恒等写像

同義語：identity map

概要

前提知識: 写像, 写像の合成

恒等写像とは

集合の各元をそのままにする写像を恒等写像（identity map）という。$X$ 上の恒等写像は $\operatorname{id}_X:X\to X$ と書き、どの $x\in X$ に対しても $\operatorname{id}_X(x)=x$ である。写像の合成では、数の掛け算における $1$ と同じ役割を果たす。恒等写像を用いると、逆写像や同型を「合成すると元に戻る」という等式で述べられる（Hara20 第3章・第8章）。
恒等写像は単に式 $x\mapsto x$ のことではない。写像には定義域と終域が指定される。例えば $A\subsetneq X$ の包含写像 $A\to X$ は各元を同じ元へ送るが、終域が $A$ でないため $\operatorname{id}_A:A\to A$ とは異なる。この型の区別は合成の順序を確かめる際にも重要である。

定義と合成の単位元

恒等写像

集合 $X$ の恒等写像を
$$ \operatorname{id}_X:X\longrightarrow X,\qquad x\longmapsto x $$
と定める。$1_X$ や $I_X$ と書くこともある。$X$ が空集合でも、空集合から空集合への唯一の写像が恒等写像である。

写像の合成の単位元

任意の写像 $f:X\to Y$ に対して
$$ f\circ\operatorname{id}_X=f,\qquad \operatorname{id}_Y\circ f=f $$
が成り立つ。

合成の単位元

各 $x\in X$ について $(f\circ\operatorname{id}_X)(x)=f(\operatorname{id}_X(x))=f(x)$ であり、$(\operatorname{id}_Y\circ f)(x)=\operatorname{id}_Y(f(x))=f(x)$ である。両辺はそれぞれ同じ定義域と終域を持ち、すべての入力で値が一致するので、写像として等しい。$X=\emptyset$ の場合も、同じ定義域と終域を持つ写像の一意性から成り立つ。

左側では $X$ の恒等写像を先に合成し、右側では $Y$ の恒等写像を後に合成する。$X\ne Y$ のとき、二つの恒等写像を取り違えると合成自体が定義されないことがある。添字は省略せずに確認するとよい。

合成の単位元の一意性

自己写像 $e:X\to X$ がすべての自己写像 $g:X\to X$ に対して $e\circ g=g\circ e=g$ を満たすなら、$e=\operatorname{id}_X$ である。

単位元の一意性

$g=\operatorname{id}_X$ を代入すると $e\circ\operatorname{id}_X=\operatorname{id}_X$ となる。一方、前の定理から左辺は $e$ に等しい。従って $e=\operatorname{id}_X$ である。

この一意性は、恒等写像が合成に対する単位元であることの帰結でもある。$X$ から $X$ への写像全体は合成に関して閉じており、恒等写像を単位元とするモノイドになる。$X$ が空集合でも自己写像は唯一であり、この説明は変わらない。

点ごとの条件と写像としての条件

自己写像 $e:X\to X$ について「すべての $x\in X$ が $e(x)=x$ を満たす」ことと「$e=\operatorname{id}_X$」は同じ条件である。ここでは定義域も終域も $X$ と指定済みなので、各入力での値の一致から写像の等しさが従う。これに対して $e:A\to X$ の場合、たとえ $e(a)=a$ がすべての $a\in A$ で成り立っても、終域が $A$ でなければ $\operatorname{id}_A$ ではない。
写像をグラフ $\{(x,f(x))\mid x\in X\}$ で表すと、$\operatorname{id}_X$ のグラフは対角集合 $\Delta_X=\{(x,x)\mid x\in X\}\subseteq X\times X$ である。この見方では「点を動かさない」ことが直積内の対角線に乗ることになる。$X=\mathbb R$ ならグラフは平面の直線 $y=x$ である。ただし同じ形の集合を部分集合 $A$ から $X$ への写像のグラフとして読む場合は、入力の集合が $A$ に変わる。グラフの形だけで写像の型まで省略してはいけない。

恒等写像との合成で元が変わらないことの特徴づけ

自己写像 $e:X\to X$ について、次の条件は同値である。

$e=\operatorname{id}_X$。
すべての集合 $Y$ と写像 $f:X\to Y$ に対して $f\circ e=f$。
すべての集合 $Z$ と写像 $g:Z\to X$ に対して $e\circ g=g$。

合成による特徴づけ

1 なら合成の単位元の定理から 2 と 3 が成り立つ。2 で $Y=X$、$f=\operatorname{id}_X$ とすれば $\operatorname{id}_X\circ e=\operatorname{id}_X$、従って $e=\operatorname{id}_X$ である。3 でも $Z=X$、$g=\operatorname{id}_X$ とすれば同様に従う。空集合を含むどの $X$ でもこの代入はできる。

この命題は「どの写像と合成しても変化を与えない」という性質だけから恒等写像が決まることを示す。値を持つ集合の外へ議論を広げると、圏の恒等射はまさにこの合成に関する性質で指定される。

逆写像と同型に現れる恒等写像

写像 $f:X\to Y$ に対し、$g:Y\to X$ が存在して
$$ g\circ f=\operatorname{id}_X,\qquad f\circ g=\operatorname{id}_Y $$
となるとき、$g$ を $f$ の逆写像という。この二つの式は、$f$ の後で $g$ を行っても、その逆順で行っても元に戻ることを表す。両式が成り立てば $f$ は全単射であり、逆写像は一意である。

恒等写像は自分自身の逆写像

$\operatorname{id}_X$ は全単射で、$\operatorname{id}_X^{-1}=\operatorname{id}_X$ である。

恒等写像の逆

$\operatorname{id}_X\circ\operatorname{id}_X=\operatorname{id}_X$ である。逆写像に必要な二つの合成等式が同じ式として成立するので、$\operatorname{id}_X$ は自身の逆写像である。

片側の式だけでは逆写像にならない

$X=\{0\}$、$Y=\{0,1\}$ とし、$f:X\to Y$ を $f(0)=0$、$g:Y\to X$ を $g(0)=g(1)=0$ とする。このとき $g\circ f=\operatorname{id}_X$ だが、$(f\circ g)(1)=0\ne1$ なので $f\circ g\ne\operatorname{id}_Y$ である。したがって逆写像の定義には、両側の合成等式が必要である。

一方の等式だけでも意味はある。$g\circ f=\operatorname{id}_X$ なら $f$ は単射であり、$f\circ g=\operatorname{id}_Y$ なら $f$ は全射である。前者では $f(x)=f(x')$ に $g$ を適用して $x=x'$ を得る。後者では任意の $y\in Y$ が $f(g(y))$ と書ける。ただし全射から右逆 $g$ の存在を一般の集合族にわたって主張する場合は、選択公理に関する注意が必要である。

左逆と単射の関係

$f:X\to Y$ に対して左逆 $g:Y\to X$ が存在し $g\circ f=\operatorname{id}_X$ なら、$f$ は単射である。逆に $X$ が空でなければ、単射 $f:X\to Y$ には左逆が存在する。

左逆と単射

前半は $f(x)=f(x')$ の両辺に $g$ を適用すると $x=(g\circ f)(x)=(g\circ f)(x')=x'$ となることから従う。後半では $x_0\in X$ を一つ固定する。$y\in f(X)$ のとき、単射性から一意の $x\in X$ が $f(x)=y$ を満たすので $g(y)=x$ と置く。$y\notin f(X)$ では $g(y)=x_0$ と置く。これで $g:Y\to X$ が定まり、各 $x\in X$ について $g(f(x))=x$ である。

$X=\emptyset$、$Y\ne\emptyset$ なら空写像 $f:X\to Y$ は単射だが、$Y\to\emptyset$ という写像は存在せず、左逆を持たない。この境界例のため、逆向きの主張には $X\ne\emptyset$ という条件が付く。$X=Y=\emptyset$ なら空写像は両側逆を持つ。

右逆があれば全射

$f:X\to Y$ と $g:Y\to X$ が $f\circ g=\operatorname{id}_Y$ を満たせば、$f$ は全射である。逆に $Y$ が有限集合で $f$ が全射なら、$f$ には右逆がある。

右逆と全射

任意の $y\in Y$ について $y=(f\circ g)(y)=f(g(y))$ なので、$y$ は $f$ の像に入る。逆方向では有限個の各 $y\in Y$ について一つずつ $x_y\in X$ を選び、$g(y)=x_y$ と定めれば $f(g(y))=y$ である。$Y=\emptyset$ の場合は空写像 $g:\emptyset\to X$ を使えばよい。無限個の非空ファイバーから同時に代表を選ぶ一般の主張は、選択公理と関係する。

左逆と右逆が両方存在するとき、二つが別の写像である必要はない。$g\circ f=\operatorname{id}_X$ と $f\circ h=\operatorname{id}_Y$ なら、結合律と単位元の性質より $g=g\circ(f\circ h)=(g\circ f)\circ h=h$。したがって両者は一致し、$f$ の逆写像になる。この計算は恒等写像があることで初めて簡潔に書ける。

例と型の区別

空集合上の恒等写像

$\operatorname{id}_{\emptyset}:\emptyset\to\emptyset$ は空写像である。条件 $\operatorname{id}_{\emptyset}(x)=x$ を確かめる入力は存在しないが、空集合から空集合への写像はただ一つなので定義は明確である。空集合を含む集合の圏でも恒等射が欠けない。

包含写像との違い

$A\subsetneq X$ に対して $i:A\hookrightarrow X$ を $i(a)=a$ とする。これは $A$ の元を動かさないが、$i$ の終域は $X$、$\operatorname{id}_A$ の終域は $A$ なので二つの写像は異なる。特に $i$ は全射でないのに対し、$\operatorname{id}_A$ は全射である。$A=X$ の場合に限り、同じ定義域・終域を持つ包含写像は恒等写像と一致する。

直積上の恒等写像

集合 $X,Y$ について $\operatorname{id}_{X\times Y}(x,y)=(x,y)$ である。積写像を成分ごとに定めれば
$$ \operatorname{id}_X\times\operatorname{id}_Y =\operatorname{id}_{X\times Y} $$
となる。等式は各順序対 $(x,y)$ に作用させれば確かめられる。

構造を保つ恒等写像

実ベクトル空間 $V$ の $\operatorname{id}_V$ は線形写像であり、基底を選ぶと単位行列で表される。位相空間 $T$ の $\operatorname{id}_T$ は連続で、逆も連続だから同相写像である。群の恒等写像も演算を保つ。元を動かさないという同じ規則が、それぞれの構造を保つ写像になる。

部分集合へ制限したとき

$A\subseteq X$ とする。$\operatorname{id}_X$ の定義域を $A$ に制限すると、得られる写像は $A\to X$、$a\mapsto a$ であり、$A$ の包含写像である。値はすべて $A$ に入るので、終域も $A$ に取り直せば $\operatorname{id}_A$ になる。この二段階を区別すると、同じ点ごとの式でも包含写像と恒等写像が違う理由が分かる。

部分集合上の恒等写像

$A\subseteq X$、包含写像を $i:A\to X$ とする。$\operatorname{id}_X$ を $A$ に制限した写像 $\operatorname{id}_X|_A:A\to X$ は $i$ に等しい。$A=X$ のとき、かつそのときに限り $i$ は $X$ 上の恒等写像である。

制限と包含写像

各 $a\in A$ について $(\operatorname{id}_X|_A)(a)=a=i(a)$ で、二つの写像は定義域 $A$ と終域 $X$ も一致するので等しい。$A=X$ なら $i=\operatorname{id}_X$。逆に $i$ が $X$ 上の恒等写像なら定義域が $X$ でなければならない。$i$ の定義域は $A$ なので $A=X$ である。

同じ集合に異なる構造を入れたとき

元の集合が同じでも、その上に入れた構造が違えば「元を動かさない写像」がその構造を保つとは限らない。この場合の $x\mapsto x$ は集合としては恒等だが、構造付きの対象の間の写像としては慎重に扱う必要がある。

異なる位相の間の恒等写像

同じ集合 $X$ に位相 $\tau_1,\tau_2$ を入れる。集合としての恒等対応 $i:(X,\tau_1)\to(X,\tau_2)$ は、$\tau_2\subseteq\tau_1$ のとき、かつそのときに限り連続である。実際、終域の開集合 $U\in\tau_2$ の逆像は $i^{-1}(U)=U$ なので、すべての逆像が $\tau_1$ で開である条件はこの包含そのものである。逆向きも連続、すなわち $i$ が同相写像になるのは $\tau_1=\tau_2$ のときに限る。例えば離散位相から密着位相への恒等対応は連続だが、集合が二点以上なら逆向きは連続でない。

この例では $i$ は集合の圏では全単射であり逆写像を持つ。しかし位相空間の圏では逆が連続とは限らないため、同型とは限らない。逆写像の二つの合成が集合として恒等でも、関心のある圏で各射が許される種類の写像かを先に確かめる必要がある。

二つのノルムの間の恒等写像

ベクトル空間 $V$ に二つのノルム $\|\cdot\|_1,\|\cdot\|_2$ を入れる。線形写像 $i:(V,\|\cdot\|_1)\to(V,\|\cdot\|_2)$ を $i(v)=v$ と定める。この写像が連続であることは、ある定数 $C>0$ が存在してすべての $v\in V$ に対し $\|v\|_2\le C\|v\|_1$ が成り立つことと同値である。連続性からは、ある $\delta>0$ について $\|u\|_1<\delta$ なら $\|u\|_2<1$ となる。$v\ne0$ に $u=\delta v/(2\|v\|_1)$ を代入すれば $\|v\|_2<2\|v\|_1/\delta$ を得る。逆に不等式から任意の二点 $v,w$ について $\|i(v)-i(w)\|_2\le C\|v-w\|_1$ が従う。逆向きも連続である条件は二つのノルムの同値性である。有限次元ならどの二つのノルムも同値だが、無限次元ではこの条件が本質的になる。

同じ式 $v\mapsto v$ に対しても、どの構造の間の写像と見るかによって、連続性や同型性が変わる。恒等写像という語を使うときには「どの対象の恒等射か」を添字とともに確認することが大切である。

圏での恒等射

圏では、対象の元を使って写像を定義できるとは限らない。その代わり各対象 $A$ に射 $1_A:A\to A$ を与え、$f:A\to B$ に対して $f\circ1_A=f$ と $1_B\circ f=f$ を要求する。この射を恒等射という。集合と写像の圏では恒等射がこの記事の恒等写像である。
圏の同型も、$g\circ f=1_A$ と $f\circ g=1_B$ を満たす二つの射で定義する。集合の全単射、ベクトル空間の線形同型、位相空間の同相写像が、同じ合成等式の具体例となる。恒等写像は、これら異なる分野で共通する「何も変えない射」の出発点である。

圏の恒等射の一意性

ある対象 $A$ に対して、$1_A$ と $1'_A$ がともに合成の左右単位元の条件を満たせば、$1_A=1'_A$ である。

恒等射の一意性

$1_A$ が左単位元であることを $1'_A$ に適用すると $1_A\circ1'_A=1'_A$。$1'_A$ が右単位元であることを $1_A$ に適用すると $1_A\circ1'_A=1_A$。よって両者は等しい。この証明では対象に元があることを仮定していない。

圏の定義に恒等射を含めるのは、すべての対象で合成の単位元を使えるようにするためである。恒等射を保つことも、圏と圏の間の関手に課す条件の一つである。集合の上の恒等写像の点ごとの式は、この抽象的な単位元の具体的な模型になっている。

条件を外したときの反例

恒等写像の特徴づけや逆写像の命題は、「全ての写像との合成」「両側の等式」「定義域・終域の一致」「同じ構造」を条件にしている。一つを外した場合を表にする。

外す条件	反例	成り立たなくなること
全ての自己写像 $g$ との合成	$X=\{0,1\}$ 上の定値写像 $e\equiv0$ と $g\equiv0$	$e\circ g=g\circ e=g$ なら $e=\operatorname{id}_X$
両側の合成等式	$X=\{0\}$、$Y=\{0,1\}$、$f(0)=0$、$g\equiv0$	$g\circ f=\operatorname{id}_X$ なら $g$ は $f$ の逆写像
定義域 $X\neq\emptyset$	空写像 $\emptyset\to\{0\}$	単射には左逆がある
終域が定義域と同じ	包含写像 $\{0\}\hookrightarrow\{0,1\}$	各元を動かさない写像は恒等写像（全単射）
両側に同じ位相	離散位相から密着位相への $x\mapsto x$（二点以上）	集合として恒等な写像は同相写像
同値なノルム	$c_{00}$ の上限ノルムから $\ell^1$ ノルムへの $v\mapsto v$	恒等な線形写像は連続

表の反例の確かめ

一つの $g$ だけの単位元。 $e\equiv0$、$g\equiv0$ なら $e\circ g$、$g\circ e$、$g$ はどれも全ての点を $0$ に送り、等しい。しかし $e(1)=0\ne1$ だから $e\ne\operatorname{id}_X$ である。単位元の一意性の証明では $g=\operatorname{id}_X$ を代入したが、特定の $g$ についての等式からはこの代入ができない。
片側だけの等式・空写像・包含写像。 最初の二つは本文で確かめた。$f\circ g$ は $1$ を $0$ に送り $\operatorname{id}_Y$ でない。空写像は単射だが、$\{0\}\to\emptyset$ という写像がないので左逆はない。包含写像 $\{0\}\hookrightarrow\{0,1\}$ は $0$ を動かさないが、$1$ が像に入らないので全射でなく、恒等写像ではない。
異なる位相。 本文の例で、密着位相から離散位相への逆向きの写像は、一点集合 $\{x\}$（離散位相で開）の逆像 $\{x\}$ が密着位相で開でないので連続でない。
同値でないノルム。 $c_{00}$ を有限個の成分以外が $0$ の実数列の空間とする。$v_n=(1,\ldots,1,0,\ldots)$（$1$ が $n$ 個）は $\| v_n\|_\infty=1$、$\| v_n\|_1=n$ を満たす。$\| v\|_1\le C\| v\|_\infty$ となる定数 $C$ はないので、本文の判定により $v\mapsto v$ は $\|\cdot\|_\infty$ から $\|\cdot\|_1$ へ連続でない。