写像トーラス
概要
写像トーラス（mapping torus）とは、連続写像 $f\colon X\to X$ に対し、柱 $X\times[0,1]$ の点 $(x,1)$ と $(f(x),0)$ を同一視した商空間 $T_f$ のことである。恒等写像なら直積 $X\times S^1$、円周の反転なら Klein の壺、区間の反転なら Möbius の帯になり、$f$ が同相写像なら $T_f$ は円周の上の $X$ をファイバーとするファイバー束である。ホモロジーは $1-f_*$ を含む長完全列で $X$ のホモロジーと $f_*$ から計算でき、$X$ が 2 つの円周の一点和で $f$ が基点を保つときは、基本群が $t$ による共役で $f_*$ を実現する関係式で表示される。
前提知識: 商空間(位相), 特異ホモロジー, Mayer–Vietoris完全列, 基本群
空間 $X$ からそれ自身への連続写像 $f$ の写像トーラス $T_f$ は、柱 $X\times[0,1]$ の上の端を $f$ でねじって下の端に貼り付けた空間である。$f$ が恒等写像なら直積 $X\times S^1$ になり、円周の反転なら Kleinの壺、区間の反転なら Möbiusの帯 になる。$f$ が同相写像なら $T_f$ は円周の上の $X$ をファイバーとするファイバー束であり、円周を一周するとファイバーが $f$ だけねじれる。
$T_f$ のホモロジーは、$X$ のホモロジーと $f$ の誘導写像 $f_*$ だけで計算できる。主定理は $1-f_*$ を含む長完全列であり、この記事では Mayer–Vietoris 完全列から証明する。基本群についても、$X$ が 2 つの円周のウェッジ和で $f$ が基点を保つとき、$f_*$ による共役の関係式で表示が書ける。
定義
$I=[0,1]$ とし、$S^1\subset\mathbb{C}$ を単位円周とする。
位相空間 $X$ と連続写像 $f\colon X\to X$ に対し、$X\times I$ を $(x,1)\sim(f(x),0)$（$x\in X$）で割った商空間(位相)
$$
T_f:=(X\times I)\big/\bigl((x,1)\sim(f(x),0)\bigr)
$$
を $f$ の写像トーラス（mapping torus）という。商写像を $q$、点 $q(x,t)$ を $[x,t]$ と書く。$\pi\colon T_f\to S^1$ を $\pi([x,t]):=e^{2\pi it}$、$\iota\colon X\to T_f$ を $\iota(x):=[x,0]$ で定め、$\iota$ をファイバーの包含という。
$\pi$ は同一視と両立するので連続であり、$\pi^{-1}(1)=\iota(X)$ である。Hat02 Example 2.48（p. 151）は $(x,0)\sim(f(x),1)$ と貼る。$t\mapsto1-t$ で 2 つの空間は同相になる。
写像柱 $M_f$（$f\colon X\to X$ を $X$ から $X$ への写像とみる）の 2 つの端を $i(x)\sim j(x)$ で同一視した空間は $T_f$ と同相である。柱の点 $q(x,t)$ を $[x,t]$ に、値域の端の点 $j(y)$ を $[y,0]$ に送ればよく、同一視 $(x,1)\sim f(x)$ と $i(x)\sim j(x)$ をあわせると、ちょうど $(x,1)\sim(f(x),0)$ になる。
- $X$ がコンパクトなら $T_f$ もコンパクトである。
- $X$ が Hausdorff なら $T_f$ も Hausdorff である。
- $q$ は $X\times(0,1)$ から開集合 $q(X\times(0,1))=\pi^{-1}(S^1\setminus\{1\})$ への同相写像である。
1 は $T_f$ がコンパクト空間 $X\times I$ の像であることによる。3：$X\times(0,1)$ は飽和した開集合で、その点は自分以外と同一視されないので、そこに含まれる開集合の像は開集合であり、$q$ の制限は開集合への同相写像である。2：$\pi$ の値が異なる 2 点は $S^1$ の交わらない開集合の逆像で分離できる。$\pi$ の値が $1$ でない同じ値の 2 点は、3 により Hausdorff 空間 $X\times(0,1)$ の中で分離できる。$\iota(x)\ne\iota(x')$ なら、$X$ の交わらない開集合 $V\ni x$、$V'\ni x'$ をとり、$W:=q\bigl(V\times[0,\tfrac12)\cup f^{-1}(V)\times(\tfrac12,1]\bigr)$ とおく。$(x,1)\sim(f(x),0)$ について「$x\in f^{-1}(V)$ と $f(x)\in V$」は同値なので $W$ の逆像はこの開集合そのもので、$W$ は開集合である。$V'$ から同様に作った $W'$ と $W$ は交わらない。$\square$
例
- 恒等写像：$T_{\mathrm{id}}$ は $X\times S^1$ と同相である（$[x,t]\mapsto(x,e^{2\pi it})$。逆写像の連続性は prop-mt-bundle の証明の局所的な逆写像による）。$X=S^1$ ならトーラスである。
- 区間の反転：$X=[-1,1]$、$f(\tau)=-\tau$ のとき、$T_f$ は Möbiusの帯 の記事の定義の $([0,1]\times[-1,1])/\bigl((0,\tau)\sim(1,-\tau)\bigr)$ と、座標を入れ替える写像 $[\tau,t]\mapsto[t,\tau]$ で同相である。
- 円周の反転：$X=S^1$、$\rho(z)=\bar z$ のとき、$T_\rho$ は Klein の壺である（Kleinの壺 の記事の定理「Klein の壺の 3 つの模型」の 2。$\rho$ は対合なので貼る向きの違いは問題にならない）。
- 回転：$X=S^1$ で $f$ が回転 $z\mapsto e^{2\pi i\theta}z$ のとき、$[z,t]\mapsto(e^{2\pi i\theta t}z,e^{2\pi it})$ により $T_f$ はトーラスと同相である。
$f$ が同相写像なら、$\pi\colon T_f\to S^1$ は $X$ をファイバーとするファイバー束である。
$U_1:=S^1\setminus\{1\}$ の上では、prop-mt-topology の 3 により $X\times(0,1)\to\pi^{-1}(U_1)$、$(x,t)\mapsto[x,t]$ が $\pi$ と両立する同相写像である（$(0,1)\cong U_1$ は $t\mapsto e^{2\pi it}$）。$U_2:=S^1\setminus\{-1\}=\{e^{2\pi it}\mid -\tfrac12< t<\tfrac12\}$ の上では
$$
\psi\colon X\times(-\tfrac12,\tfrac12)\to\pi^{-1}(U_2),\qquad\psi(x,t):=\begin{cases}[x,t]&(t\ge0),\\ [f^{-1}(x),\,1+t]&(t\le0)\end{cases}
$$
とおく。$t=0$ では $[f^{-1}(x),1]=[x,0]$ なので矛盾なく定まり、2 つの閉集合の上で連続なので連続である。逆写像は $\psi^{-1}([x,t])=(x,t)$（$0\le t<\tfrac12$）、$\psi^{-1}([x,t])=(f(x),t-1)$（$\tfrac12< t\le1$）で、$[x,1]=[f(x),0]$ の両側で値 $(f(x),0)$ が一致する。$q$ の飽和した開集合 $X\times\bigl([0,\tfrac12)\cup(\tfrac12,1]\bigr)$ への制限は $\pi^{-1}(U_2)$ への商写像なので、$\psi^{-1}$ は連続である。$\pi\circ\psi(x,t)=e^{2\pi it}$ なので、$\psi$ は $U_2$ の上の局所自明化である。$\square$
$f$ が恒等写像のときは、$U_1$、$U_2$ の上の局所自明化が重なりの上で一致し、大域的な同相写像 $T_{\mathrm{id}}\cong X\times S^1$ になる。一般の同相写像 $f$ では、2 つの局所自明化は $U_1\cap U_2$ の一方の成分で $f$ だけずれる。このずれが束のねじれである。
$X$ が CW複体 なら、$T_f$ のホモトピー型は $f$ のホモトピー類だけで決まる。すなわち $f\simeq g$ なら、$T_f$ と $T_g$ はホモトピー同値である。$T_f$ は $X$ に $X\times I$ を、$X\times\{0,1\}$ の上の写像 $(x,0)\mapsto x$、$(x,1)\mapsto f(x)$ で貼り付けた空間であり、$(X\times I,X\times\{0,1\})$ は CW 対で、貼り付ける写像はホモトピックだからである（Hat02 Proposition 0.18, p. 16。この記事では証明しない）。とくに $f\simeq\mathrm{id}$ なら $T_f\simeq X\times S^1$ である。
主定理：ホモロジーの長完全列
位相空間 $X$ と連続写像 $f\colon X\to X$ について、整数係数のホモロジーの完全列
$$
\cdots\to H_n(X)\xrightarrow{1-f_*}H_n(X)\xrightarrow{\iota_*}H_n(T_f)\xrightarrow{\partial}H_{n-1}(X)\xrightarrow{1-f_*}H_{n-1}(X)\to\cdots\to H_0(X)\xrightarrow{1-f_*}H_0(X)\xrightarrow{\iota_*}H_0(T_f)\to0
$$
がある。ここで $\iota$ はファイバーの包含である。
$1-f_*$ の核と余核で書き直すと、各 $n$ について短完全列
$$
0\to\operatorname{coker}\bigl(1-f_*\colon H_n(X)\to H_n(X)\bigr)\xrightarrow{\iota_*}H_n(T_f)\to\ker\bigl(1-f_*\colon H_{n-1}(X)\to H_{n-1}(X)\bigr)\to0
$$
が得られる。$\iota_*$ の像は「$f$ で動かしても同じ類とみなされる」ファイバーの類、右端は「$f$ で動かない」類が円周の方向に掃く類である。
段 1：開被覆。 $U:=q\bigl(X\times(0,1)\bigr)$、$V:=q\bigl(X\times([0,\tfrac13)\cup(\tfrac23,1])\bigr)$ とおく。どちらも飽和した開集合の像なので開集合で、$U\cup V=T_f$、$U\cap V=q\bigl(X\times(0,\tfrac13)\bigr)\sqcup q\bigl(X\times(\tfrac23,1)\bigr)$ である。prop-mt-topology の 3 により、$U\cong X\times(0,1)$、$U\cap V$ の 2 つの成分はそれぞれ $X\times(0,\tfrac13)$、$X\times(\tfrac23,1)$ と同相である。
段 2：各項を $H_n(X)$ で書く。 次の写像を使う。
$$
e_1(x):=[x,\tfrac16],\quad e_2(x):=[x,\tfrac56]\quad(X\to U\cap V),\qquad u(x):=[x,\tfrac12]\quad(X\to U),\qquad\iota\colon X\to V .
$$
$e_1,e_2,u$ は直積の一つの切り口の包含なので、$e_{1*}\oplus e_{2*}\colon H_n(X)\oplus H_n(X)\to H_n(U\cap V)$ と $u_*\colon H_n(X)\to H_n(U)$ は同型である。$\iota\colon X\to V$ もホモトピー同値である。実際、$\nu\colon V\to X$ を $\nu([x,t]):=x$（$t<\tfrac13$）、$\nu([x,t]):=f(x)$（$t>\tfrac23$）とすると、$[x,1]=[f(x),0]$ の両側で値 $f(x)$ が一致して連続であり、$\nu\circ\iota=\mathrm{id}_X$ である。さらに
$$
W([x,t],s):=\begin{cases}[x,(1-s)t]&(t<\tfrac13),\\ [x,t+s(1-t)]&(t>\tfrac23)\end{cases}
$$
は継ぎ目 $[x,1]=[f(x),0]$ で矛盾なく定まり（$I$ は局所コンパクトなので商写像と $I$ の積は商写像であり、連続。Hat02 Proposition A.17, p. 532）、$W_0=\mathrm{id}_V$、$W_1=\iota\circ\nu$ を満たす（$t>\tfrac23$ では $W_1([x,t])=[x,1]=\iota(f(x))$）。
段 3：Mayer–Vietoris 完全列の写像。 Mayer–Vietoris完全列 の記事の定理「Mayer–Vietoris 完全列」を $T_f=U\cup V$ に使う（$\Phi(w)=(w,-w)$、$\Psi(y,z)=y+z$）。$U$ の中では $e_1,e_2$ はどちらも $u$ にホモトピックである（$t$ を $\tfrac12$ へ動かす）。$V$ の中では $e_1$ は $\iota$ に（$t$ を $0$ へ）、$e_2$ は $\iota\circ f$ に（$t$ を $1$ へ動かし $[x,1]=\iota(f(x))$）ホモトピックである。$T_f$ の中では $u\simeq\iota$ である。したがって段 2 の同型で項を取り替えると、
$$
\Phi(a,b)=\bigl(a+b,\ -a-f_*b\bigr),\qquad\Psi(y,z)=\iota_*(y+z)\qquad(a,b,y,z\in H_n(X))
$$
となる。
段 4：基底の取り替え。 $H_n(X)^{\oplus2}$ の自己同型 $\lambda(a,b):=(a+b,b)$、$\mu(y,z):=(y,y+z)$ をとると、$c:=a+b$ として
$$
\mu\circ\Phi\circ\lambda^{-1}(c,b)=\mu\bigl(c,\ -c+(1-f_*)b\bigr)=\bigl(c,\ (1-f_*)b\bigr),\qquad\Psi\circ\mu^{-1}(y,z)=\iota_*(z)
$$
である。自己同型で項を取り替えても完全性は保たれるので、Mayer–Vietoris 完全列は
$$
\cdots\to A\oplus C\xrightarrow{\mathrm{id}\oplus(1-f_*)}A\oplus D\xrightarrow{(0,\ \iota_*)}H_n(T_f)\xrightarrow{\partial'}A'\oplus C'\xrightarrow{\mathrm{id}\oplus(1-f_*)}\cdots
$$
の形の完全列になる（$A=C=D=H_n(X)$、$A'=C'=H_{n-1}(X)$、$\partial'=\lambda\circ\partial$）。
段 5：直和因子を落とす。 この列から $C\xrightarrow{1-f_*}D\xrightarrow{\iota_*}H_n(T_f)\xrightarrow{\mathrm{pr}_{C'}\circ\partial'}C'\xrightarrow{1-f_*}\cdots$ が完全であることを確かめる。$D$ で：$\iota_*(d)=0$ は $(0,d)\in\operatorname{im}(\mathrm{id}\oplus(1-f_*))=A\oplus\operatorname{im}(1-f_*)$ と同値で、$d\in\operatorname{im}(1-f_*)$ と同値である。$H_n(T_f)$ で：$\Psi'=(0,\iota_*)$ なので像は $\iota_*$ の像に等しい。$\mathrm{pr}_{C'}\partial'(e)=0$ なら $\partial'(e)=(a',0)$ で、これは $\mathrm{id}\oplus(1-f_*)$ の核に入るから $a'=0$、よって $\partial'(e)=0$ で $e$ は $\iota_*$ の像に入る。逆は $\partial'\circ\Psi'=0$ から従う。$C'$ で：$(1-f_*)(c)=0$ なら $(0,c)$ は核に入るので $\partial'$ の像に入り、$c=\mathrm{pr}_{C'}\partial'(e)$ となる。逆に $\partial'(e)=(a',c)$ が核に入れば $(1-f_*)(c)=0$ である。末尾も同じで、Mayer–Vietoris 完全列の $H_0(T_f)\to0$ から $\iota_*$ は $H_0$ で全射である。こうして主張の列が得られる（$\partial:=\mathrm{pr}_{C'}\circ\partial'$ と書き直す）。$\square$
Hat02 Example 2.48（pp. 151–152）は、$X\times I$ の両端を $Y$ に 2 つの写像 $f,g$ で貼った空間について、対 $(X\times I,X\times\partial I)$ との比較から $f_*-g_*$ の完全列を導き、$f=\mathrm{id}$ の場合として写像トーラスを扱っている。
$f_*\colon H_n(X)\to H_n(X)$ がすべての $n$ で恒等写像で、$H_{n-1}(X)$ が自由アーベル群なら、$H_n(T_f)\cong H_n(X)\oplus H_{n-1}(X)$ である。
$1-f_*=0$ なので、短完全列 $0\to H_n(X)\to H_n(T_f)\to H_{n-1}(X)\to0$ が得られる。右端が自由アーベル群なので分裂する（自由アーベル群 の記事の命題「自由アーベル群への全射は分裂する」）。$\square$
計算例
thm-mt-les の短完全列から次の表が得られる。$H_0(T_f)\cong\mathbb{Z}$ はどの行でも同じなので省く。
| $X$ と $f$ | $f_*$ | $H_1(T_f)$ | $H_2(T_f)$ | $H_3(T_f)$ |
|---|---|---|---|---|
| $S^1$、恒等写像 | $H_1$ で $1$ | $\mathbb{Z}^2$ | $\mathbb{Z}$ | $0$ |
| $S^1$、反転 $\rho$ | $H_1$ で $-1$ | $\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}/2$ | $0$ | $0$ |
| $S^2$、反転 | $H_2$ で $-1$ | $\mathbb{Z}$ | $\mathbb{Z}/2$ | $0$ |
| $S^2$、写像度 $2$ の写像 | $H_2$ で $2$ | $\mathbb{Z}$ | $0$ | $0$ |
表の計算を開く
$H_0(X)=\mathbb{Z}$ の上では $f_*=1$ なので $1-f_*=0$ で、核と余核はともに $\mathbb{Z}$ である。$H_0(T_f)\cong\operatorname{coker}=\mathbb{Z}$、$H_1(T_f)$ は $\operatorname{coker}(1-f_*\mid H_1)$ と $\ker(1-f_*\mid H_0)=\mathbb{Z}$ の拡大で、右端が自由なので直和になる。反転の写像度は $-1$ である（写像度 の記事の定理「鏡映の写像度」）。
1 行目：$H_1$ で $1-f_*=0$、核と余核は $\mathbb{Z}$。$H_1(T_f)=\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}$、$H_2(T_f)=\ker=\mathbb{Z}$。トーラスのホモロジーと一致する。2 行目：$H_1$ で $1-f_*=2$、余核 $\mathbb{Z}/2$、核 $0$。$H_1(T_\rho)=\mathbb{Z}/2\oplus\mathbb{Z}$、$H_2(T_\rho)=0$。Kleinの壺 の記事の命題「Klein の壺の Δ 複体構造とホモロジー」と一致する。3 行目：$H_1(S^2)=0$ なので $H_1(T_f)=\ker(1-f_*\mid H_0)=\mathbb{Z}$。$H_2$ で $1-f_*=2$、余核 $\mathbb{Z}/2$、核 $0$ なので $H_2(T_f)=\mathbb{Z}/2$、$H_3(T_f)=0$。4 行目：$H_2$ で $1-f_*=-1$ は同型なので、核も余核も $0$ で、$H_2(T_f)=H_3(T_f)=0$。$\square$
3 行目と 4 行目は Hat02 Exercise 30 (a)(b)（§2.2, p. 158）の写像トーラスである。4 行目の $T_f$ は円周と同じホモロジーをもつが、$f$ は恒等写像にホモトピックでない。ホモロジーは $1-f_*$ の核と余核しか見ないので、$f_*$ が恒等写像でなくても、作用の差が同型なら寄与が消える。
基本群
$X=S^1_a\vee S^1_b$ を 2 つの円周のウェッジ和、$x_0$ をその基点とし、$a,b$ を各円周を一周するループ、$\pi_1(X,x_0)$ を $a,b$ が生成する自由群とする。$f\colon X\to X$ が $f(x_0)=x_0$ を満たし、$f_*(a)=w_a$、$f_*(b)=w_b$（$a,b$ の語）とする。$t$ を $\tau\mapsto[x_0,\tau]$ が定める $T_f$ のループとすると、
$$
\pi_1(T_f,\iota(x_0))\cong\bigl\langle a,b,t\ \big|\ t^{-1}at=w_a,\ t^{-1}bt=w_b\bigr\rangle
$$
である。
要点：$T_f$ は 1 骨格「$a,b,t$ の 3 つの円周の一点和」に、$a\times I$ と $b\times I$ の 2 枚の正方形を貼った空間である。正方形の周を読むと関係式が出る。
詳しい証明を開く
$v:=\iota(x_0)$ とする。$f(x_0)=x_0$ なので $[x_0,1]=[x_0,0]=v$ であり、$t$ は $v$ を基点とするループである。$X$ はコンパクト Hausdorff なので、prop-mt-topology により $T_f$ もそうである。$G:=\iota(X)\cup q(\{x_0\}\times I)$ とおくと、$\iota$ と $\tau\mapsto[x_0,\tau]$ から、CW複体 の記事の補題「貼り付けた空間であることの確かめ方」により $G$ は $v$ に 1 胞体を 3 個（$a$、$b$、$t$）貼った空間、すなわち 3 つの円周のウェッジ和である。Seifert–van Kampenの定理 の記事の系「ウェッジ和の基本群」により $\pi_1(G,v)$ は $a,b,t$ の自由群で、$\iota_*$ は $\pi_1(X,x_0)$ をその $a,b$ が生成する部分群の上へ写す。
$a\colon[0,1]\to S^1_a$ を一周の径数づけとし、正方形 $[0,1]^2$ から $T_f$ への写像 $(s,\tau)\mapsto[a(s),\tau]$ をとる。開正方形は $q\bigl((S^1_a\setminus\{x_0\})\times(0,1)\bigr)$ へ単射に写り、周は $G$ に写る。$b$ についても同じである。同じ補題により $T_f$ は $G$ に 2 胞体を 2 個貼った空間である。正方形の周を左下の角から反時計回りにたどると、下辺は $\iota\circ a$、右辺は $t$、上辺は逆向きの $\tau=1$ の辺で $[a(s),1]=[f(a(s)),0]$ なので $\iota\circ f\circ a$ の逆、左辺は $t$ の逆である。よって接着写像は $\pi_1(G,v)$ の元 $a\,t\,w_a^{-1}t^{-1}$ を表す。2 胞体を貼ると基本群は接着写像の類が生成する正規部分群で割ったものになる（Hat02 Proposition 1.26, p. 50。この記事では証明しない）。関係式 $a\,t\,w_a^{-1}t^{-1}=1$ は $t^{-1}at=w_a$ と同値である。$\square$
関係式は「$t$ による共役が $f_*$ を実現する」ことを表す。$f_*$ が自己同型 $\phi$ なら、この群は半直積 $F_2\rtimes\mathbb{Z}$（積 $(w,k)(w',k'):=(w\,\phi^{-k}(w'),k+k')$）と同型である。実際、$a,b\mapsto(a,0),(b,0)$、$t\mapsto(1,1)$ は関係式を保ち（$(1,1)^{-1}(x,0)(1,1)=(\phi(x),0)$）、逆向きの $(w,k)\mapsto wt^k$ は関係式から出る $t^kwt^{-k}=\phi^{-k}(w)$ により準同型で、二つは生成元の上で互いに逆である。Hat02 Exercise 11（§1.2, p. 53）の貼り方 $(x,0)\sim(f(x),1)$ では、同じ計算で関係式は $tat^{-1}=f_*(a)$ の形になる。たとえば $f$ が恒等写像なら $\pi_1(T_f)\cong F_2\times\mathbb{Z}$、$f$ が定値写像なら $w_a=w_b=1$ で $a=b=1$ となり $\pi_1(T_f)\cong\mathbb{Z}$ である。
条件を外した反例
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| $f$ が同相写像（prop-mt-bundle） | $X=\{x_1,x_2\}$（2 点の離散空間）、$f$ は値 $x_1$ の定値写像 | $\pi$ は局所自明でなく、ファイバー束にならない |
| $f_*$ が恒等写像（cor-mt-trivial-action） | 円周の反転 $\rho$（$H_0(S^1)=\mathbb{Z}$ は自由） | $H_1(T_\rho)\cong\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}/2$ は $H_1(S^1)\oplus H_0(S^1)=\mathbb{Z}^2$ と同型でない |
1 行目の確かめ：$(x_2,0)$ は他の点と同一視されないので、$[x_2,0]$ の十分小さい近傍は $q(\{x_2\}\times[0,\varepsilon))$ であり、その $\pi$ による像 $\{e^{2\pi i\tau}\mid0\le\tau<\varepsilon\}$ は $1$ の近傍でない。一方、$1$ の近傍 $U$ の上で $\pi^{-1}(U)\cong U\times F$ と自明化されるなら、$\pi$ は $\pi^{-1}(U)$ の上で開写像になり、$[x_2,0]$ の近傍を $1$ の近傍に写すはずである。よって局所自明化はない。なお $T_f$ は円周に線分を 1 本つけた空間である。
関連項目
参考文献
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