開基

同義語：基底(位相空間)開基底basebasis

概要

定義

開基には、「既に与えられた位相に対する開基」と「位相を定義するための開基」という二つの使い方がある。まず前者を定義し、後者は thm-base-generation で扱う。

開基の定義

$(X,\mathcal{O})$ を位相空間とする。開集合の族 $\mathcal{B}\subset\mathcal{O}$ が $X$（または位相 $\mathcal{O}$）の開基（base, basis）であるとは、任意の開集合 $U\in\mathcal{O}$ が $\mathcal{B}$ の元の合併として書けること、すなわち各 $U\in\mathcal{O}$ に対して部分族 $\mathcal{B}'\subset\mathcal{B}$ が存在して
$$ U=\bigcup_{B\in\mathcal{B}'}B $$
となることをいう。基底、開基底ともいう。空集合は空な部分族の合併として常に得られる。$\mathcal{B}$ が $\mathcal{O}$ の開基であるとき、$\mathcal{B}$ は位相 $\mathcal{O}$ を生成するという。

開基の元はすべて開集合であることを定義に含めている。開集合とは限らない族から位相を作る、より弱い出発点については補足の def-base-subbase を参照。

開基の点ごとの特徴付け

$(X,\mathcal{O})$ を位相空間、$\mathcal{B}\subset\mathcal{O}$ とする。次は同値である。

$\mathcal{B}$ は $\mathcal{O}$ の開基である。
任意の $U\in\mathcal{O}$ と任意の点 $x\in U$ に対して、$x\in B\subset U$ を満たす $B\in\mathcal{B}$ が存在する。
任意の $U\in\mathcal{O}$ に対して $U=\bigcup\{B\in\mathcal{B}\mid B\subset U\}$ が成り立つ。

$1\Rightarrow 2$：$U\in\mathcal{O}$ と $x\in U$ を取る。仮定より $U=\bigcup_{B\in\mathcal{B}'}B$ となる $\mathcal{B}'\subset\mathcal{B}$ がある。$x$ は合併に属するから、ある $B\in\mathcal{B}'$ について $x\in B$ であり、また $B\subset U$ である。
$2\Rightarrow 3$：$U\in\mathcal{O}$ を取る。右辺の各成員は $U$ に含まれるから右辺は $U$ に含まれる。逆に $x\in U$ に対し、仮定から $x\in B\subset U$ を満たす $B\in\mathcal{B}$ があり、この $B$ は右辺の合併に参加するので $x$ は右辺に属する。
$3\Rightarrow 1$：$\mathcal{B}':=\{B\in\mathcal{B}\mid B\subset U\}$ が定義の部分族になっている。$U=\emptyset$ のときは $\mathcal{B}'$ が空族か $\{\emptyset\}$ であり、いずれにせよ合併は $\emptyset$ である。$\square$

条件 2 は「各点の周りで、開集合をいくらでも開基の元で内側から近似できる」と読める。実用上は条件 2 の形で使うことが多い。
次に、位相をまだ持たない集合 $X$ 上で、どのような族が何らかの位相の開基になり得るかを特徴付ける。これが開基のもう一つの中心的な使い方である。

開基の公理

$X$ を集合、$\mathcal{B}$ を $X$ の部分集合の族とする。次の二条件を開基の公理という。

(B1) 被覆条件（被覆性）：$\bigcup_{B\in\mathcal{B}}B=X$。すなわち任意の $x\in X$ に対して $x\in B$ となる $B\in\mathcal{B}$ が存在する。
(B2) 交わり条件（交叉性）：任意の $B_1,B_2\in\mathcal{B}$ と任意の $x\in B_1\cap B_2$ に対して、$x\in B_3\subset B_1\cap B_2$ を満たす $B_3\in\mathcal{B}$ が存在する。
また、$\mathcal{B}$ のある部分族の合併として書ける $X$ の部分集合の全体を
$$ \mathcal{O}(\mathcal{B}):=\Bigl\{\,U\subset X\;\Bigm|\;U=\bigcup_{B\in\mathcal{B}'}B\text{ となる }\mathcal{B}'\subset\mathcal{B}\text{ が存在する}\,\Bigr\} $$
と書く。

開基による位相の生成

$X$ を集合、$\mathcal{B}$ を $X$ の部分集合の族とする。$\mathcal{B}$ を開基とする $X$ 上の位相が存在することと、$\mathcal{B}$ が (B1), (B2) を満たすことは同値である。さらにそのような位相は一意であり、$\mathcal{O}(\mathcal{B})$ で与えられる。$\mathcal{O}(\mathcal{B})$ は $\mathcal{B}$ を含む最小の位相であり、$\mathcal{B}$ が生成する位相と呼ばれる。

必要性：$\mathcal{B}$ がある位相 $\mathcal{O}$ の開基だとする。$X$ 自身は開集合だから $\mathcal{B}$ の元の合併として書け、(B1) が従う。$B_1,B_2\in\mathcal{B}$ なら $B_1\cap B_2$ は開集合であり、prop-base-pointwise の条件 2 を $U=B_1\cap B_2$ に適用すれば (B2) を得る。
十分性：(B1), (B2) を仮定し、$\mathcal{O}(\mathcal{B})$ が位相であることを確かめる。
まず $\emptyset$ は空な部分族の合併なので $\mathcal{O}(\mathcal{B})$ に属し、$X$ は (B1) により属する。
合併について：$\{U_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda}\subset\mathcal{O}(\mathcal{B})$ とすると、各 $U_\lambda$ は $\mathcal{B}$ のある部分族 $\mathcal{B}_\lambda$ の合併だから、$\bigcup_\lambda U_\lambda$ は部分族 $\bigcup_\lambda\mathcal{B}_\lambda\subset\mathcal{B}$ の合併であり、$\mathcal{O}(\mathcal{B})$ に属する。
有限交叉について：$U,V\in\mathcal{O}(\mathcal{B})$ とし、$x\in U\cap V$ を任意に取る。$U$ は $\mathcal{B}$ の元の合併だから $x\in B_1\subset U$ となる $B_1\in\mathcal{B}$ があり、同様に $x\in B_2\subset V$ となる $B_2\in\mathcal{B}$ がある。(B2) により $x\in B_x\subset B_1\cap B_2\subset U\cap V$ を満たす $B_x\in\mathcal{B}$ が取れる。各 $x\in U\cap V$ についてこのような $B_x$ を選べば $U\cap V=\bigcup_{x\in U\cap V}B_x$ となり、$U\cap V\in\mathcal{O}(\mathcal{B})$ である。三つ以上の有限個の交わりは個数についての帰納法による。
以上で $\mathcal{O}(\mathcal{B})$ は位相である。各 $B\in\mathcal{B}$ は一元族 $\{B\}$ の合併だから $\mathcal{B}\subset\mathcal{O}(\mathcal{B})$ であり、$\mathcal{O}(\mathcal{B})$ の元はすべて $\mathcal{B}$ の元の合併だから、def-base により $\mathcal{B}$ は $\mathcal{O}(\mathcal{B})$ の開基である。
一意性と最小性：$\mathcal{B}$ を開基とする位相 $\mathcal{O}$ があれば、$\mathcal{O}$ の元はすべて $\mathcal{B}$ の元の合併だから $\mathcal{O}\subset\mathcal{O}(\mathcal{B})$ であり、逆に $\mathcal{O}$ は $\mathcal{B}$ を含み合併で閉じているから $\mathcal{O}(\mathcal{B})\subset\mathcal{O}$ である。よって $\mathcal{O}=\mathcal{O}(\mathcal{B})$ である。また $\mathcal{B}$ を含む任意の位相は合併で閉じているから $\mathcal{O}(\mathcal{B})$ 全体を含む。よって $\mathcal{O}(\mathcal{B})$ は $\mathcal{B}$ を含む最小の位相である。$\square$

直感

位相空間のすべての開集合を列挙するのは一般に手に負えないが、多くの空間では、少数の扱いやすい開集合（開区間・開球など）だけを指定すれば、残りの開集合はそれらの合併としてすべて得られる。開基とは、この「合併だけで位相全体を組み立てられる基本部品の在庫」である。線形代数のベクトル空間の基底と名前が似ているが、ベクトル空間の基底が有限個の線形結合で全体を張るのに対し、開基は任意個の合併で位相を張り、独立性や極小性は要求されない。開基は、既にある位相を解析する道具（開集合についての議論を開基の元だけで済ませる）としても、位相を定義する道具（距離空間の位相・積位相・Sorgenfrey直線など）としても使われる。

例と反例

実数直線と開区間

$\mathbb{R}$ の通常の位相において、開区間の族
$$ \mathcal{B}=\{(a,b)\mid a,b\in\mathbb{R},\ a< b\} $$
は開基である。実際、通常の位相の開集合 $U$ と $x\in U$ に対し $(x-\varepsilon,x+\varepsilon)\subset U$ となる $\varepsilon>0$ が取れるので、prop-base-pointwise の条件 2 が成り立つ。
さらに、端点を有理数に限った可算族 $\{(p,q)\mid p,q\in\mathbb{Q},\ p< q\}$ も同じ位相の開基である（$x\in U$ に対し $x-\varepsilon< p< x< q< x+\varepsilon$ なる有理数 $p,q$ を取ればよい）。高々可算な開基を持つ空間は第2可算公理を満たすといい、$\mathbb{R}$ はその代表例である。同じ位相が大きさの異なる複数の開基を持ち得る。

距離空間と開球

距離空間 $(X,d)$ において、開球の族
$$ \mathcal{B}=\{B(x,r)\mid x\in X,\ r>0\},\qquad B(x,r):=\{y\in X\mid d(x,y)< r\} $$
は (B1), (B2) を満たす。(B1) は $x\in B(x,1)$ から明らかである。(B2)：$x\in B(x_1,r_1)\cap B(x_2,r_2)$ とし、$r:=\min\{r_1-d(x_1,x),\ r_2-d(x_2,x)\}>0$ とおくと、三角不等式により $B(x,r)\subset B(x_1,r_1)\cap B(x_2,r_2)$ である。したがって $\mathcal{B}$ はある位相を生成し、これが距離空間の位相（距離位相）の標準的な定義である。半径を $1/n$（$n\in\mathbb{Z}_{>0}$）に限った族も同じ位相の開基である。
Euclid 空間 $\mathbb{R}^n$ では、開直方体（開区間の直積）の全体 $\{(a_1,b_1)\times\cdots\times(a_n,b_n)\}$ も通常の位相の開基である。開球と開直方体は互いに内接させられるので同じ位相を生成する（prop-base-comparison 参照）。

離散位相と密着位相

集合 $X$ 上の離散位相（すべての部分集合が開）に対しては、一点集合の族 $\{\{x\}\mid x\in X\}$ が開基である。どんな部分集合も一点集合の合併だからである。一方、密着位相 $\{\emptyset,X\}$ の開基は $\{X\}$ で与えられる。位相自身 $\mathcal{O}$ は常に自分の開基であるから、開基の存在自体は自明であり、意味があるのは「小さい」あるいは「扱いやすい」開基を見つけることである。

半開区間の族

$\mathbb{R}$ 上で半開区間の族 $\mathcal{B}=\{[a,b)\mid a< b\}$ を考えると、(B1) は明らかで、二つの半開区間の交わりは空か再び半開区間なので (B2) も成り立つ。よって $\mathcal{B}$ はある位相を生成する。これが Sorgenfrey直線（下限位相）の位相であり、通常の位相より真に細かい（Mun00 §13）。同じ台集合 $\mathbb{R}$ でも、開基の選び方によって異なる位相が得られる。

反例：閉区間の族

$\mathbb{R}$ 上の閉区間の族 $\mathcal{C}=\{[a,b]\mid a< b\}$ は、(B1) を満たすが (B2) を満たさない。実際 $[0,1]\cap[1,2]=\{1\}$ であり、$a< b$ である閉区間 $[a,b]$ で $\{1\}$ に含まれるものは存在しないから、$x=1$ に対して交わり条件が破れる。したがって thm-base-generation により、$\mathcal{C}$ を開基とする $\mathbb{R}$ 上の位相は存在しない。この例は「$X$ を覆う族はつねに何らかの位相の開基になる」という含意を破る。もちろん $\mathcal{C}$ は通常の位相の開基でもない。閉区間は通常の位相で開集合でないからである。なお、(B2) を満たさない族からでも、補足で述べる準開基としてなら位相を生成できる。

性質

開基による位相の比較

$X$ 上の二つの族 $\mathcal{B},\mathcal{B}'$ がそれぞれ位相 $\mathcal{O},\mathcal{O}'$ の開基であるとする。このとき次は同値である。

$\mathcal{O}\subset\mathcal{O}'$（$\mathcal{O}'$ は $\mathcal{O}$ より細かい）。
任意の $B\in\mathcal{B}$ と任意の $x\in B$ に対して、$x\in B'\subset B$ を満たす $B'\in\mathcal{B}'$ が存在する。
特に、$\mathcal{B}$ と $\mathcal{B}'$ が互いにこの条件を満たすとき、かつそのときに限り $\mathcal{O}=\mathcal{O}'$ である。

$1\Rightarrow 2$：$B\in\mathcal{B}$ とすると $B\in\mathcal{O}\subset\mathcal{O}'$ である。$\mathcal{B}'$ は $\mathcal{O}'$ の開基だから、prop-base-pointwise の条件 2 により、各 $x\in B$ に対して $x\in B'\subset B$ となる $B'\in\mathcal{B}'$ が存在する。
$2\Rightarrow 1$：$U\in\mathcal{O}$ と $x\in U$ を取る。$\mathcal{B}$ は $\mathcal{O}$ の開基だから $x\in B\subset U$ となる $B\in\mathcal{B}$ があり、仮定 2 により $x\in B'\subset B\subset U$ となる $B'\in\mathcal{B}'$ がある。各 $x\in U$ についてこのような $B'_x\in\mathcal{B}'$ を選ぶと $U=\bigcup_{x\in U}B'_x$ であり、$\mathcal{B}'\subset\mathcal{O}'$ で $\mathcal{O}'$ は合併で閉じているから $U\in\mathcal{O}'$ である。最後の主張は、同値 $1\Leftrightarrow 2$ を $\mathcal{B},\mathcal{B}'$ の役割を入れ替えても適用すればよい。$\square$

たとえば $\mathbb{R}^2$ において、開円板の族と開長方形の族は互いにこの条件を満たすので、同じ位相（通常の位相）を生成する。点を含む開円板の内側にその点を含む開長方形を、開長方形の内側に開円板をそれぞれ取ればよい。開基の非一意性の典型例である。

開基による連続性の判定

$f\colon X\to Y$ を位相空間の間の写像、$\mathcal{B}$ を $Y$ の位相の開基とする。このとき $f$ が連続写像であることと、任意の $B\in\mathcal{B}$ に対して $f^{-1}(B)$ が $X$ の開集合であることは同値である。

$f$ が連続なら、開基の元は特に開集合だから逆像は開である。
逆に、すべての $B\in\mathcal{B}$ について $f^{-1}(B)$ が開だとする。$V$ を $Y$ の任意の開集合とすると、$\mathcal{B}$ は開基だから $V=\bigcup_{B\in\mathcal{B}'}B$ となる $\mathcal{B}'\subset\mathcal{B}$ が取れる。逆像は合併と可換なので
$$ f^{-1}(V)=f^{-1}\Bigl(\bigcup_{B\in\mathcal{B}'}B\Bigr)=\bigcup_{B\in\mathcal{B}'}f^{-1}(B) $$
であり、開集合の合併として $f^{-1}(V)$ は開である。よって $f$ は連続である。$\square$

この命題により、たとえば $f\colon X\to\mathbb{R}$ の連続性は「開区間の逆像が開」だけ確かめれば十分になる。なお、像も合併と可換だから、定義域 $X$ の開基の各元の像がすべて開であれば $f$ は開写像である。定義域の開基で判定できるのは開写像性であり、連続性の判定に使うのは値域側の開基である。

積空間の開基

$X,Y$ を位相空間とし、$\mathcal{B}_X,\mathcal{B}_Y$ をそれぞれの開基とする。直積集合 $X\times Y$ 上で、族 $\{U\times V\mid U\text{ は }X\text{ の開集合},\ V\text{ は }Y\text{ の開集合}\}$ は開基の公理を満たし、それが生成する位相を積位相という。このとき
$$ \{B\times B'\mid B\in\mathcal{B}_X,\ B'\in\mathcal{B}_Y\} $$
は積位相の開基である。

まず開集合の直積の族が開基の公理を満たすことを確かめる。$X\times Y$ 自身が成員なので (B1) が成り立つ。$(U_1\times V_1)\cap(U_2\times V_2)=(U_1\cap U_2)\times(V_1\cap V_2)$ は再び成員なので (B2) も成り立つ（$B_3$ として交わり自身を取ればよい）。よって thm-base-generation により積位相が定まる。
次に $\mathcal{B}:=\{B\times B'\mid B\in\mathcal{B}_X,\ B'\in\mathcal{B}_Y\}$ を考える。開基の元は開集合なので $\mathcal{B}$ の各成員は積位相の開集合である。$W$ を積位相の開集合、$(x,y)\in W$ とする。$W$ は開集合の直積の合併だから、$(x,y)\in U\times V\subset W$ となる $X$ の開集合 $U$ と $Y$ の開集合 $V$ がある。$\mathcal{B}_X,\mathcal{B}_Y$ が開基なので $x\in B\subset U$、$y\in B'\subset V$ となる $B\in\mathcal{B}_X$、$B'\in\mathcal{B}_Y$ が取れ、$(x,y)\in B\times B'\subset U\times V\subset W$ である。prop-base-pointwise により $\mathcal{B}$ は積位相の開基である。$\square$

補足

準開基

開基の公理（特に (B2)）は少し厳しい場合がある。これを緩めた概念が準開基である。

準開基の定義

位相空間 $(X,\mathcal{O})$ の開集合の族 $\mathcal{S}\subset\mathcal{O}$ が $\mathcal{O}$ の準開基（subbase, subbasis）であるとは、$\mathcal{S}$ の有限個の元の共通部分の全体（$X$ 自身を空な共通部分として含める）が $\mathcal{O}$ の開基であることをいう。

任意の族は準開基として位相を生成する

$X$ を集合、$\mathcal{S}$ を $X$ の部分集合の任意の族とし、$\mathcal{B}_{\mathcal{S}}$ を $\mathcal{S}$ の有限個の元の共通部分の全体（$X$ を含める）とする。このとき $\mathcal{B}_{\mathcal{S}}$ は開基の公理を満たし、それが生成する位相 $\mathcal{O}(\mathcal{B}_{\mathcal{S}})$ は $\mathcal{S}$ を含む最小の位相である。したがって $\mathcal{S}$ はこの位相の準開基である。

$X\in\mathcal{B}_{\mathcal{S}}$ なので (B1) が成り立つ。$\mathcal{B}_{\mathcal{S}}$ の二つの元 $S_1\cap\cdots\cap S_m$ と $S'_1\cap\cdots\cap S'_n$ の共通部分は $S_1\cap\cdots\cap S_m\cap S'_1\cap\cdots\cap S'_n$ で再び $\mathcal{B}_{\mathcal{S}}$ の元だから、(B2) は交わり自身を $B_3$ に取れば成り立つ。よって thm-base-generation により $\mathcal{O}(\mathcal{B}_{\mathcal{S}})$ は位相であり、$\mathcal{S}\subset\mathcal{B}_{\mathcal{S}}\subset\mathcal{O}(\mathcal{B}_{\mathcal{S}})$ である。$\mathcal{S}$ を含む任意の位相は有限交叉と合併で閉じているから $\mathcal{B}_{\mathcal{S}}$ を含み、したがって $\mathcal{O}(\mathcal{B}_{\mathcal{S}})$ を含む。最小性が従う。$\square$

たとえば $\mathbb{R}$ において、半直線 $(-\infty,a)$ と $(b,\infty)$（$a,b\in\mathbb{R}$）の全体は通常の位相の準開基である。二つの共通部分として開区間 $(b,a)$ が得られるため、有限交叉全体は開区間全体・半直線・$\mathbb{R}$・$\emptyset$ からなり、これは通常の位相の開基である。詳細は準開基を参照。

各点版：近傍基

開基が空間全体の開集合を近似する族であるのに対し、一点 $x$ の周りだけで開集合を近似する族が近傍基（$x$ の基本近傍系、近傍系の部分族）である。$\mathcal{B}$ が開基なら、各点 $x$ について $\{B\in\mathcal{B}\mid x\in B\}$ は $x$ の開近傍からなる近傍基であり、逆に各点の開近傍からなる近傍基をすべての点について束ねると開基が得られる。各点が高々可算な近傍基を持つことが第1可算公理、空間が高々可算な開基を持つことが第2可算公理である。

可算な開基

高々可算な開基を持つ空間（第2可算空間）は、解析学で扱う多くの空間を含み、著しく良い性質を持つ。第2可算空間では任意の開被覆が高々可算な部分被覆を持ち（Lindelöf 性。証明は開被覆を参照）、また可算な稠密部分集合を持つ（可分空間。空でない各開基の元から一点ずつ選べば、稠密な可算集合が得られる。Mun00 §30）。距離空間では第2可算・Lindelöf・可分の三条件が同値になる（Mun00 §30、Engelking89 §4.1）。より一般に、開基の最小濃度は空間の重み（weight）と呼ばれる位相不変量である（Engelking89 §1.1）。

用語と流儀の注意

「開基」の代わりに「基底」あるいは英語のまま base／basis と呼ぶ文献も多い（Mat68 第4章）。本記事は「位相が先にあり、開基はその部分族」という流儀で定義した。一方、(B1), (B2) を満たす族自体を basis と呼び、位相を後から $\mathcal{O}(\mathcal{B})$ として定義する流儀もある（Mun00 §13）。どちらの流儀でも、thm-base-generation により生成される位相と開基の関係は一致する。