Sylowの定理

$e\cdot x=x$ より $e\in H_{x}$ であり、$h,k\in H_{x}$ ならば $(hk)\cdot x=h\cdot(k\cdot x)=h\cdot x=x$、$h^{-1}\cdot x=h^{-1}\cdot(h\cdot x)=x$ なので $H_{x}$ は部分群である。左剰余類の集合 $H/H_{x}$ から軌道 $H\cdot x$ への写像を $hH_{x}\mapsto h\cdot x$ で定める。$hH_{x}=kH_{x}$ は $k^{-1}h\in H_{x}$、すなわち $(k^{-1}h)\cdot x=x$、すなわち $h\cdot x=k\cdot x$ と同値なので、この写像は矛盾なく定まり 単射 である。全射 であることは軌道の定義から明らかである。よって $|H\cdot x|=|H/H_{x}|=[H:H_{x}]$ であり、Lagrange の定理により $|H|=[H:H_{x}]\,|H_{x}|$ だから $|H\cdot x|$ は $|H|$ の約数である。
$x\sim y\iff y\in H\cdot x$ は $X$ 上の 同値関係 である。実際 $x=e\cdot x$、$y=h\cdot x$ なら $x=h^{-1}\cdot y$、$y=h\cdot x$ かつ $z=k\cdot y$ なら $z=(kh)\cdot x$ である。同値類 が軌道なので、$X$ は相異なる軌道の互いに交わらない合併であり、$X$ が有限ならば $|X|$ は軌道の大きさの和である。$\square$

正の整数 $n$ に対し、$n$ を割り切る $p$ の最大の冪の指数を $v_{p}(n)$ と書く（p進付値）。$v_{p}(ab)=v_{p}(a)+v_{p}(b)$ である。
$1\le i< p^{s}$ とし、$t:=v_{p}(i)$ とおくと、$i< p^{s}$ より $t< s$ である。$p^{s}m$ は $p^{t+1}$ で割り切れ、$i$ は $p^{t}$ で割り切れるが $p^{t+1}$ では割り切れないので、$p^{s}m-i$ は $p^{t}$ で割り切れるが $p^{t+1}$ では割り切れない。よって $v_{p}(p^{s}m-i)=v_{p}(i)$ である。
二項係数の定義 $\dbinom{N}{k}=\dfrac{N(N-1)\cdots(N-k+1)}{k!}$ を $N=p^{s}m$、$k=p^{s}$ に適用し、両辺に $k!$ を掛けてから $p^{s}$ で割ると、整数の等式
$$\binom{p^{s}m}{p^{s}}\cdot(p^{s}-1)!=m\prod_{i=1}^{p^{s}-1}(p^{s}m-i)$$
を得る。両辺の $p$ 進付値を比べる。右辺は $v_{p}(m)+\sum_{i=1}^{p^{s}-1}v_{p}(p^{s}m-i)=0+\sum_{i=1}^{p^{s}-1}v_{p}(i)=v_{p}((p^{s}-1)!)$ であり、左辺は $v_{p}\bigl(\binom{p^{s}m}{p^{s}}\bigr)+v_{p}((p^{s}-1)!)$ である。よって $v_{p}\bigl(\binom{p^{s}m}{p^{s}}\bigr)=0$、すなわち二項係数は $p$ で割り切れない。$\square$

Wielandt による証明（Wie59）を述べる。$X$ を、$G$ の部分集合であって元の個数がちょうど $p^{s}$ であるもの全体の集合とする。$|X|=\dbinom{p^{s}m}{p^{s}}$ であり、lem-sylow-theorems-binomial によりこれは $p$ で割り切れない。$g\in G$、$A\in X$ に対し $g\cdot A:=gA=\{ga\mid a\in A\}$ とおくと、$a\mapsto ga$ は $A$ から $gA$ への 全単射 なので $gA\in X$ であり、$e\cdot A=A$、$g\cdot(h\cdot A)=(gh)\cdot A$ だからこれは $G$ の $X$ への作用である。
lem-sylow-theorems-orbit により $|X|$ は軌道の大きさの和である。すべての軌道の大きさが $p$ で割り切れるなら $|X|$ も $p$ で割り切れて矛盾するので、大きさが $p$ で割り切れない軌道 $\mathcal{O}$ が存在する。$B\in\mathcal{O}$ を一つ取り、$P:=G_{B}=\{g\in G\mid gB=B\}$ とおく。lem-sylow-theorems-orbit により $|\mathcal{O}|=[G:P]$ であり、$|G|=[G:P]\,|P|$ だから $p^{s}m=|\mathcal{O}|\cdot|P|$ である。$|\mathcal{O}|$ は $p$ で割り切れないので、$p^{s}$ は $|P|$ を割り切る。
一方、$b_{0}\in B$ を一つ固定すると、$g\in P$ に対し $gb_{0}\in gB=B$ であり、写像 $P\to B$、$g\mapsto gb_{0}$ は消去律により単射である。よって $|P|\le|B|=p^{s}$ である。以上より $|P|=p^{s}$ であり、$P$ は $G$ の Sylow $p$ 部分群である。$\square$

$P$ を Sylow $p$ 部分群（存在は上で示した）、$H$ を任意の $p$ 部分群とする。$X:=G/P$ を $P$ の左剰余類全体の集合とすると $|X|=[G:P]=m$ であり、$m$ は $p$ で割り切れない。$h\in H$、$gP\in X$ に対し $h\cdot(gP):=hgP$ とおくと、これは $H$ の $X$ への作用である（$gP=g'P$ ならば $hgP=hg'P$ なので矛盾なく定まる）。
$H$ は $p$ 群なので、lem-sylow-theorems-orbit の後に述べたように、各軌道の大きさは $1$ または $p$ の正の冪であり、$|X|=m\not\equiv0\pmod p$ だから、大きさ $1$ の軌道、すなわち固定点 $gP$ が存在する。固定点であることは任意の $h\in H$ に対し $hgP=gP$、すなわち $g^{-1}hg\in P$ を意味する。よって $g^{-1}Hg\subset P$、すなわち $H\subset gPg^{-1}$ である。$gPg^{-1}$ は $P$ と同じ位数 $p^{s}$ の部分群なので Sylow $p$ 部分群であり、2 が示された。
$H$ 自身が Sylow $p$ 部分群のときは $|H|=p^{s}=|gPg^{-1}|$ なので $H=gPg^{-1}$ であり、3 が従う。$x\mapsto gxg^{-1}$ は $P$ から $gPg^{-1}$ への同型なので、Sylow $p$ 部分群は互いに同型である。$\square$

$\mathcal{S}$ を $G$ の Sylow $p$ 部分群全体の集合とし、$n_{p}=|\mathcal{S}|$ とおく。$g\in G$、$Q\in\mathcal{S}$ に対し $g\cdot Q:=gQg^{-1}$ とおくと、$gQg^{-1}$ は位数 $p^{s}$ の部分群なので $\mathcal{S}$ の元であり、これは $G$ の $\mathcal{S}$ への作用（共役作用）である。3 によりこの作用は推移的（推移的作用）、すなわち軌道は $\mathcal{S}$ 全体ただ一つである。$P\in\mathcal{S}$ を固定すると、$P$ の固定部分群は $\{g\in G\mid gPg^{-1}=P\}=N_{G}(P)$ なので、lem-sylow-theorems-orbit により $n_{p}=[G:N_{G}(P)]$ である。$P\subset N_{G}(P)\subset G$ であり、Lagrange の定理を二度使うと $|G|=[G:N_{G}(P)]\,|N_{G}(P)|$、$|N_{G}(P)|=[N_{G}(P):P]\,|P|$ なので
$$m=[G:P]=\frac{|G|}{|P|}=[G:N_{G}(P)]\,[N_{G}(P):P]=n_{p}\,[N_{G}(P):P]$$
となり、$n_{p}$ は $m$ の約数である。とくに $|G|$ の約数でもある。
次に $n_{p}\equiv1\pmod p$ を示す。上の作用を部分群 $P$ に制限して、$P$ の $\mathcal{S}$ への共役作用を考える。$P$ は $p$ 群なので、$n_{p}=|\mathcal{S}|$ は $p$ を法としてこの作用の固定点の個数に合同である。$Q\in\mathcal{S}$ が固定点であるとは、任意の $x\in P$ に対し $xQx^{-1}=Q$、すなわち $P\subset N_{G}(Q)$ が成り立つことである。このとき $N:=N_{G}(Q)$ とおくと、$P$ と $Q$ はともに $N$ の部分群であり、$|N|$ は $|G|=p^{s}m$ の約数で $p^{s}=|Q|$ で割り切れるので、$|N|=p^{s}m'$（$m'$ は $p$ で割り切れない）と書ける。よって $P$ と $Q$ はともに有限群 $N$ の Sylow $p$ 部分群であり、3 を $N$ に適用すると $P=nQn^{-1}$ を満たす $n\in N$ が存在する。$n\in N=N_{G}(Q)$ だから $nQn^{-1}=Q$ であり、$P=Q$ を得る。逆に $Q=P$ は明らかに固定点である。したがって固定点は $P$ ただ一つであり、$n_{p}\equiv1\pmod p$ が成り立つ。$\square$

1 ならば $N_{G}(P)=G$ なので、thm-sylow-theorems-main の 4 により $n_{p}=[G:N_{G}(P)]=1$ である。逆に $n_{p}=1$ ならば、任意の $g\in G$ に対し $gPg^{-1}$ は Sylow $p$ 部分群なので $gPg^{-1}=P$ であり、$P$ は正規部分群である。
$n_{p}=1$ のとき、任意の $p$ 部分群 $H$ は thm-sylow-theorems-main の 2 によりある Sylow $p$ 部分群に含まれるが、それは $P$ に限る。また自己同型 $\varphi$ に対し $\varphi(P)$ は位数 $p^{s}$ の部分群なので Sylow $p$ 部分群であり、$\varphi(P)=P$ である。$\square$

$|G|=p^{s}m$ で $s\ge1$ とする。thm-sylow-theorems-main の 1 により Sylow $p$ 部分群 $P$ が存在し、$|P|=p^{s}\ge p>1$ なので $e$ でない $x\in P$ が取れる。Lagrange の定理により $x$ の位数は $|P|=p^{s}$ の約数で $1$ でないから $p^{k}$（$k\ge1$）の形である。$y:=x^{p^{k-1}}$ とおくと $y\neq e$（$p^{k-1}$ は $x$ の位数 $p^{k}$ より小さい）かつ $y^{p}=x^{p^{k}}=e$ なので、$y$ の位数は $p$ である。$\square$

1 ならば $|H|=p^{s}$ は $p$ 部分群の位数の最大値なので、$H$ を真に含む $p$ 部分群は存在しない。逆に 2 とする。thm-sylow-theorems-main の 2 により $H\subset gPg^{-1}$ を満たす Sylow $p$ 部分群 $gPg^{-1}$ が存在し、$gPg^{-1}$ は $p$ 部分群なので極大性から $H=gPg^{-1}$、すなわち $H$ は Sylow $p$ 部分群である。$\square$

1 は、$|H|$ が $|G|$ の約数で $p^{s}=|P|$ で割り切れることから、$|H|$ を割り切る $p$ の最大の冪がちょうど $p^{s}$ であることによる。
2 を示す。$N$ が正規部分群なので $PN=\{xy\mid x\in P,\ y\in N\}$ は $G$ の部分群であり、$|PN|\,|P\cap N|=|P|\,|N|$ が成り立つ。実際、写像 $P\times N\to PN$、$(x,y)\mapsto xy$ は全射であり、$xy=x'y'$ は $x'^{-1}x=y'y^{-1}\in P\cap N$ と同値なので、各 $z\in PN$ の逆像は $\{(xw,w^{-1}y)\mid w\in P\cap N\}$ の形で、ちょうど $|P\cap N|$ 個の元からなる。$|N|=p^{a}n'$、$|G/N|=p^{b}m''$（$n'$、$m''$ は $p$ で割り切れない）と書くと、$|G|=|N|\,|G/N|$ より $a+b=s$ である。$|PN|$ は $|G|$ の約数なので $p^{s+1}$ で割り切れない。$|PN|=p^{s}|N|/|P\cap N|$ であり、$|P\cap N|$ は $p$ 部分群の位数なので $p$ の冪 $p^{c}$ である。もし $c< a$ ならば $|PN|=p^{s-c}n'\cdot p^{a}$ は $p^{s+1}$ で割り切れて矛盾する。よって $c\ge a$ であり、一方 $P\cap N$ は $N$ の $p$ 部分群なので $c\le a$ である。したがって $|P\cap N|=p^{a}$ であり、$P\cap N$ は $N$ の Sylow $p$ 部分群である。また $PN/N\cong P/(P\cap N)$（群論 の記事の注意（準同型定理の出典）に述べた 第2同型定理）なので $|PN/N|=p^{s}/p^{a}=p^{b}$ であり、$PN/N$ は $G/N$ の Sylow $p$ 部分群である。$\square$