有限体上の楕円曲線

$c\in\bar{\mathbb{F}}_q$ が $\mathbb{F}_{q^n}$ に属することは $c^{q^n}=c$ と同値である（$\mathbb{F}_{q^n}$ は $X^{q^n}-X$ の根の全体）。よって $O$ でない点 $P=(x_0,y_0)$ について、$P\in E(\mathbb{F}_{q^n})$ は $\phi^n(P)=(x_0^{q^n},y_0^{q^n})=P$、すなわち $(1-\phi^n)(P)=O$ と同値である。$O$ はどちらの集合にも入る。$E$ は $\mathbb{F}_{q^n}$ 上でも定義されていて、$\phi^n$ はその $q^n$ 乗 Frobenius 写像なので、不変微分(楕円曲線) の系「整数倍写像と Frobenius 写像の分離性」の 3 を、$\mathbb{F}_{q^n}$ 上の Frobenius 写像 $\phi^n$ と係数 $1$、$-1$ に当てると（$1+(-1)\cdot\phi^n=1-\phi^n$）、$1-\phi^n$ は分離的である。不変微分 $\omega$ について $(1-\phi^n)^*\omega=\omega\neq0$ なので $1-\phi^n\neq0$ である。$0$ でない分離的な同種写像の核の位数は次数に等しい（Sil09 Theorem III.4.10 (c)、p. 72）。$\square$

$n=0$、$m=1$ とすると $A\ge0$ である。$A=0$ なら、$n=1$ として $Bm+C\ge0$ がすべての整数 $m$ で成り立つので $B=0$ であり、$B^2=0=4AC$ である。$A>0$ なら $m=-B$、$n=2A$ とおくと
$$ AB^2-2AB^2+4A^2C=A(4AC-B^2)\ge0 $$
なので $B^2\le4AC$ である。$\square$

自己準同型環 $\operatorname{End}(E)$ の上の写像 $\deg$ は 2 次形式である。すなわち $\deg(-\psi)=\deg\psi$ で、$\langle\psi,\chi\rangle:=\deg(\psi+\chi)-\deg\psi-\deg\chi$ は双線型である（Sil09 Corollary III.6.3、p. 85。双対同種写像 $\hat\psi$ を使うと $\langle\psi,\chi\rangle=\hat\psi\chi+\hat\chi\psi$ と表せることによる）。$\langle\psi,-\psi\rangle=\deg0-2\deg\psi$ と双線型性から $\langle\psi,\psi\rangle=2\deg\psi$ なので、$\deg\psi=\frac12\langle\psi,\psi\rangle$ を展開して、整数 $m,n$ について
$$ \deg(m+n\phi)=m^2\deg[1]+mn\langle1,\phi\rangle+n^2\deg\phi=m^2+bmn+qn^2\qquad(b:=\langle1,\phi\rangle) $$
を得る。$m=1$、$n=-1$ とすると、lem-ffec-kernel により $\#E(\mathbb{F}_q)=\deg(1-\phi)=1-b+q$ なので $b=a$ である。次数は $0$ 以上なので $m^2+amn+qn^2\ge0$ がすべての整数 $m,n$ で成り立ち、lem-ffec-discriminant により $a^2\le4q$、すなわち $\lvert a\rvert\le2\sqrt q$ である。$\square$

$f$ の主係数を $c$ とし、$x=X/c$、$y=Y/c$ と置き換えて $c^2$ を掛けると Weierstrass 方程式 $Y^2=X^3+\cdots$ になる。その判別式は $f$ の判別式の $0$ でない定数倍なので、$E$ は楕円曲線である。各 $x\in\mathbb{F}_q$ の上の点 $(x,y)$ の個数は、$f(x)$ が $0$ なら $1$、$0$ でない平方なら $2$、平方でなければ $0$ で、いずれも $1+\chi(f(x))$ に等しい。無限遠点を加えて $\#E(\mathbb{F}_q)=1+\sum_x(1+\chi(f(x)))$ となる。後半は thm-ffec-hasse による。$\square$

$\ell\neq p$ を素数とし、$\psi\in\operatorname{End}(E)$ が Tate加群 $T_\ell(E)\cong\mathbb{Z}_\ell^2$ に引き起こす写像を $\psi_\ell$ とする。このとき $\det\psi_\ell=\deg\psi$、$\operatorname{tr}\psi_\ell=1+\deg\psi-\deg(1-\psi)$ である（Sil09 Proposition III.8.6、p. 99）。$\psi=\phi$ とすると、lem-ffec-kernel により $\det\phi_\ell=q$、$\operatorname{tr}\phi_\ell=1+q-\#E(\mathbb{F}_q)=a$ で、$\phi_\ell$ の特性多項式は $T^2-aT+q$ である。
1：Cayley–Hamilton の定理により $\phi_\ell^2-a\phi_\ell+q=0$ なので、$\psi:=\phi^2-a\phi+q$ について $\deg\psi=\det\psi_\ell=0$、すなわち $\psi=0$ である。
2：thm-ffec-hasse により $T^2-aT+q$ の判別式 $a^2-4q$ は $0$ 以下なので、2 根は互いに複素共役か、実数の重根である。どちらでも $\lvert\alpha\rvert=\lvert\beta\rvert$ で、$\alpha\beta=q$ から $\lvert\alpha\rvert=\lvert\beta\rvert=\sqrt q$ である。
3：$\bar{\mathbb{Q}}_\ell$ 上で $\phi_\ell$ を三角化すると対角成分は $T^2-aT+q$ の 2 根であり（$\mathbb{C}$ の根と同じ代数的数を $\bar{\mathbb{Q}}_\ell$ の中で見る）、$1-\phi_\ell^n$ の対角成分は $1-\alpha^n$、$1-\beta^n$ になる。lem-ffec-kernel と上の式から
$$ \#E(\mathbb{F}_{q^n})=\deg(1-\phi^n)=\det(1-\phi_\ell^n)=(1-\alpha^n)(1-\beta^n)=1-\alpha^n-\beta^n+q^n $$
である。漸化式は $\alpha^2=a\alpha-q$、$\beta^2=a\beta-q$ に $\alpha^{n-1}$、$\beta^{n-1}$ を掛けて足せば得られる。$\square$

$\psi\colon E\to E'$ を同種写像、$\phi,\phi'$ を $E,E'$ の $q$ 乗 Frobenius 自己準同型とする。$\psi$ は $\mathbb{F}_q$ 係数の有理式で与えられるので、座標を $q$ 乗してから $\psi$ を当てても、$\psi$ を当ててから $q$ 乗しても同じであり、$\psi\circ\phi=\phi'\circ\psi$ である。よって $\psi\circ(1-\phi)=(1-\phi')\circ\psi$ で、次数は合成で積になるので $\deg\psi\cdot\deg(1-\phi)=\deg(1-\phi')\cdot\deg\psi$ である。$\deg\psi\neq0$ で割り、lem-ffec-kernel を使えばよい。$\square$

$E(\mathbb{F}_q)$ は有限アーベル群なので、各素数 $\ell$ の部分 $E(\mathbb{F}_q)_\ell$ の直和である。$\ell\neq p$ なら、$E(\mathbb{F}_q)_\ell$ はある $k$ について $E[\ell^k]\cong(\mathbb{Z}/\ell^k)^2$ の部分群なので（楕円曲線 の定理「$n$ 捩れ点の構造」の 2）、高々 2 個の巡回群の直和である。$\ell=p$ なら $E[p^k]$ は巡回群か $0$ なので（同定理の 3）、$E(\mathbb{F}_q)_p$ は巡回群である。各素数の部分の巡回因子を大きい順に組み合わせると（有限アーベル群の基本定理）、$E(\mathbb{F}_q)\cong\mathbb{Z}/n_1\times\mathbb{Z}/n_2$、$n_1\mid n_2$ と書け、$p$ 部分は 1 個の巡回群なので $n_2$ にだけ入って $p\nmid n_1$ である。
$E(\mathbb{F}_q)$ は $(\mathbb{Z}/n_1)^2$ と同型な部分群を含み、その元はすべて $n_1$ 倍で $O$ になる。$p\nmid n_1$ より $\#E[n_1]=n_1^2$ なので、この部分群は $E[n_1]$ に一致し、$E[n_1]\subset E(\mathbb{F}_q)$ である。Weil対 の系「1 の冪根の有理性」により $\mu_{n_1}\subset\mathbb{F}_q$ である。$\mu_{n_1}$ は $n_1$ 個の元をもつ $\mathbb{F}_q^\times$ の部分群なので、$n_1\mid q-1$ である。$\square$