終対象(∞圏)
概要
終対象(∞圏)（terminal object）とは、任意の対象からそこへの写像空間が可縮となる対象である。比較射の存在だけでなく、その選択と全高次の比較も一意にする。通常圏の脈体では古典的な終対象と一致し、空間の∞圏ではちょうど可縮空間が終対象となる。
前提知識: ∞圏, 単体的集合, Kan複体, 写像空間(∞圏), 終対象
動機
通常の終対象は、あらゆる対象からの射を一つに受け止める対象である。通常圏では射集合が一点であることを要求する。∞圏では射集合に代えて写像空間を使い、その空間の可縮性を要求する。
「射のホモトピー類が一つ」と「選択と比較の空間が可縮」は異なる。後者を採用することで、同値な対象に取り替えても終対象であることが変わらず、極限（極限(∞圏)）の整合的な一意性も表せる。
定義の準備
単体的集合は、有限非空全順序集合と順序保存写像の圏 $\Delta$ 上の反変集合値関手である。標準単体を $\Delta^n$、第 $i$ 面を除く余次元1の面の和をホーン $\Lambda_i^n$ と書く。準圏は、すべての $n\ge2,\ 0< i< n$ のホーンを充填する単体的集合であり、本稿ではこれを $(\infty,1)$-圏のモデルとする。すべてのホーンを充填するKan複体は空間のモデルである。
対象 $x,y$ の右写像空間（写像空間(∞圏)）は
$$
\operatorname{Map}^{R}_{\mathcal C}(x,y)_n
=\{\sigma:\Delta^{n+1}\to\mathcal C
\mid \sigma|_{\{0,\ldots,n\}}\text{ は }x\text{ で定値},\
\sigma(n+1)=y\}
$$
で定義される。これはKan複体となり、$\operatorname{Map}_{\mathcal C}(x,y)$ を表す。$\pi_0\operatorname{Map}$ を射集合とする通常圏がホモトピー圏（∞圏のホモトピー圏）$h\mathcal C$ であり、そこで同型になる辺を同値射と呼ぶ。Kan性と合成の well-defined 性は HTT09 §§1.2.2–1.2.4 の基礎結果を用いる。
空間が可縮（可縮空間）とは、一点に向かう写像が弱ホモトピー同値であること、すなわち $\pi_0$ が一点で、すべての高次ホモトピー群も自明であることである。宇宙 $\mathbb U\in\mathbb V$ を固定し、圏は $\mathbb V$ 内、写像空間は $\mathbb U$ 内で扱う。
定義と証明
準圏 $\mathcal C$ の対象 $t$ が終対象（terminal object, final object）であるとは、すべての対象 $x$ に対して
$$
\operatorname{Map}_{\mathcal C}(x,t)\simeq *
$$
となることをいう。反対準圏での終対象は、元の準圏の始対象（始対象(∞圏)）と呼ばれる。
この定義は HTT09 定義1.2.12.1、命題1.2.12.4に従う。可縮性は射の存在、比較の存在、比較の間の高次整合性を同時に表す。
終対象 $t,t'$ の間の任意の射は同値である。
射 $u:t\to t'$ を取り、$\operatorname{Map}(t',t)$ の非空性から $v:t'\to t$ を取る。$\operatorname{Map}(t,t)$ と $\operatorname{Map}(t',t')$ は可縮だから、$vu$ と $uv$ のホモトピー類はそれぞれの恒等射と一致する。従って $[v]$ は $[u]$ の逆であり、$u$ は同値である。
$t\simeq t'$ なら、$t$ が終対象であることと $t'$ が終対象であることは同値である。
対象 $x$ を固定する。始対象の場合の双対として、スライス $\mathcal C_{x/}\to\mathcal C$ は左ファイブレーションであり、対象 $t$ 上のファイバーは、$\Delta^0\star\Delta^n\to\mathcal C$ で最初の頂点が $x$、$\Delta^n$ 側が $t$ で定値である単体からなる左Homモデルである。これは上の右写像空間 $\operatorname{Map}^{R}_{\mathcal C}(x,t)$ と同値な空間を表す（HTT09 §1.2.2）。左ファイブレーションでは、同値な対象 $t\simeq t'$ 上のファイバー $\operatorname{Map}(x,t)$ と $\operatorname{Map}(x,t')$ は同値である（HTT09 §2.1・§2.4）。従って一方の可縮性と他方の可縮性は同値であり、全 $x$ について適用すればよい。
さらに、終対象をすべて集めた充満部分準圏は、空でなければ可縮Kan複体である（HTT09 命題1.2.12.9）。これは単に二対象が同値であることより強い。上の短い $\pi_0$ の証明とは分けて採用する。
通常の圏への回収
通常圏 $A$ の対象 $t$ が終対象であることは、脈体 $NA$ において終対象であることと同値である。
右写像空間の $n$-単体を脈体で計算する。最初の $n+1$ 頂点側が対象 $a$ で定値なので、そこに並ぶ射は恒等射であり、最後に一本の $a\to t$ が残る。従って全次数で
$$
\operatorname{Map}^{R}_{NA}(a,t)\cong
\operatorname{Hom}_A(a,t)_{\mathrm{disc}}.
$$
面・退化はこの一本を変えない。離散空間が可縮であることは集合が一点であることと同値なので、定義が一致する。
例と反例
小Kan複体の∞圏（空間の∞圏）$\mathcal S$ では一点空間が終対象である。写像単体的集合 $*^X$ は全次数で一点であり、写像空間比較から $\operatorname{Map}_{\mathcal S}(X,*)\simeq *$ となる。可縮Kan複体 $T$ も $T\simeq *$ だから終対象である。
逆に $T$ が $\mathcal S$ の終対象なら、$\operatorname{Map}_{\mathcal S}(*,T)\simeq T$ が可縮となる。従って $\mathcal S$ の終対象は、ちょうど可縮空間である。複数の頂点を持っていてもよい。
半順序集合 $P$ の脈体では、$x\le t$ なら $\operatorname{Map}(x,t)$ は一点、それ以外なら空である。従って終対象は最大元である。二点の鎖 $0<1$ では $1$ が終対象だが、通常の順序の $\mathbb N$ には最大元がないため終対象がない。
$c\in\mathcal C$ に対して、スライス圏（スライス圏(∞圏)）$\mathcal C_{/c}$ の $n$-単体は、最後の頂点を $c$ に固定した $\Delta^n\star\Delta^0\to\mathcal C$ とする。これは $c$ へ入る射と整合的な三角形を持つ準圏である。
$f:x\to c$ から $\operatorname{id}_c$ への写像空間は、スライスの標準比較により、恒等写像 $\operatorname{Map}(x,c)\to\operatorname{Map}(x,c)$ の $f$ 上のホモトピーファイバーとなる。これは可縮だから、$\operatorname{id}_c$ は $\mathcal C_{/c}$ の終対象である。スライスの構成・比較は HTT09 §§1.2.9, 4.2.1 による。
一対象亜群 $B\mathbb Z$（自己射群が $\mathbb Z$）の脈体を $K$ とする。$K_n=\mathbb Z^n$、面は隣り合う整数の加算または端の削除、退化は $0$ の挿入である。$K$ は連結Kan複体で、基本群 $\pi_1K=\mathbb Z$ だから可縮でない。
一対象の単体的豊穣圏 $A$ を $A(a,a)=K$、合成を成分ごとの加法で定める。これは局所Kanである。その整合的脈体（ホモトピー整合的脈体）$\mathcal C=N_{\mathrm{hc}}A$ は自己写像空間が $K$ と同値な準圏となる。従って $h\mathcal C$ の射集合は一点で、唯一の対象 $a$ は通常圏 $h\mathcal C$ の終対象である。しかし $\operatorname{Map}_{\mathcal C}(a,a)$ は可縮でなく、$\mathcal C$ の終対象ではない。
この例は「全Homの $\pi_0$ が一点なら終対象」という含意を破る。$\pi_1K$ は辺 $[m]$ と2単体による関係 $[m][n]=[m+n]$ からも計算できる。用いた局所Kan表示の比較は HTT09 §1.1.5、§2.2による。
極限と豊穣表示への接続
小図式 $p:K\to\mathcal C$ に対して、錐準圏 $\mathcal C_{/p}$ の $n$-単体を $K$ 上で $p$ に一致する $\Delta^n\star K\to\mathcal C$ とする。joinは左の頂点を先に並べた単体の結合である。極限はこの錐準圏の終対象として定義される。$K=\emptyset$ なら錐準圏は $\mathcal C$ 自身なので、終対象は空図式の極限である（HTT09 定義1.2.13.4）。
単体的豊穣圏は、Hom単体的集合・単位・厳密に結合的な合成を持つ。HomがKanなら局所Kanと呼ぶ。整合的脈体は
$$
(N_{\mathrm{hc}}A)_n
=\operatorname{Fun}_{\mathrm{sSet}}(\mathfrak C[\Delta^n],A)
$$
で定義する。$\mathfrak C[\Delta^n]$ は対象 $0,\ldots,n$ を持ち、$i< j$ のHomは $i,j$ を含む区間の部分集合の包含半順序の脈体、$i=j$ で一点、$i>j$ で空とし、合成を和集合とする。
局所Kanなら $A(x,t)$ は $N_{\mathrm{hc}}A$ の写像空間を表す。従って終対象の条件は $A(x,t)\simeq *$ であり、厳密に $A(x,t)=*$ と要求するより弱い。一般の豊穣圏の終対象（終対象(豊穣圏)）・未置換のモデル圏のHomを、Kan条件や比較なしでこの式に代入してはいけない（HTT09 命題1.1.5.10、§2.2）。
関連項目
参考文献
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