot\frac{x}{1-x}-n\log x $$
を得る。$t:=x/(1-x)>0$ とおくと $x=t/(1+t)$、$-\log x=\log(1+1/t)<1/t$ なので
$$ \log p(n)<\frac{\pi^2}{6}\,t+\frac{n}{t} $$
である。$t=\sqrt{6n}/\pi$ を選ぶと右辺は $\pi\sqrt{n/6}+\pi\sqrt{n/6}=\pi\sqrt{2n/3}$ となり、主張が従う。