開基
概要
開基（Base / Basis）とは、位相空間論において、その空間の位相構造（開集合系）を生成するために必要十分な「基本的な開集合の部品」の集まりを指す概念である。線型代数における基底がベクトル空間全体を生成するように、開基の元を適当に合併（和集合）させることで、空間内のあらゆる開集合を表現できる。位相空間を具体的に構成したり、その性質（第2可算公理など）を調べる上で最も基本的かつ重要な道具である。
定義
位相空間における開基の定義には、大きく分けて「既に与えられた位相に対する開基」と「位相を定義するための開基」の2つのアプローチがある。
1. 既知の位相に対する開基
位相空間 $(X, \mathcal{O})$ において、開集合族の部分集合 $\mathcal{B} \subseteq \mathcal{O}$ が $X$ の開基（または基底）であるとは、以下の条件を満たすことをいう。
任意の開集合 $U \in \mathcal{O}$ が、$\mathcal{B}$ の元の（場合によっては無限個の）和集合として表せる。
$$U = \bigcup \{B \in \mathcal{B} \mid B \subseteq U\}$$
これは、「任意の開集合 $U$ とその中の点 $x$ に対して、ある $B \in \mathcal{B}$ が存在して $x \in B \subseteq U$ となる」ことと同値である。
2. 位相を生成するための条件
集合 $X$ とその部分集合族 $\mathcal{B}$ が与えられたとき、$\mathcal{B}$ を開基とするような位相が $X$ 上に（一意に）存在するための必要十分条件は以下の通りである。
- 被覆性: $X$ 全体が $\mathcal{B}$ の元の和集合となる。すなわち、$\forall x \in X, \exists B \in \mathcal{B} \text{ s.t. } x \in B$。
- 交叉性: $B_1, B_2 \in \mathcal{B}$ かつ $x \in B_1 \cap B_2$ ならば、ある $B_3 \in \mathcal{B}$ が存在して、$x \in B_3 \subseteq B_1 \cap B_2$ となる。
この条件を満たすとき、$\mathcal{B}$ の元の和集合全体を $\mathcal{O}$ と定めれば、$(X, \mathcal{O})$ は位相空間となる。これを「$\mathcal{B}$ によって生成された位相」と呼ぶ。
直感的理解
開基は、位相空間という「建物」を構成する「ブロック」や「原子」に例えられる。
- 位相 $\mathcal{O}$: 完成した建物全体（開集合すべて）。
- 開基 $\mathcal{B}$: 基本的なブロック（開球、開区間など）。
- 操作: ブロックを積み上げる（和集合をとる）ことで、どんな形状の建物（開集合）も作ることができる。
線型代数におけるベクトル空間の基底と似ているが、位相空間の開基では「有限個の和」ではなく「任意個の和」を許容する点が異なる。
具体例
位相空間の例の多くは、開集合全体を記述する代わりに、扱いやすい開基を指定することで定義される。
- 距離空間:
距離空間 $(X, d)$ において、すべての開球の集合 $\mathcal{B} = \{B(x, r) \mid x \in X, r > 0\}$ は、距離位相の開基となる。 - 実数直線 $\mathbb{R}$:
開区間の全体 $\mathcal{B} = \{(a, b) \mid a < b\}$ は、通常の位相の開基である。 - Euclid空間 $\mathbb{R}^n$:
開直方体の全体 $\mathcal{B} = \{(a_1, b_1) \times \dots \times (a_n, b_n)\}$ は、$\mathbb{R}^n$ の通常の位相の開基である（開球全体をとっても同じ位相が生成される）。 - 離散空間:
一点集合の全体 $\mathcal{B} = \{\{x\} \mid x \in X\}$ は、離散位相の開基である。
関連概念：準開基
開基の条件（特に交叉性）は少し厳しい場合がある。これを緩めた概念が準開基である。
集合族 $\mathcal{S}$ が位相空間 $X$ の準開基であるとは、$\mathcal{S}$ の有限個の共通部分（有限交叉）全体が、開基となることをいう。
すなわち、準開基の元を「有限個の共通部分」で組み合わせて開基を作り、さらにそれらの「任意の和集合」で位相を作る。
- 例: $\mathbb{R}$ において、半無限区間 $(-\infty, a)$ と $(b, \infty)$ の全体は準開基である。これらの共通部分として開区間 $(b, a)$ が得られるため、通常の位相が生成される。
性質
開基の選び方やその濃度（元の個数）は、空間の性質を決定づける。
- 開基の非一意性:
同じ位相を生成する開基は複数存在する（例：$\mathbb{R}^2$ の開基として「開円盤」と「開正方形」は等価である）。 - 位相の比較:
2つの開基 $\mathcal{B}_1, \mathcal{B}_2$ が生成する位相を $\mathcal{O}_1, \mathcal{O}_2$ とする。
$\mathcal{O}_1 \subseteq \mathcal{O}_2$（$\mathcal{O}_2$ がより細かい）であるための必要十分条件は、任意の $x$ と $B_1 \in \mathcal{B}_1$ ($x \in B_1$) に対し、ある $B_2 \in \mathcal{B}_2$ が存在して $x \in B_2 \subseteq B_1$ となることである。 - 第2可算公理:
可算個の元からなる開基を持つ空間を第2可算空間と呼び、解析学において特に重要視される（距離空間における可分空間に対応）。 - 直積空間:
$X, Y$ の開基を $\mathcal{B}_X, \mathcal{B}_Y$ とすると、直積集合 $\{U \times V \mid U \in \mathcal{B}_X, V \in \mathcal{B}_Y\}$ は直積空間 $X \times Y$ の開基となる。
