終対象(∞圏)
概要
終対象(∞圏)（terminal object）とは、準圏 $\mathcal{C}$ の対象 $t$ であって、すべての対象 $x$ について写像空間 $\operatorname{Map}_{\mathcal{C}}(x,t)$ が可縮になるものであり、射の存在だけでなく比較とその高次整合性まで一意にする。終対象の間の射はすべて同値で、終対象であることは同値な対象への取り替えで保たれ、最後の頂点が $t$ である単体の境界がいつも埋まるなら $t$ は終対象なので、右錐の錐点は終対象になる。通常圏の脈体では古典的な終対象と一致し、空間の∞圏ではちょうど可縮空間が終対象で、ホモトピー圏で終対象でも∞圏の終対象とは限らない。極限は錐の∞圏の終対象として定義されるので、終対象は∞圏の普遍性全体の土台になる。
動機
通常の終対象は、あらゆる対象からの射を一つに受け止める対象である。通常圏では射集合が一点であることを要求する。∞圏では射集合に代えて写像空間を使い、その空間の可縮性を要求する。
「射のホモトピー類が一つ」と「選択と比較の空間が可縮」は異なる。後者を採用することで、同値な対象に取り替えても終対象であることが変わらず、極限（極限(∞圏)）の整合的な一意性も表せる。極限は錐の∞圏の終対象として定義されるので、終対象の理論は普遍性全体の土台になる。
定義の準備
単体的集合は、有限非空全順序集合と順序保存写像の圏 $\Delta$ 上の反変集合値関手である。標準単体を $\Delta^n$、その境界を $\partial\Delta^n$、第 $i$ 面を除く余次元1の面の和をホーン $\Lambda_i^n$ と書く。準圏は、すべての $n\ge2,\ 0< i< n$ のホーンを充填する単体的集合であり、本稿ではこれを $(\infty,1)$-圏のモデルとする。すべてのホーンを充填するKan複体は空間のモデルである。
対象 $x,y$ の写像空間 $\operatorname{Map}_{\mathcal C}(x,y)$ は、$n$-単体を端をそれぞれ $x,y$ で定値にした $\Delta^n\times\Delta^1\to\mathcal C$ とするKan複体である（写像空間(∞圏)）。これとホモトピー同値な小さい模型として、右写像空間
$$
\operatorname{Hom}^{R}_{\mathcal C}(x,y)_n
=\{\sigma:\Delta^{n+1}\to\mathcal C
\mid \sigma|_{\{0,\ldots,n\}}\text{ は }x\text{ で定値},\
\sigma(n+1)=y\}
$$
がある（HTT09 Proposition 1.2.2.3、Corollary 4.2.1.8）。定値条件は頂点だけでなく面全体の条件である。$\pi_0\operatorname{Map}$ を射集合とする通常圏がホモトピー圏（∞圏のホモトピー圏）$h\mathcal C$ であり、そこで同型になる辺を同値射と呼ぶ。
空間が可縮（可縮空間）とは、一点に向かう写像が弱ホモトピー同値であること、すなわち $\pi_0$ が一点で、すべての高次ホモトピー群も自明であることである。特に空空間は可縮でない。可縮性はホモトピー同値で保たれるので、どの写像空間の模型で判定してもよい。
定義と基本的な性質
準圏 $\mathcal C$ の対象 $t$ が終対象（terminal object, final object）であるとは、すべての対象 $x$ に対して
$$
\operatorname{Map}_{\mathcal C}(x,t)\simeq *
$$
となることをいう。反対準圏での終対象は、元の準圏の始対象（始対象(∞圏)）と呼ばれる。
この定義は HTT09 Definition 1.2.12.1、Proposition 1.2.12.4 に従う。可縮性は射の存在、比較の存在、比較の間の高次整合性を同時に表す。
終対象と始対象は反対∞圏をとると入れ替わる（始対象(∞圏)の命題「反対∞圏の終対象」）。反対をとると $h(\mathcal C^{\mathrm{op}})=(h\mathcal C)^{\mathrm{op}}$ なので、同値射も同値射に対応する。この対応により、始対象について示された性質は終対象へそのまま移る。
終対象 $t,t'$ の間の任意の射は同値である。特に二つの終対象は同値である。
$t,t'$ は $\mathcal C^{\mathrm{op}}$ の始対象である。$\mathcal C$ の射 $u:t\to t'$ は $\mathcal C^{\mathrm{op}}$ の射 $t'\to t$ であり、始対象(∞圏)の命題「始対象同士の同値」の証明が示すとおり、始対象の間の射は $\mathcal C^{\mathrm{op}}$ の同値である（任意の逆向きの射との合成が恒等射の類になる）。$h(\mathcal C^{\mathrm{op}})=(h\mathcal C)^{\mathrm{op}}$ だから $u$ は $\mathcal C$ でも同値である。存在については、$\operatorname{Map}(t,t')$ が可縮なので空でない。$\square$
$t\simeq t'$ なら、$t$ が終対象であることと $t'$ が終対象であることは同値である。
反対∞圏で考えると、$t\simeq t'$ は $\mathcal C^{\mathrm{op}}$ でも同値で、$t,t'$ が $\mathcal C$ の終対象であることは $\mathcal C^{\mathrm{op}}$ の始対象であることと同値である。始対象(∞圏)の命題「同値な対象への移送」を $\mathcal C^{\mathrm{op}}$ に適用すればよい。$\square$
さらに、終対象をすべて集めた充満部分準圏は、空でなければ可縮Kan複体である（HTT09 Proposition 1.2.12.9）。これは単に二対象が同値であることより強く、終対象の選択とその比較がすべて一意であることを表す。この記事では証明しない。
境界の延長による判定
写像空間を経由せず、単体的集合の言葉だけで終対象を判定する方法がある。「最後の頂点が $t$ である球面は必ず埋まる」という条件である。
準圏 $\mathcal C$ の対象 $t$ が次の条件を満たすとする：すべての $n\geq1$ と、頂点 $n$ を $t$ へ送る写像 $\partial\Delta^n\to\mathcal C$ は、$\Delta^n\to\mathcal C$ へ延長できる。このとき $t$ は終対象である。
対象 $x$ を固定し、$K=\operatorname{Hom}^R_{\mathcal C}(x,t)$ とおく。$K$ の $m$-単体は、頂点 $0,\ldots,m$ の面が $x$ で定値、頂点 $m+1$ が $t$ の $(m+1)$-単体であり、$K$ の面写像 $d_i$（$i\le m$）は $\Delta^{m+1}$ の第 $i$ 面への制限である。すべての $m\geq0$ で、写像 $u:\partial\Delta^m\to K$ が $\Delta^m\to K$ へ延長できることを示す。
$m=0$ では $\partial\Delta^0=\emptyset$ なので、$K$ が空でないことを示せばよい。頂点 $0,1$ を $x,t$ へ送る $\partial\Delta^1\to\mathcal C$ は仮定により辺 $x\to t$ へ延長でき、これが $K$ の頂点である。
$m\geq1$ とする。$u$ は各面 $d_i\Delta^m$（$i=0,\ldots,m$）に $K$ の $(m-1)$-単体、すなわち $\Delta^{m+1}$ の面 $d_i\Delta^{m+1}$（頂点 $i$ を除き、頂点 $m+1$ を含む面）から $\mathcal C$ への写像を与え、これらは共通部分で一致する。残る面 $d_{m+1}\Delta^{m+1}$（頂点 $0,\ldots,m$）には $x$ の完全退化単体を置く。この面と $d_i\Delta^{m+1}$（$i\le m$）の共通部分は頂点 $\{0,\ldots,m\}\setminus\{i\}$ の面で、$u$ の値はそこで $K$ の定義により $x$ で定値だから、一致する。こうして頂点 $m+1$ を $t$ へ送る写像 $\partial\Delta^{m+1}\to\mathcal C$ が得られる。仮定（$n=m+1$）により $w:\Delta^{m+1}\to\mathcal C$ に延長できる。$w$ の頂点 $0,\ldots,m$ の面は $x$ で定値、頂点 $m+1$ は $t$ なので $w\in K_m$ であり、$w$ の面は $u$ の値に一致する。よって $u$ は延長できる。
以上から $K\to\Delta^0$ はすべての包含 $\partial\Delta^m\subseteq\Delta^m$ に対して右持ち上げ性質を持つ。このような写像はKanファイブレーションかつ弱同値である（GJ09 Theorem I.11.2）から、$K$ は可縮なKan複体である。$\operatorname{Map}_{\mathcal C}(x,t)$ は $K$ とホモトピー同値なので可縮である。$x$ は任意だから $t$ は終対象である。$\square$
この条件を満たす対象を強い終対象と呼ぶことがある（HTT09 Definition 1.2.12.3）。逆に、準圏の終対象はこの条件を満たす（HTT09 Proposition 1.2.12.4、Corollary 1.2.12.5）。この向きには、スライス $\mathcal C_{/t}\to\mathcal C$ が右ファイブレーションであり、ファイバーが可縮な右ファイブレーションが自明ファイブレーションになるという結果を使うので、この記事では証明しない。準圏でない単体的集合では、強い終対象は同値で閉じているとは限らない（HTT09 Remark 1.2.12.8）。
境界の延長による判定を使うと、終対象を持つ∞圏を具体的に作れる。準圏 $\mathcal C$ に対し、$\mathcal C^{\triangleright}=\mathcal C\star\Delta^0$ を $\mathcal C$ の右錐という。ここで join $\star$ の $n$-単体は、$\mathcal C$ の $n$-単体、錐点 $\infty$ の退化 $n$-単体、および $\mathcal C$ の $i$-単体と錐点の $j$-単体の組（$i+j=n-1$）からなる（HTT09 Definition 1.2.8.1）。言い換えると、$\mathcal C^{\triangleright}$ の単体は「頂点の前半が $\mathcal C$ に、後半が錐点にある」単体であり、前半の部分（$\mathcal C$ の単体、空でもよい）と頂点の個数で決まる。$\mathcal C$ が準圏なら $\mathcal C^{\triangleright}$ も準圏である（HTT09 Proposition 1.2.8.3）。
準圏 $\mathcal C$ の右錐 $\mathcal C^{\triangleright}$ において、錐点 $\infty$ は終対象である。
命題「境界の延長から終対象が従う」の条件を確かめる。$n\geq1$ とし、$u:\partial\Delta^n\to\mathcal C^{\triangleright}$ が頂点 $n$ を $\infty$ へ送るとする。
$\mathcal C^{\triangleright}$ には錐点から $\mathcal C$ の頂点への辺がない（どの単体でも $\mathcal C$ の頂点が錐点より前に並ぶ）。$n\geq2$ なら $\Delta^n$ のどの辺も $\partial\Delta^n$ に含まれるので、$u(j)=\infty$ かつ $j< j'$ なら $u(j')=\infty$ である。$n=1$ でも頂点 $1$ が $\infty$ へ行くので同じことが言える。従って $\mathcal C$ へ行く頂点は $0,\ldots,k-1$ の形で、$0\le k\le n$ である。
$k=0$ なら、すべての頂点が $\infty$ へ行く。$\infty$ の完全退化 $n$-単体を $w$ とすると、$w$ の各面も $\infty$ の完全退化単体で、$u$ の各面の値（頂点がすべて $\infty$ の単体はただ一つ）に一致する。
$k\geq1$ なら、頂点 $0,\ldots,k-1$ で張られる面 $F$ は、頂点 $n$ を含まないので $\partial\Delta^n$ に含まれる。$\tau=u|_F$ は $\mathcal C$ の $(k-1)$-単体である。前半が $\tau$、後半 $n-k+1$ 個の頂点が錐点である $n$-単体を $w$ とする。$u$ の面 $d_i\Delta^n$ での値は、$\mathcal C$ へ行く頂点が $\{0,\ldots,k-1\}\setminus\{i\}$ で、その部分への制限は $\tau$ の対応する面（$i\geq k$ なら $\tau$ 自身）である。$w$ の第 $i$ 面も同じ前半と同じ頂点数を持つ。$\mathcal C^{\triangleright}$ の単体は前半と頂点数で決まるので、両者は等しい。
いずれの場合も $u$ は $w$ に延長できる。よって $\infty$ は終対象である。$\square$
この証明では延長が一意に決まった。錐点への写像空間は一点そのものであり、可縮であるだけでなく厳密に一点である。錐を使う極限の定義（下の節）は、この構成を図式に沿って行うものである。
通常の圏への回収
通常圏 $A$ の対象 $t$ が終対象であることは、脈体 $NA$ において終対象であることと同値である。
脈体と反対は交換し、$N(A^{\mathrm{op}})\cong N(A)^{\mathrm{op}}$ である。これは射の列を逆順に読む対応から得られ、面・退化との整合は下の余極限の記事の命題「通常図式の余錐」の証明で確かめる（余極限(∞圏)）。$t$ が $A$ の終対象であることは $A^{\mathrm{op}}$ の始対象であることと同値であり、始対象(∞圏)の命題「脈体での始対象」により $N(A^{\mathrm{op}})$ の始対象であることと同値である。これは上の同型により $N(A)^{\mathrm{op}}$ の始対象であること、すなわち $N(A)$ の終対象であることと同値である（始対象(∞圏)の命題「反対∞圏の終対象」）。$\square$
写像空間で見ると、右写像空間の $n$-単体は最初の $n+1$ 頂点が恒等射で結ばれた列なので、$\operatorname{Hom}^R_{NA}(a,t)$ は集合 $\operatorname{Hom}_A(a,t)$ の離散空間である。離散空間が可縮であることは集合が一点であることと同値である（HTT09 Example 1.2.12.7）。
例
小Kan複体の∞圏（空間の∞圏）$\mathcal S$ において、Kan複体 $T$ が終対象であることと、$T$ が可縮であることは同値である。
従って $\mathcal S$ の終対象は一点に限らない。例えば区間の特異単体的集合 $\operatorname{Sing}([0,1])$ は非可算個の頂点を持つが、終対象である。
半順序集合 $P$ の脈体では、$x\le t$ なら $\operatorname{Map}(x,t)$ は一点、それ以外なら空である。従って終対象は最大元である。二点の鎖 $0<1$ では $1$ が終対象だが、通常の順序の $\mathbb N$ には最大元がないため終対象がない。$\mathbb N$ に最大元 $\infty$ を付け加えた $\mathbb N\cup\{\infty\}$ の脈体は $N(\mathbb N)^{\triangleright}$ であり、命題「右錐の錐点は終対象」の例になっている。
$c\in\mathcal C$ に対して、スライス圏（スライス圏(∞圏)）$\mathcal C_{/c}$ の $n$-単体は、最後の頂点を $c$ に固定した $\Delta^{n+1}\to\mathcal C$ である。恒等射 $\operatorname{id}_c$ は $\mathcal C_{/c}$ の終対象である。写像空間で言えば、$f:x\to c$ から $\operatorname{id}_c$ への写像空間は、恒等写像 $\operatorname{Map}(x,c)\to\operatorname{Map}(x,c)$ の $f$ 上のホモトピーファイバーであり可縮である（HTT09 Lemma 5.5.5.12 の双対）。この記事では証明しない。
反例
一対象亜群 $B\mathbb Z$（自己射群が $\mathbb Z$）の脈体を $K$ とする。$K_n=\mathbb Z^n$、面は隣り合う整数の加算または端の削除、退化は $0$ の挿入である。$K$ は連結Kan複体で、基本群 $\pi_1K=\mathbb Z$ だから可縮でない。
一対象の単体的豊穣圏 $A$ を $A(a,a)=K$、合成を成分ごとの加法で定める。これは局所Kanである。その整合的脈体（ホモトピー整合的脈体）$\mathcal C=N_{\mathrm{hc}}A$ は自己写像空間が $K$ と同値な準圏となる（HTT09 Theorem 2.2.0.1）。従って $h\mathcal C$ の射集合は一点で、唯一の対象 $a$ は通常圏 $h\mathcal C$ の終対象である。しかし $\operatorname{Map}_{\mathcal C}(a,a)$ は可縮でなく、$\mathcal C$ の終対象ではない。
この例は「全Homの $\pi_0$ が一点なら終対象」という含意を破る。一対象なので、同じ構成は始対象についての反例にもなる（始対象(∞圏)の注意「反例：ホモトピー圏の始対象だけでは足りない」）。
二対象 $0,1$ の単体的豊穣圏 $A$ を、$A(0,0)=A(1,1)=\Delta^0$、$A(0,1)=N(B\mathbb Z)$、$A(1,0)=\emptyset$ とし、合成は単位との合成だけで定める。これは局所Kanである。$\mathcal C=N_{\mathrm{hc}}A$ では $\operatorname{Map}(1,1)\simeq*$ で、$h\mathcal C$ には $0\to1$ がただ一つ、$1\to1$ も恒等射だけなので、$1$ は $h\mathcal C$ の終対象である。しかし $\operatorname{Map}(0,1)\simeq N(B\mathbb Z)$ は可縮でないから、$1$ は $\mathcal C$ の終対象ではない。終対象の条件は、すべての対象からの写像空間について要求しなければならない。
条件を外したときに崩れることを表にまとめる。
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| 写像空間の可縮性（$\pi_0$ だけにする） | $N_{\mathrm{hc}}A$（一対象、自己Hom $N(B\mathbb Z)$） | ホモトピー圏の終対象は∞圏の終対象 |
| すべての対象からの可縮性 | $N_{\mathrm{hc}}A$、$A(0,1)=N(B\mathbb Z)$ | 自己写像空間が可縮でホモトピー圏の終対象なら終対象 |
| 最大元の存在 | $N(\mathbb N)$ | 半順序集合の脈体は終対象を持つ |
| 空間の弱可縮性 | $\operatorname{Sing}(S^1)$ | Kan複体は終対象を持つ |
表の4行目：$\operatorname{Sing}(S^1)$ の写像空間は道の空間の特異単体的集合である（写像空間(∞圏)の命題「特異単体的集合の写像空間は道の空間」）。終対象 $t$ があれば $\operatorname{Map}(t,t)$、すなわちループ空間 $\Omega_tS^1$ が可縮になるが、その連結成分の集合は $\pi_1(S^1)\cong\mathbb Z$ で一点でない。
極限と豊穣表示への接続
小図式 $p:K\to\mathcal C$ に対して、錐準圏 $\mathcal C_{/p}$ の $n$-単体を $K$ 上で $p$ に一致する $\Delta^n\star K\to\mathcal C$ とする。join は左の頂点を先に並べた単体の結合である。極限はこの錐準圏の終対象として定義される。$K=\emptyset$ なら錐準圏は $\mathcal C$ 自身なので、終対象は空図式の極限である（HTT09 Definition 1.2.13.4）。
単体的豊穣圏は、Hom単体的集合・単位・厳密に結合的な合成を持つ。HomがKanなら局所Kanと呼ぶ。整合的脈体は
$$
(N_{\mathrm{hc}}A)_n
=\operatorname{Fun}_{\mathrm{sSet}}(\mathfrak C[\Delta^n],A)
$$
で定義する。$\mathfrak C[\Delta^n]$ は対象 $0,\ldots,n$ を持ち、$i< j$ のHomは $i,j$ を含む区間の部分集合の包含半順序の脈体、$i=j$ で一点、$i>j$ で空とし、合成を和集合とする。
局所Kanなら $A(x,t)$ は $N_{\mathrm{hc}}A$ の写像空間を表す。従って終対象の条件は $A(x,t)\simeq *$ であり、厳密に $A(x,t)=*$ と要求するより弱い。一般の豊穣圏の終対象（終対象(豊穣圏)）・未置換のモデル圏のHomを、Kan条件や比較なしでこの式に代入してはいけない（HTT09 Proposition 1.1.5.10、Theorem 2.2.0.1）。
関連項目
参考文献
Mathpediaは寄付と、参考文献の書籍リンク（Amazonアソシエイト）の紹介料で運営されています。 支援について ／ 寄付する
